Ответы на вопросы: Основы математики

Основы математики

1. Направленные отрезки. Прямоугольная декартовая система координат

Прямоугольная система координат - прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению.

Связанные термины: Декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям, а общей Декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не прямоугольную).

Прямоугольная система координат на плоскости:

Прямоугольная система координат в пространстве:

- Прямоугольная система координат в многомерном пространстве:

Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать ее n).

Для обозначения координат обычно применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

Для обозначения произвольной i-ой координаты из этого набора используют буквенный индекс:

Прямоугольные координаты вектора:

Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца.

Орты:

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты составляют базис, притом ортонормированный.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются: i, j, k \  

. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом

Если в общем уравнении прямой , то его можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом  где  угловой коэффициент, a - угол, образованный прямой с положительным направлением оси ,  - свободный член, равный ординате точки пересечения прямой с осью .

Однозначно определить прямую можно, задав одну точку и угловой коэффициент. А именно, уравнение прямой, проходящей через точку  с угловым коэффициентом , определяется по формуле .

Пример: Составить уравнение прямой, проходящей через А(-1,2) с угловым коэффициентом

Решение: Воспользуемся формулой, подставив координаты данной точки и угловой коэффициент  или общее уравнение .

Ответ: общее уравнение прямой .

. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Условия параллельности двух прямых:

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k1 = k2.

Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т.е

Условия перпендикулярности двух прямых:

В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.    или k1k2 = -1.

Если уравнения прямых заданы в общем виде, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства: A1A2 + B1B2 = 0.

Угол между двумя прямыми :

Угол φ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0, вычисляется по формуле:

Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k1x + b1 и y2 = k2x + b2, вычисляется по формуле:

! Формулы определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными

! прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.

. Эллипс и его уравнение. Окружность

1) Окружность - замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки (центра окружности). Расстояние от любой точки окружности P(x, y) до ее центра называется радиусом. Центр окружности и сама окружность лежат в одной и той же плоскости. Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат (каноническое уравнение окружности) имеет вид: x2 + y2 = R2. (Рис 1.)

Уравнение окружности радиуса R с центром в произвольной точке A(a, b) записывается как (x − a)2 + (y − b)2 = R (Рис 2.)

Уравнение окружности, проходящей через три точки, записывается в виде:

Здесь A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) − три точки, лежащие на окружности. (Рис 3.)

) Эллипс - плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов эллипса) постоянна. Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через 2c. Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса. У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами. Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса. Большая полуось обозначается через a, малая полуось − через b. Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением:

- Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна: r1 + r2 = 2a, где r1, r2 − расстояния от произвольной точки P(x, y) до фокусов F1 и F2, a − большая полуось эллипса.

- Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием : a2 = b2 + c2, где a − большая полуось эллипса, b − малая полуось, c − половина фокусного расстояния.

Эксцентриситет эллипса: e = c/a < 1

Уравнения директрис эллипса

Директрисой эллипса - прямая, перпендикулярная его фокальной оси и пересекающая ее на расстоянии a/e от центра. Эллипс имеет две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис записываются в виде:

- Уравнение эллипса в параметрической форме:

где a, b − полуоси эллипса, t − параметр.

Общее уравнение эллипса : Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, где B2 − 4AC < 0.

Общее уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат: Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, где AC > 0.

Периметр эллипса: L = 4aE(e), где a − большая полуось эллипса, e − эксцентриситет, E − полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближенные формулы для периметра эллипса:

,

где a, b − полуоси эллипса.

Площадь эллипса: S = πab

. Гипербола и ее уравнение

Гипербола - множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных (называемых фокусами) есть величина постоянная. Эта постоянная величина положительна и меньше расстояния между фокусами. Фокусы гиперболы обозначаются буквами F1, F2, расстояние между фокусами - через 2c, постоянную разность между расстояниями от любой точки гиперболы до ее фокусов - через 2a (2a<2с). Эксцентриситетом гиперболы - отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси:

или

Так как по определению 2a<2c, то эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы.

Прямые L1 и L2 называются асимптотами. Их уравнения имеют вид: y= -+b\a умножить на х

Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (-a; 0), которые называются вершинами гиперболы.

Гипербола имеет центр симметрии.

Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Гипербола пересекается с прямой y = kx при  в двух точках. Если то общих точек у прямой и гиперболы нет.

. Парабола и ее уравнение

Парабола - множество точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки (называемой фокусом) и данной прямой (называемой директрисой).

Фокус параболы принято обозначать буквой F, директрису - буквой d, расстояние от фокуса до директрисы - буквой p (p>0).

Рассмотрим основные случаи расположения параболы относительно осей координат.

Каноническое уравнение параболы, фокус которой расположен на оси абсцисс, имеет вид y^{2}=2px или y^{2}=-2px.

7. Линейное (векторное) пространство и его свойства

Векторным (или линейным) пространством называется произвольное непустое множество V, на котором заданы операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие следующим условиям, которые называются аксиомами векторного пространства:

) если x, y ∈ V, то x + y = y + x (сложение векторов коммутативно);

) если x, y, z ∈ V, то (x + y) + z = x + (y + z) (сложение векторов ассоциативно);

) для всякого x ∈ V существует вектор 0 ∈ V (называемый нулевым вектором) такой, что x + 0 = x;

) для всякого x ∈ V существует вектор y ∈ V (называемый противоположным к х и обозначаемый через −x) такой, что x + y = 0;

) если x, y ∈ V, а t ∈ R, то t(x + y) = tx + ty (умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов);

) если x ∈ V, а t,s ∈ R, то (t + s)x = tx + sx (умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел);

) если x ∈ V, а t,s ∈ R, то t(sx) = (ts)x;

) если x ∈ V, то 1 · x = x. Простейшие свойства векторных пространств: единственность нулевого вектора:

Укажем ряд простых следствий из аксиом векторного пространства. Аксиома (3) утверждает существование нулевого вектора, но не говорит о том, сколько нулевых векторов может быть в пространстве.

Лемма 1:

Векторное пространство содержит только один нулевой вектор.

Доказательство:

Пусть 0 и 0’ - два нулевых вектора векторного пространства V. Тогда из аксиомы (3) вытекает, что 0’ + 0 = 0’ , а из аксиом (1) и (3) - что 0’ + 0 = 0 + 0’ = 0. Следовательно, 0 = 0. Простейшие свойства векторных пространств: единственность противоположного вектора:

Аксиома (4) утверждает существование вектора, противоположного к вектору x, но не говорит о том, сколько таких векторов может быть.

Лемма 2:

Для всякого вектора x из векторного пространства существует ровно один противоположный к нему вектор.

Доказательство:

Предположим, что векторы y1 и y2 противоположны к x, т. е. x + y1 = x + y2 = 0. Тогда, с одной стороны, используя аксиомы (1) и (2), имеем y2 + (x + y1) = (y2 + x) + y1 = (x + y2) + y1 = 0 + y1 = y1 + 0 = y1. С другой стороны y2 + (x + y1) = y2 + 0 = y2. Следовательно, y1 = y2. Простейшие свойства векторных пространств: когда произведение числа на вектор равно нулевому вектору? Лемма 3:

Пусть x - произвольный вектор из векторного пространства, а t - произвольное число. Равенство tx = 0 выполнено тогда и только тогда, когда либо t = 0, либо x = 0.

Доказательство: Достаточность:

Проверим, что 0 · x = 0. В силу аксиом (6) и (8), x = (1 + 0)· x = 1 · x + 0 · x = x + 0 · x для любого вектора x. Учитывая лемму 1, имеем 0 · x = 0. Аналогичным образом равенство t · 0 = 0 следует из того, что tx = t(x + 0) = tx + t · 0.

Необходимость:

Пусть tx = 0 и t не равно 0. Тогда, используя аксиомы (7) и (8),имеем x = 1 · x = (1/t· t) x =1/t · (tx) = 1/t· 0. Из сказанного в предыдущем абзаце вытекает, что 1/t· 0 = 0. Итак, если tx = 0 и t не равно 0, то x = 0.

. Пространство со скалярным произведением

Функция F(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке, если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, быть может, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие функции можно складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова кусочно-непрерывные на  функции.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на  функций  и  будем называть интеграл:

Очевидно, для любых кусочно-непрерывных на  функций выполняются свойства:

)

)  и из равенства  следует, что  на , исключая, быть может, конечное число точек .

) , где  - произвольные действительные числа.

Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке , для которых введено скалярное произведение по формуле (1), мы будем обозначать  и называть пространством  или .