выражаются следующим образом:
1
ф ( 2 ) ------------- J — f M r f ,
|
|
2jtKi |
|
|
|
|
Zi,=e |
N ( Z l - R ) , |
|
|
|
|
|
|
7* G (p,t) |
|
|
l |
N -1 |
l |
*-zk |
|
|
-2Ца+2яК / N) |
dt. |
(4.12) |
|||
n z ) = |
|
|
t + Re” |
||
2 x i ( p - p |
|
-/ |
■G(p,0 |
|
|
|
|
|
|
||
Подстановка потенциалов O(Z) и ^(Z) в соотношение (4.11) дает сингулярное интегральное уравнение относительно неизвестной функции:
2p*i l(G(p,t)d n |
1 |
[ГС/(лО А:(р,/,х) + |
|
||
p * - p j / - * |
р -р * |
|
|
dt = x F ( p \ x ) , (4.13) |
|
J +G(p,t)L(t,x) |
|
||||
где |
|
I х | < /, |
|
|
|
|
ЛМ |
|
|
|
|
|
|
1 |
е-2/а |
|
|
K^p^,t,^=-ip^e|a'2 J ъ'kl", |
|
||||
|
+ |
|
|||
|
|
А=1 |
|
Т0 Tk - X Q |
|
|
N- 1 |
|
Тк —XQ -2>о |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
L(t,x) = -ieiaY |
/ ' l“"t Tk - X o ~ { T k - X af |
(4.14) |
|||
|
к=4 |
|
|
|
|
Тк =e2*kilN(te,a +R), Х0 =xda +R.
Отметим, что решение уравнения (4.13) должно удовлетворять соотношению, обеспечивающему условие однозначности смещений на контуре дефекта
I
| G (P , / ) ^ = 0. |
(4.15) |
-/
Коэффициент интенсивности напряжений у вершин включений и действующие на них со стороны матрицы главные моменты усилий определяются [5] по формулам
к? - ik$ = |
Нш J(/2 - х 2)1Ю(р,х) |
(4.16) |
р - р * х-Ш
226
(4 .1 7 )
Здесь минус соответствует внутренней по отношению к окружно сти вершине жесткого включения, плюс - внешней.
Если под действием внешней нагрузки жесткие включения имеют возможность поворачиваться, угол е вычисляется из условия равен ства нулю главного момента (М = 0).
Поскольку в дальнейшем будет рассматриваться двухосное рас тяжение пластины, ослабленной циклически симметричной системой жестких включений, правая часть уравнения (4.12) примет вид:
F(p^t) = j[ ^ - P * ) ( l + TJo) -^ - no)e 2,<р]+4Юе |
(4.18) |
где Tjo = qIP (q и Р - взаимно перпендикулярные распределенные уси лия, причем усилия Р направлены под углом <рк оси Ох главной сис темы координат).
При щ = 1 из формулы (4.17) получаем случай всестороннего растяжения пластины, а в случае /70 = 0 (q = 0) имеем одностороннее
растяжение пластины.
В данной главе циклически симметричная задача решена для по лучения конкретных числовых данных применительно к материалам из стеклопластика. С этой целью были рассмотрены различные про центные содержания волокон единичной толщины в матрице. В отли чие от существующего на данное время асимптотического решения интегрального уравнения (4.13) его решение было произведено мето дом механических квадратур. В результате получены необходимые числовые и графические данные, соответствующие реальному напол нению матрицы армирующими элементами.
В рамках модели каждое дискретное волокно композита счита ется тонкой недеформируемой нитью конечной длины и толщины. При этом полагаем, что матрица, в которой распределены стеклово локна, представляет собой сплошную среду, а связь стекловолокно - матрица идеальная. Предполагается также, что модуль сдвига воло кон превышает модуль сдвига матрицы в 5 0 - 100 и более раз, что соответствует реальному композиту.
Для постановки и решения рассматриваемых в этой главе задач плоскость композита совмещена с плоскостью декартовой системы
227
координат хОу, относительно которой заданы ориентация и располо жение упорядоченных в циклически симметричную систему волокон в композите (рис. 9). На бесконечности этой плоскости напряжение и повороты отсутствуют, причем граничные условия на берегах воло кон композита отражены уравнениями (4.7) и (4.8).
Рис. 9. М одель хаотически арм ированного дискретными волокнам и стеклопластика:
/- д л и н а жесткого включения, R - радиус композита, е - угол поворота жест кого включения
3.2.Применение метода механических квадратур для расчета коэф фициентов интенсивности напряжений возле волокон
Вотличие от работ [20, 113], где расчет коэффициентов интен сивности напряжений произведен асимптотическим методом только при далеко расположенных циклически симметричных волокнах, при большой концентрации волокон применялся метод механических квадратур [114 - 116]. Согласно этому методу, решение интеграль ного уравнения (4.13) заменяется дискретным аналогом в виде сис темы линейных алгебраических уравнений. Для этого в сингулярное уравнение (4.13) и его ядра (4.14), а также в условие однозначности смещений (4.15) и в выражение для главного момента (4.17) введены
безразмерные переменные t = In г, JC = ln£, (|т] < 1, |£| < 1), |
в результате |
|
чего получаем: |
|
|
КФ.<) — +к(Ьт4) |
-G(pj)L(bT£ftdT = ^ -;F (p\z)t |
|£| <1 (4.21) |
|
2Р |
|
где |
|
|
N-1 |
1 |
|
е2пк‘1Ы{Яте~1а+1) - Щ еЧа + 1) |
||
К(Л,г, ^) = 0 ^ Я ^ е2лА//Л' |
|
|
N=\ |
+ __________ е^____________ |
|
v е1Ш1Н{Лге + \)-{Щ е-1а+1)
228
r n |
_ ^ M |
\^„2nki/N |
e |
11*1IS |
|
(Лте~ш) |
|
||||
|
i -ifl |
N - \ |
|
|
, (4.22) |
Ш , |
T. £) = ^ —г 2 / |
|
ЛякНЫ(Лте~ш) - ( Ц е ш+1) |
||
|
2p |
K=\ |
|
|
|
|
|
|
|
JnkilN(Лге-''а) - Щ е ‘а + 1) |
|
|
|
j c ( p , t ) d r = 0, |
(4.23) |
||
|
|
\rG(p,i)dT = 0. |
(4.24) |
||
|
|
-i |
|
|
|
Отметим, что в выражениях (4.21) - (4.24) оставлены прежние обозначения для функций G(p, т) и F(p*,f), а Я = 91/R.
Неизвестная функция G(p,t), а также возможные углы поворота
включения определяются из системы уравнений (4.21) - |
(4.24). Для |
этого решение уравнения принимается в виде: |
|
Ч - - ) - ( р 7 >' ) С(г) |
(4.25) |
V '-{! |
|
где G(z) - регулярная функция в промежутке (-1 -г- 1).
Далее делаем замену уравнения (4.21) и интегралов (4.23) и (4.24) соответствующими им дискретными аналогами. Для этого исполь зуем известные квадратурные формулы [114] вычисления интегралов. Если функция (p(t) не является рациональной и представлена в виде произведения со (t) U(t), причем (/(/) - регулярная функция, a co(t) - массовая положительная функция, то имеет место квадратурная фор мула
'с<»(<)•{/(<) |
П |
|
(4.26) |
||
J, » - * |
||
m=I |
Точки / = tm(m = 1,2,..., п) являются нулями полиномов {Pn(t)} степени п из множества ортогональных многочленов с весом со(/) на отрезке [-1 ч-1]; точки х = x r(r = 1, 2,...,/?) - нули функции.
(4.27)
-I
229
Коэффициенты ат квадратурной формулы определяем из соот ношения
(4-28)
Также известна [115] квадратурная формула вида:
J®(/)£/(r)A = £ « , ,М,„) |
(4.29) |
|
_ | |
/Л=1 |
|
На основании приведенных выше соотношений (4.25), (4.26) и (4.29) записываем дискретный аналог интегрального уравнения (4.21) и интегралов (4.23) и (4.24). В результате получаем систему алгебраи ческих уравнений вида:
1 |
м |
<?1 0« ) |
+ Re [К (A;t„,,xr)+ L(A;tm, x r)] |
J - Y |
tт |
r |
|
и |
t—i |
||
|
т =1 |
■*"^ 2 ifт )lm \L> (AI*»i i x r ) —К (A, t m , X r )] |
|
2s
+4^"=_im
Р
I n, |
, ^i Om)lm |
(A ,tm,x T)+ L (A ,tm,x r )]+ |
(4.30) |
|
M |
| + G,(r |
+ Re [K (A]tm, x r)~ L(A;tm, x r)] |
||
|
||||
|
6 . ) |
t - x, |
|
|
= Re |
f \ p \ x r \ r = 1,2,3,... ,M - l), |
|
||
m=\ |
|
|
|
|
m =1 |
(<„)=«; |
|
|
|
|
|
|
||
M |
|
|
|
|
X |
)= °. |
|
|
|
где |
|
G\(t) = ReG(ty, G2(t) = ImG(0; |
|
|
|
|
(4.31) |
||
|
Л/Л4) = 0,25/?*-'[(1 -p*)(l +■ Tjo) + 2(1 - 7 o)e-2i . |
|||
Интерполяционные точки tmu x, с учетом веса co(x) = (1 - x rym, отвечающего совокупности ортогональных многочленов Чебышева первого рода Тп(х) = cos(п arccosx), выбираем как нули полиномов Чебышева второго рода:
Uм_|(JC)= sin(A/ ■arccosx)/ J l - x 2
230