Ответы на вопросы: Основы математики

Логический:

Если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: f(x)= 1, если x - рациональное; f(x)= 0, если x - иррациональное.

Графический:

Состоит в изображении графика функции - множества точек (x, y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, а

ординаты - соответствующие им значения функции y = f (x). Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком - его неточность.

. Предел функции. Теоремы о пределах функции

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве)

Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

  .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве)

Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

 Þ .

Теорема 3.

Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство.(x)=с, докажем, что .

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое положительное число. Тогда при

.

Теорема 4.

Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

 и .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при , f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B-A=-.

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем: B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5.

Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть , , .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

 где  - б.м. при. Сложим алгебраически эти равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=, где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С=.

Теорема 6.

Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие:

Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7.

Если функции f(x) и g(x) имеют предел при , причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

. Производная функции и ее свойства

Пусть функция  определена в точке  и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу  приращение , такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции  и составим отношение. Если существует предел этого отношения при  стремящемся к нулю, то указанный предел называют производной функции  в точке  и обозначают . Иначе говоря:

(- приращение функции, - приращение аргумента). Если в каждой точке  из множества  у функции  существует производная, то такая функция называется дифференцируемой на множестве .

Геометрический смысл производной:

- угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке  уравнение касательной в этой точке .

Правила дифференцирования:

Пусть функции  и  определены и дифференцируемы на некотором множестве ,  и  - любые действительные числа. Тогда на множестве  справедливы соотношения:

·              ,

·              ,

·              , ,

·             

Основные формулы дифференцирования:

·             

·             

·             

·             

·             

·             

·             

·             

·             

·             

·             

·             

·             

·             

17. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть существует такое множество X, что для . Тогда может получиться, что производная  имеет производную в некоторой точке. Такая производная называется второй производной или производной второго порядка. Обозначается  или . В общем виде . Переходя к дифференциалам, получаем: . .

Не следует путать обозначения: , .

Второй дифференциал от x равен 0 только тогда, когда x - независимая переменная или линейная функция от независимой переменной. В этом случае любой дифференциал . То есть для .

Нарушение инвариантности формул дифференциалов высших порядков:

Для дифференциалов высшего порядка инвариантность формул не имеет место, т.е. дифференциал вычисляется по разным формулам в случае зависимой и независимой переменных.

Вычислим дифференциал от зависимой и независимой переменных.

Для зависимой переменной: u = u (x).

Для независимой переменной: , следовательно, , и, в более общем случае,

!!!Теорема (Основные свойства производных и дифференциалов высших порядков.)

.        Если , то

2.      .

!!!Теорема (Теорема Лейбница):

Пусть существуют функции  и , имеющие производные до n-ного порядка включительно. Тогда

,

где  - число сочетаний из n по k.

!!!Теорема (Бином Ньютона):

, где .

. Формулы Тейлора и Маклорена

Рассмотрим многочлен -й степени

Его можно представить в виде суммы степеней , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его раз по переменной , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке :

……………………………………………………..

Таким образом, получаем, что

Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена  степени .

Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен  по степеням разности , где  - любое число. В этом случае будем иметь:

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена  в окрестности точки .

. Раскрытие неопределенностей 0/0, бесконечность/бесконечность, 0 х бесконечность. Правило Лопиталя

Теорема (правило Лопиталя):

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть  или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание:

Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞..

20. Раскрытие неопределенностей 0^0, 1^бесконечность, бесконечность^0

. Общая схема исследования функций

. Нахождение области определения функции.

. Исследование функции на четность и нечетность.

. Установление области непрерывности функции и точек разрыва. Отыскание вертикальных асимптот.

. Исследование поведения функции при  (если она там определена). Отыскание горизонтальных и наклонных асимптот.

. Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции. Составление таблицы.

. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.

. Нахождение точек пересечения графика функции с осями, интервалов знак постоянства функции. Составление таблицы. Отыскание дополнительных точек для построения графика.

. Построение графика функции.

22. Функция нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Определение 1.

Число А называется пределом функции  в точке  (или при  и ), если для любого сколь угодно малого положительного числа  найдется положительное число  такое, что для всех точек , отстоящих от точки  на расстояние, меньшее чем , выполняется неравенство

.

Обозначается предел .

Определение 2.

Функция  называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и .

Tочки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва.

На функции нескольких переменных переносятся все свойства и методы теории пределов функции одной переменной.

. Частные производные. Полный дифференциал

Каждая частная производная (по x и по y) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:

(где y = const), (где x = const).

Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной, считая при этом другую переменную постоянной (константой).

Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число - тогда можно будет быстрее вычислить частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной. Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть на место константу (переменную с фиксированном значением).

Полный дифференциал :

Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так:

и т.д. Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством

Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот.

Теорема:

Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные и в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой.

Можно показать, что подобно тому, как в случае функции одной переменной дифференциал функции является главной линейной частью приращения функции, так и в случае функции нескольких переменных полный дифференциал является главной, линейной относительно приращений независимых переменных частью полного приращения функции.

Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид

где α и β - бесконечно малые при и

. Экстремумы функции нескольких переменных

Понятие точек максимума и минимума:

Пусть функция нескольких переменных u = f(x₁, x₂, … , x_n) = f(x) определена в некоторой окрестности точки

₀ = (a₁, a₂, … , a_n) .

Точка x₀ называется точкой локального максимума (локального минимума) функции u = f(x) , если существует такая окрестность O_δ(x₀) точки x₀ , что для всех точек x О O_δ(x₀) выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀) (f(x) ≥ f(x₀)).

Если при x ≠ x₀ имеет место неравенство f(x) ≠ f(x₀) , то точка x₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума, а максимумы и минимумы - экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума:

Теорема (Необходимое условие экстремума):

Если функция нескольких переменных u = f(x₁, x₂, … , x_n) имеет экстремум в некоторой точке, то в этой точке каждая ее частная производная равна нулю или не существует.

Внутренние точки из области определения функции, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Если в критической точке функция дифференцируема, то такая точка называется стационарной.

В стационарной точке (x₀, y₀) функции f(x, y) существуют частные производные f'_x , f'_y и f'_x(x₀, y₀) = 0 , f'_y(x₀, y₀) = 0

Достаточные условия экстремума:

Достаточным условием экстремума функции нескольких переменных в ее стационарной точке является знакоопределенность (положительная или отрицательная определенность) дифференциала 2-го порядка в этой точке.

Наибольшие и наименьшие значения:

Пусть функция f(x, y) определена в замкнутой области D , ограниченной линией L , которая задана уравнением F(x, y) = 0 .

Наибольшее значение M функция может принимать в точках максимума (внутри области D ) и на границе L в точках условного максимума функции f(x, y) при F(x,y) = 0 , а наименьшее значение m - соответственно в точках минимума (внутри области D ) и на границе L в точках условного минимума. Если вычислить значения функции f(x, y) во всех этих точках, то M и m обязательно окажутся среди вычисленных величин.

Алгоритм отыскания наибольшего значения M и наименьшего значения m:

1.             Находим все точки экстремума функции f(x, y) внутри области D.

2.             Находим все точки условного экстремумы функции f(x, y) при условии F(x, y) = 0 .

3.             Вычисляем значения функции f(x, y) во всех найденных точках и выбираем среди них наибольшее и наименьшее. Это и будут M и m .

25. Комплексные числа и действия над ними

Комплексные числа - числа вида x+iy,где x и y- вещественные числа,i- мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство:. Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается С.

Стандартная модель:

Комплексное число  можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел  запись  следует понимать как удобный способ записи пары.

Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой  единица -  а мнимая единица  На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть . Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы.

Матричная модель:

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2 x 2 вида с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствоватьмнимой единице -

Действия над комплексными числами:

Сравнение  означает, что  и два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение: :

Вычитание:

Умножение:

Деление:  В частности,

Геометрическая модель:

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу  сопоставим точку плоскости с координатами , а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной (или плоскостью Аргана). Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент).

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов "модуль" и "аргумент" используются термины "амплитуда" и "фаза".

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.

Геометрическое представление комплексного числа.

26. Тригонометрическая форма комплексного числа, форма комплексного числа

Абсцисса a и ордината b комплексного числа a + b·i выражаются через модуль r и аргумент φ формулами:

. a= r·cos(φ)

. b= r·sin(φ)

Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде: a+b·i= r·(cos(φ)+ i·sin(φ))

Это так называемая, нормальная тригонометрическая форма, или просто, тригонометрическая форма комплексного числа.

В противоположность тригонометрической форме выражение вида a + b·i называется алгебраической или координатной формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

Умножение:

Произведением двух комплексных чисел и будет комплексное число вида

Деление:

Частным двух комплексных чисел и

будет комплексное число вида

Возведение в степень:

Извлечение корня:

. Формулы Эйлера

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного и комплексного числа х выполнено следующее равенство: где одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой: , - мнимая единица.

Геометрический смысл формулы Эйлера

. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции F'(x) = f(x).

Обозначение , где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением. 

. Свойства неопределенного интеграла

. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е

. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности

. Методы интегрирования

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где

- функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям:

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:

Или:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл  где

- многочлен -й степени.

. Определённый интеграл

Определённый интеграл - аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая - область в множестве задания этой функции.

Определенный интеграл - это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:

- это значение первообразной функции в точке а ,и, соответственно,- это значение первообразной функции в точке в.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл- это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной сверху графиком положительной на отрезке  функции слева прямой справа прямой , и снизу осью ОХ.

. Свойства определенного интеграла

. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. где х, t - любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Предварительно заметим, что величина определенного интеграла зависит от вида подынтегральной функции f (x) , от пределов интегрирования a, b и не зависит от обозначения переменной интегрирования. Ее можно обозначить буквами x, u, t, z и т.д Поэтому имеет место равенство

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом

Он является функцией верхнего предела x . Эта функция обладает более простыми свойствами, чем подынтегральная, поэтому операцию интегрирования можно рассматривать как операцию сглаживания функции.

Теорема (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом):

Если функция f (x) интегрируема по промежутку [a, b] и x [a, b] , то функция (x) непрерывна в промежутке [a, b]

Теорема (Барроу, 1630-1677):

Если подынтегральная функция f (x) непрерывна в промежутке [a, b] , то во всем промежутке [a, b] справедливо равенство (x)  f (x) :

Следствие из теоремы Барроу:

Для всякой непрерывной функции f (x) в промежутке [a, b] существует в этом промежутке первообразная. Одной из первообразных для [a, b] является интеграл с переменным верхним пределом (4.2).

Теорема Формула Ньютона - Лейбница:

Определенный интеграл равен разности значений любой первообразной для подынтегральной функции, взятых на верхнем и нижнем пределах интеграла:  Здесь F(x)  f (x).

Примеры:

. Формула Ньютона - Лейбница

или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной. Если непрерывна на отрезке[a,b] и Ф- её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

35. Несобственный интеграл

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

. Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным интервалом

. Функция  является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

. Если интервал  конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.

Бесконечные пределы интегрирования:

Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞).

Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:

Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b].

В этом случае несобственный интеграл определяется как:

Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся.

Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода:

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода:

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

. Площадь плоской фигуры

Площадь плоской фигуры - аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов. Также есть такой термин как -РАВНОВЕЛИКИЕ ФИГУРЫ.

Равновеликие фигуры-это не равные фигуры имеющие равную площадь .

Произвольный треугольник. a, b, c - стороны; a - основание; h - высота;

A, B, C - углы, противоположные сторонам a, b, c ; p = ( a + b + c ) / 2.

Последнее выражение называется формулой Герона.

Многоугольник, площадь которого нужно определить, может быть разделён своими диагоналями на несколько треугольников. Многоугольник, описанный около круга ( рис.67 ), может быть разделён прямыми, идущими из центра круга к его вершинам. Тогда получаем:

37. Вычисление объема тела по площади поперечного сечения

Пусть в пространстве с декартовой системой координат лежит область , проектирующаяся на осьв отрезок Предположим, что для каждого нам известна площадьсечения тела  плоскостью, проходящей через точку х оси абсцисс перпендикулярно этой оси. Площадьбудем называть площадью поперечного сечения тела .

Для нахождения объёма тела возьмём размеченное разбиение отрезкакоторое образуют точки деленияи отмеченные точки ,

. Плоскости разбивают тело на слои объёмы которых мы вычислим приближённо, в соответствии с этим разбиением заменив объём слоя на объём цилиндра, высота которогота же, что у слояа основание совпадает с сечением тела плоскостью,проведённой где-то посередине между основаниями слоя Образующие этого цилиндра -- отрезки прямых, проходящих параллельно оси через точки границы сечения.

Объём цилиндра равен, очевидно,, а подсчитанный приближённо с помощью данного разбиения объём всего тела

Последняя сумма -- это интегральная сумма, построенная для функции по размеченному разбиению. При неограниченном измельчении разбиения эта сумма стремится к значению определённого интеграла отпо . С другой стороны, задаваемый этой суммой объём будет стремиться к объёму тела (этот предельный объём мы можем по определению считать равным объёму тела ). Итак, получаем формулу

. Объем тела вращения

Вращение вокруг оси x:

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси х фигуры, ограниченной функцией на интервале , осью х и прямыми  и  равен:

Вращение вокруг оси y:

объём тела, образуемого вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной функцией  на интервале  осью  и прямыми  и  равен:

. Длина дуги кривой

Длина кривой (дуги кривой) - это предел, к которому стремятся длины вписанных в эту кривую (дугу) ломаных при неограниченном увеличении числа их звеньев, когда длина наибольшего звена стремится к нулю. Для непрерывных кривых указанный предел - длина дуги - существует, конечный или бесконечный; в этом случае дуга спрямляема.

Если плоская кривая задана в прямоугольных декартовых координатах уравнением у = f(x), гдеее длину можно вычислить по формуле

Для параметрически заданной кривой х = х(t), y = y(t), где ее длину можно найти по формуле

Аналогично можно определить длину пространственной кривой.

. Приближенное вычисление определенного интеграла: формула прямоугольников

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции ƒ(х). Если можно найти первообразную  F(x) функции ƒ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция у = ƒ(х) задана графически или таблично) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла - формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

Формула прямоугольников:

Пусть на отрезке [а; b], а < b, задана непрерывная функция ƒ(х). Требуется вычислить интеграл численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на n равных частей (отрезков) длины(шаг разбиения) с помощью точек х₀ = а, x₁, х₂,..., х_n = b. Можно записать, что х_i= х₀+h• i, где i = 1,2,..., n (см. рис. 200).

В середине каждого такого отрезка построим ординату ŷ_i =ƒ(с_i) графика функции у = ƒ(х). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h • ŷ_i.

Тогда сумма площадей всех n прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оценивается с помощью следующей формулы:где М₂ - наибольшее значение |ƒ"(х)| на отрезке [а; b],Отметим, что для линейной функции (ƒ(х)=kх+b) формула (42.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае ƒ"(х)=0.

. Приближенное вычисление определенного интеграла формула трапеций

Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длиныАбсциссы точек деления а = х₀, x₁,х₂,...,b = х_n (рис. 201). Пусть у₀,у₁...,у_n -

соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулы для этих значений примут вид:

х_i = a+h*i, у_i=ƒ(x_i), i= 0,1,2,..., n;

Заменим кривую у=ƒ(х) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат y_i и y_i+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями у_i, y_i+1 и высотой

или

Формула (42.2) называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность R_n приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы

• М₂, где

Снова для линейной функции у=kх +b формула (42.2) - точная.

. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах

Дифференциальное уравнение - уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,

не является дифференциальным уравнением.

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Порядок, или степень дифференциального уравнения - наивысший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Липшицем (1864).

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных - произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций - часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т. д.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

Обыкновенное дифференциальное уравнение:

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) - это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид илигде неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной х штрих означает дифференцирование по х. Число  называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Порядок дифференциального уравнения:

Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок производной, входящей в данное уравнение.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка:

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка - класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:где функции и определены и непрерывны в некоторой области

Линейное дифференциальное уравнение:

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

 где p_i(x) - известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r(x) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции) Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения - уравнения, которые не содержат свободного члена: r(x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y.

. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид:

 где  и - заданные функции от х, непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде, где - новая неизвестная функция от х.

44. Признаки сходимости числовых рядов

Необходимый признак сходимости числового ряда:

Если ряд сходится, то. Данный признак означает, что если то ряд расходится. Например,расходится, так как. Из выполнения условия в общем случае не следует сходимость ряда. Например, для ряда (гармонический ряд), условие выполнено, но данный ряд расходится.

Признак Д’Аламбера:

Если существует то: при рядсходится; приряд расходится.

Радикальный признак Коши:

Если существуетто: при ряд сходится; приряд расходится.

Интегральный признак Коши:

Пусть задан ряд , члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл. Если же расходится, то ряд также будет расходящимся.

45. Функциональный ряд

Ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция  формальное выражение вида называется функциональным рядом.

Множество Х- область определения ряда. Сумма n первых членов ряда

называется n-ой частичной суммой функционального ряда. Заметим, что является функциональной последовательностью, определенной на Х .

Пусть точка  функциональный ряд сходится в точке , если числовой ряд сходится.

Множество D точек,  где сходится, называется областью сходимости ряда.

Функциональный ряд сходится на множестве D, если последовательностьего частичных сумм сходится на D.

Если функциональный ряд сходится на множестве, D то его сумма есть функция

определенная на D, очевидно, есть предел функциональной последовательности

. Степенные ряды и их свойства

Функциональный ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом: , где a − коэффициенты степенного ряда (постоянные действительные числа).

Часто рассматривается степенной ряд, расположенный по степеням (x − x₀):

, где точка x₀ называется центром степенного ряда.

Интервал сходимости степенного ряда:

Рассмотрим функции . Ее областью определения является множество значений x, при которых ряд сходится. Данная область определения называется интервалом сходимости.

Радиус сходимости степенного ряда: Если интервал сходимости представляется в виде (x₀ − R, x₀ + R), где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Степенной ряд сходится абсолютно в каждой точке интервала сходимости. Сходимость в граничных точках x₀ − R и x₀ + R устанавливается отдельно.

Радиус сходимости по признаку Даламбера:

Радиус сходимости по радикальному признаку Коши:

Дифференцирование степенных рядов: Пусть дан степенной ряд , имеющий радиус сходимости R > 0. Функция является непрерывной при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. Производная степенного ряда равна

Интегрирование степенных рядов: Степенной ряд можно почленно интегрировать на отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. Если −R < b < x < R, то справедливо соотношение

Если интегрирование выполняется на отрезке [0, x], то интеграл выражается формулой:

. Ряды Фурье

Ряд Фурье - в математике - способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом, чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники.

Ряд Фурье - представление произвольной функции с периодомв виде ряда:

Этот ряд может быть также записан в виде:

, где - амплитуда -го гармонического колебания, - круговая частота гармонического колебания,  начальная фаза -го колебания,  --я комплексная амплитуда.

Тригонометрическим рядом Фурье называют функциональный ряд вида:

 или, более сжато

Постоянные числа , и () называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом  так как  и  являются периодическими функциями с периодом