Ответы на вопросы: Основы математики

В математике называют пространством  совокупность функций , интегрируемых в лебеговом смысле на  вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (1). Рассматриваемое пространство  есть часть . Пространство  обладает многими свойствами пространства , но не всеми.

. Матрицы и действия над ними

Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Действия над матрицами:

. Сложение матриц - поэлементная операция:

2. Вычитание матриц - поэлементная операция:

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция:

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.

. Определители и их свойства

Каждой квадратной матрице А соответствует число, которое называется ее определителем, или детерминантом, и обозначается |А|, det А, или . Определителем, или детерминантом, n-го порядка служит число, записываемое в виде квадратной таблицы

det А

и равное алгебраической сумме n! произведений вида .

Итак, det А, где суммирование распространено на все перестановки из чисел 1, 2, ..., n. Здесь  - число инверсий в перестановке . Говорят, что

числа  и  образуют инверсию в перестановке , если большее из чисел  и  расположено левее меньшего.

Например, для n  2 , для n  3

Правило вычисления определителя  равносильно правилу треугольников (правилу Саррюса), которое схематически можно записать как и .

. Решение системы линейных уравнений по формуле Крамера

!!! Система из двух уравнений с двумя неизвестными

координата уравнение перпендикулярность крамер

решается с помощью формул Крамера:

, ,где  и , .

При решении системы возможны три случая:

. Определитель системы . Тогда система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера.

. Определитель системы . Если при этом хотя бы один из определителей и  не равен нулю, то система не имеет решений.

. Если ,  и , то одно из уравнений есть следствие другого, система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

!!! Система из двух уравнений с тремя неизвестными:

Из основной матрицы  при помощи поочередного вычеркивания столбцов получаем определители, , .

Дополнительные определители:

, .

Возможны три случая:

. Если из трех определителей

, ,  

хотя бы один не равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений, причем одному неизвестному можно дать любое значение. Пусть, например, отличен от нуля , тогда неизвестному  можно придать любое значение (если , то , если , то ), а исходную систему переписать в виде, . Отсюда неизвестные  определяются по формулам Крамера.

. Все определители   , но один из определителей, , ,  не равен нулю. В этом случае система несовместна, то есть не имеет решений.

. Все выписанные определители равны нулю. Система имеет бесчисленное множество решений.

!!! Система из трех уравнений с тремя неизвестными:

При решении системы из трех уравнений с тремя неизвестными возможны три случая:

. Определитель системы . Система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера  ,

 , ,где  и , , .

. Определитель системы равен нулю, . Если при этом хотя бы один из определителей , не равен нулю, то система несовместна, решений не имеет.

. Если  и , то система имеет бесчисленное множество решений.

. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения

Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений - вывод формулы.

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения  слева на  (порядки матриц A ⋅ X и В позволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как , а по определению обратной матрицы  (E - единичная матрица порядка n на n), поэтому

Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .

Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу  только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ n ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.

. Предел последовательности. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {x _n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения x _{n ,} у которых n>N, удовлетворяют неравенству : x _n - a < .

Записывают это следующим образом:  или x _n a.

Неравенство равносильно двойному неравенству: a- e < x _n < a + e , которое означает, что точки x _n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- e , a+ e ), т.е. попадают в какую угодно малую e -окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Определение:

Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x a, если для всякой последовательности {x _n } значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x _n )} имеют один и тот же предел А.

Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e , можно найти такое d >0 (зависящее от e ), что для всех x, лежащих в d -окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < ½ x-a ½ < d , значения функции f(x) будут лежать в e -окрестности числа А, т.е. ê f(x)-A ê < e .

ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ :

. Последовательность, имеющая предел, ограничена.

. Последовательность может иметь только один предел.

. Любая неубывающая (невозрастающая) и ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет предел.

. Предел постоянной равен этой постоянной:   5. Предел суммы равен сумме пределов:

. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:   7. Предел произведения равен произведению пределов:  .

. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя отличен от нуля:  

. Если  и обе последовательности  и  имеют один и тот же предел а, то    В теоремах 5-8 предполагается, что все пределы в правой части равенств существуют!!!

Пример.

Найдем предел  . Имеем   

14. Функция и способы ее задания

Понятие функции:

Назовем упорядоченной парой (x, y) двухэлементное множество {x, y}, в котором элемент x находится на первом месте, а элемент y - на втором. Элемент x называется первой координатой упорядоченной пары, а элемент y - второй координатой. Две упорядоченные пары равны, когда совпадают их координаты: (x, y) = (u,v) <=> x = u, y = v .

Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (x, y), таких, что x принадлежит X , y принадлежит Y и каждому элементу x принадлежащему X ставится в соответствие единственный элемент y принадлежащий Y . Обозначение: f: X → Y. Множество X называется областью определения функции f, а множество Y - областью значений. Обозначают: Df и Ef. Если ясно, какие множества X и Y имеются в виду, то пишут y = f (x). Элемент x называется аргументом, а y - значением функции f.

Способы задания функции:

Табличный:

Используется тогда, когда область определения состоит из конечного множества чисел. Тогда для задания функции проще всего указать таблицу, содержащую значения аргумента и соответствующие значения функции. Например, таблица логарифмов. Другим примером могут быть таблицы, содержащие данные о числе жителей, населяющих земной шар в отдельные годы, расписания движения поездов и т.п.

Аналитический:

При аналитическом способе задания функция может быть задана явно, когда дано выражение у через x, т.е. формула имеет вид y = f (x); неявно, когда х и у связаны между собой уравнением вида F(x, y) = 0 ; параметрический, когда соответствующие друг другу значения х и у выражены через третью переменную величину t, называемую параметром.