т.е. |
|
|
|
|
2m -1 |
|
l) • |
(4.32) |
|
= cos- |
ж(т= U X • M)\ xr = cos—(г = U X • |
|||
|
Ж |
м |
|
|
Следует заметить, что при переходе от интегрального уравнения |
||||
(4.21) к дискретным |
алгебраическим уравнениям |
полагали, что |
||
ат7г/М. Это значение атбыло вычислено на основании соответст вия многочлена а^х) полиному Чебышева второго рода QM-i(x) с ис пользованием значения интеграла [116]
I jr TM(,)d , |
f0,M = 0 |
(H < |) |
(433) |
|
R - . M . |
*>' |
|
Решая систему уравнений (4.30), определяем неизвестные G\(tm) и Gi(0> с помощью которых становится возможным вычислить коэф фициенты интенсивности напряжений возле взаимодействующих ме жду собой волокон в стеклопластике.
Если решение системы алгебраических уравнений найдено, то для возврата к непрерывным функциям Gi(£) и Сг(^) используем ин
терполяционный полином Лагранжа: |
|
|
м |
М-1 |
м |
с , ( * |
) = J |
(4-34) |
Л!=| |
г=О |
Л1=1 |
Далее, исходя из формулы (4.30) и введенного обозначения (4.25), на основании последнего соотношения вычислим коэффици енты интенсивности напряжений:
k? = ± p - p j G 2(±1), |
(4.35) |
|
к} =± P -P 41G ,(±I). |
||
|
где
с,( I) |
М |
G,(/m) |
2т -1 ж> |
|
|
|
ctg |
|
|
с 2(1). ' |
т=I |
G2(/w) |
Ш |
|
' с,(1) ■ |
_1_ м |
G,(/m) |
2т -1 |
(4.36) |
|
М т=\ |
|
tg-------ж |
|
с 2(-|) |
G2(tm)\6 4М |
|
||
3.3. Числовые значения коэффициентов интенсивности напряжений
Числовые значения коэффициентов интенсивности напряжений получены при предположении, что выполняется условие плоского напряженного состояния в материале при коэффициенте Пуассона, равном 0,3.
231
Реализация численного метода производилась для 10 интерполя ционных точек, так как дальнейшее увеличение точек приводило к отклонениям результатов не более чем на 0,1%. Расчеты выполнялись для различных концентраций включений - волокон в матрице (0,1 - 80%), зависящих от числа волокон N и различных отношений длины дискретного волокна / к радиусу окружности R, в которой заключен рассматриваемый нами композит.
Для расчета содержания (в об. %) армирующего материала в матрице композита рассматривали прослойку, заключенную между окружностями с радиусами г - 0,5/ и г + 0,5/ (см. рис. 9). Площадь этой прослойки
S = тг\г + 0,5i f |
- ( г - 0,5/)2]= 2ml |
(4.37) |
|
Площадь одного включения составляет S, = /Л, где h - толщина |
|||
волокна. Площадь N включений S{* = IhN |
|
||
Из пропорции |
|
|
|
S <-> 100% |
(4.38) |
||
S ? <- > z % , |
|||
|
|||
где Z% - задаваемая концентрация стекловолокна, находим |
|
||
S" = SZ |
IhN = itrlZ |
(4.39) |
|
100 |
100 |
|
|
или же |
|
|
|
2 T Z T Z |
_ m Z |
(4.40) |
|
N = |
|
||
А .1 0 0 " Ж |
|
||
Для расчета процентного содержания армирующего материала стеклопластика была заложена реальная толщина дискретного стек ловолокна, хотя в постановке задачи она считалась бесконечно ма лой. Толщина стекловолокна 10 мкм и его длина 50 мм соответст вуют размерам моноволокон, являющихся основой таких армирую щих материалов, как стекломаты ЛВВ-СП, МПС и МБ. Правда, в последнем случае основной армирующей единицей является не моно волокно, а комплексная нить, состоящая в среднем из 200 моноволо кон диаметром 10 мкм.
На основании формул (4.35), (4.36) и (4.3) были получены отно сительные величины коэффициентов интенсивности напряжений, от вечающие внешним по отношению к окружности вершинам жестких
в к л ю ч е н и й |
k f / P y f l , |
k f / p j i |
и |
в н у т р е н н и м |
в е р ш и н а м |
|
k f / p j i , |
||||
Ъ / P j |
у г л о в |
п о в о р о т а |
ж е с т к и х |
в к л ю ч е н и й |
E G / P |
и |
/ c f Д , ° |
||||
232
где /с,°-коэффициент интенсивности напряжений для изолирован
ного жесткого включения при всестороннем растяжении. Результаты вычислений представлены в табл. 5.
Таблица 5
Коэффициенты интенсивности напряженийдля циклически симметричной системы жестких включений
ч |
Z. |
К / р Л |
К / р Л |
ki/pJI |
k i j p j i |
*г / *.° |
eG/P |
|
|
% |
|||||||
0,5- |
0,1 |
3,08- 10-' |
1,89 - I0-* |
4,2610 |
2.13-10-7 |
3,50-10-' |
1,35-10» |
|
-0.9 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
0,5 |
5 |
1,06-102 |
3,66-10-3 |
2,38-10-6 |
2,68-10-» |
6,80-10-3 |
1,10-Ю-3 |
|
|
10 |
1,15-10-3 |
7,90-10-4 |
2,29-10-7 |
9,02-10-7 |
1,47-10-3 |
1,25-10-3 |
|
|
20 |
1.6110-3 |
9,46-10-4 |
6,48-10-7 |
1.47- |
10-1,76-10-3 |
3,40-104 |
|
|
40 |
8,11-10-» |
4,75-10-4 |
2.98- |
10-1,497-10-7 |
8,82-10-4 |
4,28-10-4 |
|
|
50 |
|||||||
|
1,73-10 4 |
1,34-10-4 |
3,41-10-7 |
4.48- |
1072,49-10-4 |
3,75-10-3 |
||
|
60 |
|||||||
|
1,47-10-5 |
8,20-10-4 |
2.98- |
10-6,45-10 s |
1,52-10-3 |
1.5Ы0-2 |
||
|
80 |
|||||||
0,7 |
5 |
1,92-10-4 |
1,82-10-3 |
1,20-10-5 |
6,92-10» |
3,39-10-3 |
1,77-10-2 |
|
3,13-10J |
3,75-10-3 |
3,36-1о-7 |
6,75-10» |
6,96-10-3 |
1,38-10-» |
|||
|
10 |
2,53-10-3 |
1,44-10-3 |
2,59-10-5 |
1.0110-5 |
2,68-10-3 |
8,73-10-3 |
|
|
20 |
2,14-Ю-4 |
2,73-10-4 |
3,2410-» |
5,75-10-7 |
5,08-10-4 |
2,02-10-3 |
|
|
40 |
|||||||
|
1,65-10-4 |
1,02-10-3 |
9,3110-» |
1,55-10-* |
1,90-10-3 |
1,20-10' |
||
|
60 |
|||||||
|
2,01-10-» |
1,86-10-3 |
8,60-10-5 |
1,64-10-3 |
3,45-10-3 |
1,29-10о |
||
0,9 |
Т |
|||||||
3,35-10-3 |
6,35-10-3 |
3,18-10-» |
3,13-105 |
1,18-Ю-2 |
1,13-Ю-3 |
|||
|
10 |
3,04-10-2 |
4,12-10-2 |
1,05-10-3 |
1,67-10-3 |
7,66-10-2 |
1,60-10' |
|
|
20 |
9,60-10-4 |
7,83-10-4 |
2,06-10-» |
6,68-10» |
1,45-10-3 |
4,13-10-4 |
|
|
40 |
2,07-10-4 |
4,61 10-4 |
1,26-10-5 |
2,08-10-5 |
8,56-10-4 |
5,46-103 |
|
|
60 |
|||||||
|
3,05-10-4 |
2,40-10-4 |
4,49-10-7 |
1,63-10» |
4,45-10-4 |
2,22-Юз |
||
|
80 |
|||||||
|
2,88-105 |
3,82-104 |
1,3110 s |
2,30-10-4 |
7,07-10'4 |
3,56-10' |
||
|
|
Рис 10. Зависимость относительной величины коэффициента интенсивности напряжений от степени наполнения матрицы дискретными жесткими включениями
233
На рис. 10 и 11 приведены зависимости |
/ p J i - Z , к[/ РлЦ-Я . |
Анализ зависимости k^/p^Jl от процентного содержания наполни |
|
теля (Z) показывает, что для Л = 0,5, 0,7 и 0,9 с ростом наполнения |
|
наблюдается общая картина изменения относительных величин ко |
|
эффициентов интенсивности напряжений - |
на первом этапе роста |
процентного содержания включений имеет место падение значения |
|
к\ / p j i , сменяющееся в дальнейшем его повышением. |
|
|
Z,% |
|
--------- 5 |
|
---------- 10 |
|
------------ 20 |
|
----------- 40 |
|
60 |
|
--------- 80 |
Рис 11. Зависимость относительной величины коэффициента интенсивности напряжений от степени сближения между собой внутренних вершин жестких включений
Снижение значений коэффициентов интенсивности напряжений с ростом содержания дискретных волокон, вероятно, можно объяс нить эффектом равномерного распределения действующего напря жения между концентраторами напряжения, какими являются жест кие включения. Аналогичные эффекты наблюдали авторы работ [33, 117, 118]. Так, приводя данные по коррозионному растрескиванию полиметилметакрилата, авторы работы [117] объясняют исчезновение градиента напряжений в вершине основной трещины наличием пучка микротрещин в зоне предразрушения, являющихся концентраторами напряжений, как и жесткие включения. Согласно утверждению авто ров работы [33], увеличение числа микротрещин в ударопрочном по липропилене - одна из причин повышения его ударной вязкости и сопротивления усталостному разрушению [118].
Наиболее благоприятным наполнением матрицы с позиций ме ханики разрушения является наполнение, значения которого лежат в районе 50% при Л = 0,5, 20% при Я = 0,7 и 50 - 60% при Я = 0,9.
Результаты влияния сближения вершин противоположных ме жду собой включений модели на значения к[j P j i представлены на рис. 11, из которого видно, что для высоконаполненных систем
234
(Z = 80%) оптимальным является Я = 0,9. Для системы с низким со держанием включений в матрице (Z = 40%) Я = 0,5 -г 0,7
Толщина рассматриваемых в модели жестких включений прини
мается единичной и при расчете значения k ^ / p jl не учитывается.
Однако известно [37], что толщина дискретного волокна оказывает существенное влияние на напряженно-деформированное состояние границы раздела фаз матрица - стекловолокно, повышая напряжение сдвига. Поэтому в полученные расчетные данные коэффициентов ин тенсивности напряжений необходимо внести коррективы, учиты вающие толщину армирующего материала.
С этой целью рассмотрим модель дискретного стекловолокна (рис. 12) и введем понятие "относительная толщина стекловолокна"
h = ^ - + d , |
(4.41) |
п |
|
где h - относительная толщина дискретного стекловолокна; N„ - тол щина стекловолокна, представляющая собой сумму параллельно уложенных друг на друга волокон единичной толщины; п - единич ная толщина стекловолокна, за которую условно принят размер в 1 мкм; d - расстояние между двумя крайними параллельными волок нами единичной толщины модели дискретного стекловолокна (АА и ББ).
Согласно решению задачи для периодической системы парал лельных жестких включений [20], при Я > 1 Я = Ш (где / - длина вклю чения, d - расстояние между параллельными включениями единичной толщины) коэффициент интенсивности напряжений прямо пропор
ционален >[d , т.е. yfh
Представленные выше зависимости дают возможность выбрать вариант наполнения и взаимного расположения жестких включений для получения оптимальной (с позиции механики разрушения) мо дели дискретного армированного композита.
235