Материал: Лекция 11 Энерг методы

dF

dUdF.

F_n

n n 0 nn

Отбрасываявэтомравенствеслагаемое

dF_nd_n^,

каквеличинувторогопорядкамалости,находим

n

F_n

Получилось, что частная производная от потенциальной энергиидеформации тела по силе, равна перемещению точки приложе-ния силы по направлению этой силы. Теорема Кастильяно дока-зана.

^{Вформуле(16)величинуF}_n

можнорассматриватькак

обобщеннуюсилу,т.е.какнекоторыйсиловойфактор.Следова-

тельно,величина_n

должнарассматриватьсякакобобщенное

перемещение.ЕслиF_n

• сосредоточеннаясила,то_n

• переме-

щениеточкиприложениясилыпонаправлению

F_n,еслиF_n–

сосредоточенныймомент,то_n

будетугломповоротавточке

приложениясосредоточенногомоментапонаправлениюмомен-та.

Пример2.Консольнаябалкадлинойl,нагруженасилой

F(рис.1).Определить прогиббалкивточкеприложениясилы.

Решение.Впримере1былопоказано,чтодляконсольнойбалкипотенциальнаяэнергиядеформациивычисляетсяпофор-

муле

U_0

_F2l3

6EI

. Используя теорему Кастильяно

х

(формула(16)),определяемпрогиббалкивточкепри-

ложениясилы:

v^U0

F

Fl³_.

3EI

х

2. ИнтегралМора

Метод определения перемещений с использованием теоре-мы Кастильяно позволяет находить перемещения тела только вточках приложения внешних сил и только в направлении этихсил. На практике возникает необходимость определять переме-щенияразных точекконструкциии вразныхнаправлениях.

Для нахождения перемещения (угла поворота) в точке тела,вкоторойнеприложеновнешнихсил,поступаютследующим^{образом.ВнужнойточкеприкладываютфиктивнуюсилуФ}(силу илимомент,которыхв действительности нет). Направле-ниеФдолжносовпадатьснаправлениемдлякоторогоопреде-ляетсяперемещение.Составляетсявыражениедляпотенциаль-

^{нойэнергиисистемыU}₀

сучетомвнешнихсил,реакцийопори

фиктивнойсилыФ.ДифференцируяU₀

поФ,вычисляютпро-

изводнуюотпотенциальнойэнергиидеформации

^U0,которая

Ф

потеоремеКастильяно,равнаперемещениюточкиприложения

Ф^{понаправлениюФ.Таккаквдействительности}

^{силыФнет,товполученномвыражениидля}

U₀

Ф

^{следуетположитьФ=0.Искомоеперемещениеконструкции}

_U₀

Ф

^{, приФ=0.}

В дальнейшем рассмотрим конструкции, элементами кото-рой являются стержни. Такие конструкции называютсястерж-невымисистемами.

Если в стержневых элементах конструкции возникают де-формации растяжения или сжатия, то стержневая система назы-ваетсяфермой.Если в стержневых элементах возникают дефор-мацииизгибаиликручения,токонструкцияназываетсярамой.

Рассмотримплоские стержневые системы(рамы),у кото-рых все элементы расположены в одной плоскости. В этой жеплоскости находятся и главные оси поперечных сечений стерж-ней,атакжедействующиевнешниесилыиреакции опор.

Во многих случаях в рамах возникают нормальные напря-жения,связанные с изгибом. Величина изгибныхнапряженийможет быть значительно больше напряжений, связанных с дру-гимивидамидеформации.Поэтому полагаем,чтовсеченияхстержнейдействуют толькоизгибающиемоменты.

ОпределимперемещениеточкиОвнаправленииосиОх

длярамы,нагруженнойсистемойвнешних сил(рис.3).

q

F

x

O

а б

Рис. 3. Рама при действии внешних сил (а); при дей-ствиивнешних и фиктивнойсил (б)

^{Приложим в точкеОфиктивную силуФпо правлениюоси}Oх(рис. 3б). Внутренние силовые факторы в поперечных се-ченияхрамыприэтомизменяютсянавеличины,зависящиеотФ^{. Используя принцип независимости действия сил, возникаю-щие в поперечных сечениях изгибающие моменты можно запи-}сать вследующемвиде:

M_хM_FM_Ф,

(17)

гдеM_F

• изгибающиемоментывсеченияхрамы,обусловлен-

ныедействиемвнешнихсил;M_Ф

• изгибающиемоменты,обу-

словленныедействиемфиктивнойсилыФ.Таккакмоменты

M_Ф,пропорциональныФ,выражение(17)можнозаписатьтак:

M_хM_FФM_1,

(18)

где

M₁^{,–изгибающиймомент,возникающийвпоперечныхсе-}

ченияхрамыпридействииединичнойсилы,приложеннойвточкеО.Действительно,еслиубратьсистемувнешнихсилиза-

^{менитьсилуФединичнойсилой(положить}

M_F0^,

Ф1^),то

получим

M_хM₁^.

Сучетом(12),формуладляпотенциальнойэнергиидефор-мациирамыимеет вид

гдесимвол_

l

длинерамы.

_M2

0 

_l2EI_х

означает,чтоинтегрированиепроводиться повсей

дим

Подставляявпоследнееравенствовыражение(18),нахо-

(M_FФM₁)²

U_0

2EI

dl.

^{ДифференцируяU}₀

^l х

поФ,получаем

U_0(M_FФM₁₎M_{1dl. (19)}

Ф _l

EI_х

ВсоответствиистеоремойКастильяно,

^U0-этопереме-

Ф

щениеточкиОвнаправленииосиОхпридействиинарамувнешнихсилификтивнойсилыФ,которойвдействительности

нет.Поэтомуполагаявсоотношении(19)Ф=0,по-лучимперемещениеточкиОвнаправленииоси

Охпридействиинарамувнешнихсил:

_^MFM1dl. (20)

_l EI_х

Интегралвправойчастивыражения(20)называютинте-граломМора.

Пример3.Определитьпрогибконсольнойбалкивточке

А(рис. 4а).

_y y

^О О

a б

Рис. 4.Консольная балка(а);консольная балкапри дей-ствиивнешней иединичнойсилы(б)

ПриложимвточкеАединичнуюсилу(Рис.4б).Длявычис-лениявнутреннихсиловыхфакторовбалкуразбиваемнадва

участка:

0z^l и0z^l.Наэтихучасткахвыражениядля

1 ₂ 2 ₂

изгибающихмоментовзаписываются следующим образом(см.рис. 4):

MFz, ^{M0 при0}z^l.

F 1 1 1 ₂

MF(0,5lz),M1z ^при 0z^l.

F 2 1 2 2 ₂

Следовательно,всоответствиисформулой(20),прогиббалкивточкеА

l

v^MFM1dl2^MFM1dz

l

2^MFM1dz

^{A E}I

^EI

^{1 E}I ²

^l х ⁰ х ⁰ х

l

_^2Fz0_dz^2F(0,5lz)z_dz

l

^F2(0,5lz

z²)dz

 1 1 

^{0 EIх 0}

2 2 _

E I

2

2 2 2

l

F 0,5lz² z^{3 2} 5Fl³

 ( ²²)  ^.

^{EIх 2 3} 0 ^48EIх

3