Материал: Лекция 11 Энерг методы

Дисциплина«Сопротивлениематериалов»

Лекция11:«ТеоремаКастильяно.

МетодМора»

ЛекторСеразутдиновМуратНуриевич.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕМЕТОДЫРАСЧЕТА СТЕРЖНЕЙ

Потенциальнаяэнергия деформации стержня

Какбылоустановленоранее,вобщемслучаенапряженногосостоянияудельная потенциальная энергия деформациивычис-ляетсяпо формуле

U^1²²²2(

), (1)

_2E 1 2 3

12 23 31

где₁,

_2,

₃–главныенапряжения.

Получимвыраженияпотенциальнойэнергиидеформациивчастныхслучаяхнапряженногосостояния.

Вслучаеплоскогонапряженногосостояния

вательно,

₃0,следо-

U^1²²2

. (2)

_2E 1 2 12

Причистомсдвиге

_30^,а

₁₂^.Под-

^{ставляя}_1^,_2^{в формулу(2),получим}

U

2G

Прилинейномнапряженномсостояниииформула(1)принимаетвид

_1,

_2_30

_2

U . (4)

2E

Определим, какими будутвыражения для потенциальнойэнергии деформации стержня при элементарных видах дефор-мации(растяжение-сжатие,изгиб, кручение).

Прирастяженииисжатиивпоперечныхсеченияхстерж-

нявозникаютнормальныенапряжения

^N.Подставляявы-

А

ражение

^N

А

вформулу(4),получимудельнуюпотенциаль-

нуюэнергиюдеформациистержня

_N2

U_2EА2. (5)

ПолнаяэнергиядеформацииU₀

находитсяинтегрировани-

емудельнойпотенциальнойэнергииUпообъемустержня:

l

U_{0}UdV_

_UdАdl, (6)

V 0А

здесьl– длина стержня;dА– элемент площади попе-речного сечения;dl– элемент длины продольной осистержня.

Используя выражение дляUв виде (5) (6), получим фор-мулудля вычисленияполной энергиидеформации

l _N²

1^lN²

U_{02EA2dA}dl_{2EA2dldA}.

0A 0 A

Учитывая,что_dАА,изпоследнегоравенстваследует,

А

чтоприрастяженииисжатиистержняпотенциальнаяэнергиядеформациистержня

_1^lN²

. (7)

U_{0 2EАdl}

При плоском изгибебалки возникает плоское напряженноесостояние. В поперечных сечениях стержня действуют нормаль-ныеи касательныенапряжения. Главные напряжения опре-деляютсяпо формуле

^

1 ₂

.₂

^

2

(8)

Послеподстановкивыраженийдля главныхнапряжений

(8)в(2),получимформулудляудельнойпотенциальнойэнергиидеформациистержнявследующемвиде:

U¹²E

²2(1)². (9)

При изгибе стержня касательные напряженияобычнозначительноменьшенормальныхнапря-жений.Поэтомувформуле(9)можнопренебречь

касательныминапряжениямиииспользоватьдлявычисленияудельной потенциальной энергии деформациисоотношение:

U

2E

ПодставляяUв виде (10) в (6), получим выражение дляполнойпотенциальной энергии деформации стержня при плос-комизгибе:

l

U_0

0

_2

А

Какизвестно,приплоскомизгибестержнянормальныенапряженияопределяются по формуле

^Mхy.

I_х

Используяэтовыражениедляиравенство(11),находим

l _M² ₂ l_M² ₂

U_{0} ^хydAdl_ ^х_ydAdl.

х

х

Сучетомтого,чтоосевоймоментинерциипоперечного

сечениястержня

I_хy²dА,изпоследнегоуравненияследует,

А

чтопотенциальнаяэнергиядеформациистержнявслучаеплос-когоизгиба



U_0

^хdl. 12)

²_0EI_х

Прикручениивпоперечныхсеченияхстержняввидекругаиликольцавозникаюткасательныенапряжения

^T

I_p

. (13)

Так как при кручении возникает деформация чистого сдви-га, потенциальная энергия деформации будет определяется поформуле(3).Наосновесоотношений(6),(3),(13),получаем

l _T² ₂

_{1l T2} ²

U_{02GI2}dAdl_{22GI2}dAdl.

^0A p ⁰ p^A

Впоследнемравенстве

I_p=²dА

А

-полярныймомент

инерции сечения . Следовательно,при кручении стержня вы-ражение для потенциальной энергии деформацииможно пред-ставитьвследующемвиде:

1^lT²

0

p

dl. (13)

В общем случае сложного сопротивления, в поперечныхсеченияхстержнявозникаютодновременнопродольнаясила,изгибающие и крутящие моменты. Используя принцип незави-симостидействиясил,присложном сопротивлении потенци-альную энергию деформации можно представитьв виде суммыэнергийэлементарныхвидов деформаций:

1^lN²

U

dl¹

M² 1^l

0

0

х

у

² l ²

0

1

T

M

p



dl.

0

l

^2EI

^2EI

^2GI

Пример 1.Определить потенциальную энергию деформа-цииконсольнойбалки(рис.1) постоянной жесткости.(EI_хconst)^.

y

О

Рис. 1.Консольнаябалка

Решение.При действии силыF, в балке возникает плоскийизгиб. С учетом формулы (12), потенциальная энергия деформа-ции

х⁰

U_0 ^хdl

₀2EI_х

_2EIMхdl.

Каквидноизрис.1,всеченияхбалкиизгибающиймомент

M_хFz,аdldz.Следовательно,

l ₂ l _{2 F}²

3^{l F23}

_Mхdl_(Fz)

0 0

dz

(z)  l.

3 ⁰ 3

Потенциальнаяэнергиядеформациибалки

U_0

_F2l3_.

6EI

х

2. ТеоремаКастильяно

Для определения перемещений стержневой системы можетбыть использованатеорема Кастильяно,которая имеет следу-ющую формулировку:производная от потенциальной энергиидеформации упругого тела по силе, равна перемещениюточкиприложениясилы по направлению этой силы.

Перемещение точки тела по направлению силы равна про-екции полногоперемещения точки нанаправлениесилы.

Рассмотримдеформируемоеупругоетело,закрепленноетак,чтобыононеперемещалоськактвердоетела(рис.2).По-

^{тенциальнаяэнергиядеформацииU}₀

зависитотдействующих

нателовнешнихсил.Приприложенииктелусистемысилбудетсовершенаработа,равнаяпотенциальнойэнергиидеформации

^телаU₀^.

Пустьоднаизсил

F₄

F_n,получа-

F

етмалоеприращение

dF_n^{.Приэтом}

потенциальнаяэнергия U₀ изме-нитсятакженамалуювеличину

Рис. 2. Деформируемоеупругоетело

dU₀истанетравной

U_1U₀

• dU₀

U₀

_U₀

F_n

dF_n

(14)

Изменимпорядокприложениясил.Приложим

вначалектелумалуюсилу

dF_n^{.Вточкеприложенияэтойсилы}

возникнетмалоеперемещение,проекциюкоторогонанаправле-

ниедействия

dF_n

обозначим

d_n^{.Работасилы}

dF_n

напереме-

^щенииd_n

равна

dW₁dF_nd_n.

Затемприложимдействующуюсистемусил.Приэтомбудетсо-вершенаработа,состоящаяизсуммыработвнешнихсил,равной

U₀^{,иработы,совершаемойранееприложеннойсилой}перемещении_n:

dF_nна

где–_n

W_2U_0dF_n_n,перемещениеточкиприложения

F_nпонаправлению

этойсилы.

При таком порядке приложения сил потенциальная энергиядеформации тела

U_1dW_1W_2dF_nd_nU₀dF_n_n. (15)Для упругого тела справедлив принцип независимости действиясил.Величина потенциальнойэнергиидеформациине зависитот порядка приложения сил. Поэтому, можно приравнять правыечасти уравнений (14)и (15):

0

n