Материал: Кинематика. Динамика. Законы сохранения. методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Физика». Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

4. Динамика вращательного движения твердого тела

4.1. Основные формулы

1. Момент инерции:

а) материальной точки: ;

б) системы материальных точек: ;

в) твердого тела: .

2. Теорема Штейнера

,

где I – момент инерции тела относительно произвольной оси; I₀ - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции тела параллельно заданной оси; d – расстояние между осями; m – масса тела.

3. Момент силы

а) относительно точки: ;

б) относительно оси:

4. Момент импульса

а) материальной точки относительно точки: ;

б) твердого тела относительно оси

5. Уравнение моментов

.

6. Основное уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z:

,

где M_z – алгебраическая сумма моментов всех внешних сил относительно оси z; I_z – момент инерции тела; - модуль углового ускорения.

7. Закон сохранения момента импульса системы тел относительно оси

.

8. Кинетическая энергия твердого тела:

а) вращающегося вокруг неподвижной оси: ;

б) при плоском движении: , где - скорость движения центра масс.

9. Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси:

а) в общем случае: ;

б) в случае постоянного момента силы: ,

где - угол поворота тела.

10. Аналогия между формулами динамики поступательного и вращательного движения.

Поступательное движение	Вращательное движение
– масса	- момент инерции
- импульс	- момент импульса
- сила	- момент силы

4.2. Типы задач и методы их решения Классификация

1. Вычисление моментов инерции тел правильной геометрической формы.

Метод решения.

Непосредственно интегрирование выражения для момента инерции тела .

2. Вращательное и поступательное движение тел и простейших систем.

Метод решения.

Применение основного уравнения динамики для вращательного и поступательного движения.

Применение закона сохранения энергии.

3. Упругий и неупругий удар в твердое тело, закрепленное на оси.

Метод решения. Применение законов сохранения энергии и момента импульса взаимодействующих тел.

4. Определение работы при вращательном движении.

Метод решения. Прямое интегрирование выражения , либо использование соотношения

.

Примеры

I тип задач

1. Найти момент инерции однородного круглого цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси.

Решение

Рассмотрим тонкостенный цилиндр радиусом r, толщиной dr и высотой h (рис. 4.1). Его объем

Рис. 4.1

.

Момент инерции тонкостенного цилиндра

,

где - плотность цилиндра.

Момент инерции всего цилиндра определится интегралом

Ввиду однородности цилиндра

С учетом этого, получим окончательно

.

2. Найти момент инерции однородного шара радиусом R и массой m относительно оси, касательной к поверхности шара.

Решение

Согласно теореме Штейнера момент инерции шара относительно оси, касательной к его поверхности,

,

где , .

После подстановки получим

.

II тип задач

1. Через блок в виде диска массой m₀ перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m₁ и m₂. Найти ускорение грузов. Трением пренебречь.

Решение

З аданная система состоит из трех тел – грузов m₁ и m₂, движущихся поступательно, и блока, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 4.2). Применим к решению задачи основные законы динамики поступательного и вращательного движения.

Установим силы, действующие на тела данной системы, и напишем уравнения движения для каждого из тел в отдельности. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити . Уравнения движения этих тел в проекции на ось у имеют вид

, (1)

. (2)

Вращение блока вызывается действием только сил натяжения нити, поскольку моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для блока

. (3)

Мы учли, что по третьему закону Ньютона силы натяжения вдоль нити с каждой из сторон блока одинаковы по модулю, т.е.

, .

Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой ее точке, следовательно,

, (4)

где R – радиус блока; - его угловое ускорение.

Решение системы трех уравнений с учетом соотношения (4) дает искомый результат

.

2. Однородный шар скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол . Найти ускорение центра инерции шара.

Решение

Решим данную задачу двумя методами: как непосредственным использованием основного уравнения динамики, так и с помощью законов сохранения,

1-й метод

Н

Рис. 4.3

а шар действует сила тяжести , сила нормальной реакции и сила трения (рис. 4.3). Последняя является силой трения покоя, которая и создает вращающий момент относительно мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Следовательно, шар совершает сложное плоское движение, представляющее сумму поступательного движения и вращения вокруг центра инерции, уравнения которых в скалярной форме имеют вид