Материал: Основы математического моделирования. методические указания к выполнению контрольной работы для студентов направления Машиностроение. Бырдин А.П., Костина Т.И
Вариант 10
+
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
Вариант 14
16
Вариант 15
Вариант 16
Вариант 17
Вариант 18
Вариант 19
17
Вариант 20
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Задача №1
Задание. Дана табл. 4 значений функции y f (x). Используя метод наименьших квадратов, подобрать для заданных значений x и y :
1)линейную функцию y A0 A1x;
2)квадратичную функцию y A0 A1x A2x2. Построить графики этих функций.
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
||||
|
X |
|
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
2,5 |
3,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
0,31 |
0,82 |
1,29 |
1,85 |
2,51 |
3,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0,x1, ...,xm |
Решение. Пусть |
для неизвестной функции |
f (x) в точках |
|||||||||
экспериментальным путем получены значения |
y0 f (x0), y1 |
f (x1), |
|||||||||
ym f (xm). Интерполяция позволяет аппроксимировать таблично заданную функцию f (x) с помощью более простой функции (x). При этом требуется выполнение в узлах интерполяции xi равенства f (xi) (xi) (i 0,1,...,m). В ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже нецелесообразно. При большом числе узлов интерполяции степень интерполирующего многочлена получается высокой. Поэтому точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка несколько шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. В практических приложениях желательно иметь единую приближенную формулу f (xi) (xi) (i 0,1,...,m), пригодную для большего отрезка [a,b]. При этом точность приближения может оцениваться по-разному. В основу обычно берется рассмотренное отклонение
f (xi) (xi) (i 0,1,...,m).
В связи с этим возникает задача о приближении: таблично заданную функцию f (x) заменяют многочленом Pn(x), который имеет не слишком вы-
18
сокую степень n m 1 и дает в некотором смысле разумную точность аппроксимации.
Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена Pn(x) от функции f (x) принимается их среднее квадратичное отклонение
m
Pn(xi) yi 2 .
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
Задача состоит в том, чтобы |
в |
аппроксимирующем |
|
многочлене |
||||
P (x) A |
A x ... A xn |
подобрать |
коэффициенты A ,A ,...,A |
так, чтобы |
|||||
n |
0 |
1 |
n |
A1xi ... Anxin yi 2 |
0 1 |
n |
|
||
|
|
|
m |
|
|
|
|||
минимизировать |
A0 |
(A0,A1,...,An). Так как |
|||||||
i 0
коэффициенты A0,A1,...,An выступают в роли независимых переменных функции , то необходимым условием минимума является равенство нулю всех
частных производных |
|
, |
|
, …, |
|
. Приравнивая к нулю эти частные |
|||||
|
|
|
A0 |
A1 |
An |
|
|
||||
производные, получим систему уравнений: |
|
|
|||||||||
|
|
m |
A1xi A2xi2 |
... Anxin |
yi) 0; |
||||||
2 (A0 |
|||||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
2 |
|
n |
|
|
||
|
2 |
(A0 |
|
|
|
yi)xi |
0; |
||||
|
A1xi A2xi |
... Anxi |
|||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(A0 |
A1xi A2xi2 |
... Anxin |
yi)xi2 |
0; |
|||||
|
|||||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.............................. .................... .................... ..... |
|||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1xi A2xi2 |
... Anxin |
yi)xin |
|
||||||
2 (A0 |
0. |
||||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После преобразования система принимает вид
19
|
|
m |
m |
m |
m |
|
|
A0m A1 xi A2 xi2 ... An xin |
yi; |
||||||
|
|
i 0 |
i 0 |
i 0 |
i 0 |
|
|
|
m |
m |
m |
m |
n 1 |
|
m |
|
xi |
2 |
3 |
|
xiyi; |
||
A0 |
A1 xi |
A2 xi |
... An xi |
||||
|
i 0 |
i 0 |
i 0 |
i 0 |
|
i 0 |
|
|
m |
m |
m |
m |
|
m |
|
|
xi2 |
A1 xi3 A2 xi4 |
... An xin 2 |
xi2yi; |
|||
A0 |
|||||||
|
i 0 |
i 0 |
i 0 |
i 0 |
|
i 0 |
|
......................................................................................... |
|||||||
|
m |
m |
m |
|
m |
|
m |
|
|
|
|||||
A0 xin |
A1 xin 1 A2 xin 2 ... An xi2n xinyi. |
||||||
|
i 0 |
i 0 |
i 0 |
|
i 0 |
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому она имеет единственное решение A0,A1,...,An.
1. Аппроксимируем таблично заданную функцию y f (x) линейной
y A0 A1x.
Составим систему для определения A0, A1:
|
6 |
|
6 |
A0m A1 xk yk; |
|||
|
k 1 |
|
k 1 |
|
6 |
6 |
6 |
|
|||
A0 |
xk A1 xk2 xk yk. |
||
|
k 1 |
k 1 |
k 1 |
6
Предварительно вычисляем xk 0,5 1 1,5 2 2,5 3 10,5,
k 1
6
xk2 0,25 1 2,25 4 6,25 9 22,75,
k1 6
yk 0,31 0,82 1,29 1,85 2,51 3,02 9,8,
k 1
6
xkyk 0,5 0,31 1 0,82 1,5 1,29 2 1,85 2,5 2,51 3 3,02 21,94.
k 1 |
6A |
10,5A 9,8; |
|
|
Следовательно, |
|
|||
|
0 |
1 |
|
|
|
10,5A0 22,75A1 21,94. |
|
||
Решая эту систему, находим A0 и A1: A0 0,28, |
A1 1,09. |
|||
Искомый многочлен y 1,09x 0,28. |
|
|||
20