Материал: Лекция 2 по СМ для ФЭМТО 2021
Дисциплина «Сопротивление материалов»
Лекция 2:
Растяжение и сжатие стержней.
Лектор - Серазутдинов Мурат Нуриевич.
2. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ
Внутренние силы при растяжении и сжатии
В общем случае в поперечном сечении стержня возникают шесть внутренних силовых факторов: N – продольная сила, Qx , Qy –
поперечные силы, T – крутящий момент, M x , M y – изгибающие мо-
менты. В ряде случаев внешние силы действуют так, что некоторые из внутренних силовых факторов равны нулю.
Осевым растяжением (сжатием) стержня называется вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только продольная сила N .
Величины внутренних сил находят с использованием метода сечений и принятого правила знаков.
1
Продольная сила N считается положительной, если
она растягивает отсеченную часть стержня (рис. 2.1), т.е.
направлена по направлению внешней нормали к сечению.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 0 |
|
|
|
|
||||
N |
|
N |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 0 |
|
|
|
|
|||
|
N |
|
N |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1. Знаки продольной силы
Графики, показывающие, как изменяются внутренние силы в направлении продольной оси стержня, называются эпюрами внутрен-
них сил.
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии,
закон Гука, модуль упругости, коэффициент Пуассона
Рассмотрим случай растяжения стержня внешней продольной нагрузкой, равномерно распределенной по концам стержня (рис. 2.2).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
N |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2. Напряжения в растянутом стержне
2
Равнодействующая этой нагрузки равна F . В попе-
речных сечениях стержня с-с возникает продольная сила
N , которая является равнодействующей напряжений . В
соответствии с формулами (1.1),
N dA . |
(2.1) |
А |
|
Опыты показывают, что если нанести на поверхность рассмат- |
|
риваемого стержня сетку взаимно |
перпендикулярных линий |
(рис. 2.2), то при деформации стержня, линии перемещаются равномерно по длине стержня и параллельно самим себе. Поперечные сечения смещаются не искривляясь.
Описанная картина деформирования стержня соответствует ги-
потезе плоских сечений, впервые сформулированной голландским ученым Д. Бернулли. Согласно этой гипотезе поперечные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после де-
формации. Так как продольные слои стержня деформируются одина-
ково, то и нормальные напряжения во всех точках поперечного сече-
ния должны быть одинаковыми. Поэтому в любом поперечном сече-
нии const и из формулы (2.1) получаем |
N dA A . Следо- |
||
|
|
|
А |
вательно, |
|
|
|
|
N |
. |
(2.2) |
|
|||
|
A |
|
|
3
Обозначим длину стержня через l, а высоту и ширину поперечного сечения b и a . На рис. 2.3 пунктирной лини-
ей показан стержень после растяжения.
b1 b
l
l1
Рис. 2.3. Стержень до и после деформации
Как показывают опыты, при растяжении длина стержня увели-
чивается, а поперечные размеры уменьшаются. Его длина станет рав-
ной l1 , высота и ширина сечения – b1 и a1 . При сжатии – наоборот,
стержень становится короче, а поперечные размеры увеличиваются.
Вырежем мысленно в направлении продольной оси стержня бесконечно малый элемент длиной dz . После растяжения его длина увеличится на величину dz . Продольная линейная деформация этого
элемента |
dz |
. Следовательно, |
dz dz . Суммируя удлинения |
|
dz |
||||
|
|
|
бесконечно малых элементов по всей длине стержня, получим
l
l dz .
o
Учитывая, что по длине стержня const, находим
l |
l |
l |
l dz dz dz l
o |
o |
o |
4
Из этого равенства следует, что при растяжении стержня продольная деформация вычисляется по формуле
|
l . |
(2.3) |
|
l |
|
Абсолютная продольная деформация |
||
|
l l1 |
l . |
Аналогично находятся абсолютные поперечные деформации
b b1 b , а а1 а ,
Относительные поперечные деформации в направлении сторон с
размерами b и a
b bb , а аа .
Для изотропных материалов поперечные деформации во всех направлениях одинаковы:
a b ;
Отношение относительной поперечной деформации к отно-
сительной продольной деформации , взятое по модулю, называется
коэффициентом Пуассона:
.
Величина является постоянной для изотропного материала и определяется экспериментально.
Значения для различных материалов изменяются в пределах
0 0,5. Отметим, что для большинства конструкционных материа-
лов = 0,25 0,33, для пробки = 0, для резины = 0,5.
5