Материал: Кинематика. Динамика. Законы сохранения. методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Физика». Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

, (1)

. (2)

Найдем связь между линейным а_с и угловым ускорениями. Поскольку шар участвует в двух движениях, скорость любой его точки

где - скорость центра масс, т.е. скорость поступательного движения; - линейная скорость, обусловленная вращением вокруг центра инерции.

Для точки М в проекции на ось х

.

При отсутствии скольжения и , а после дифференцирования

. (3)

Учитывая (3) и выражение для момента инерции шара , преобразуем (2) к виду

. (4)

Решая уравнения (3) и (4) совместно, получим

.

2-й метод

Рассмотрим шар в некоторый момент его движения по наклонной плоскости. Пусть его положение в данный момент определяется координатой х. Полная механическая энергия шара, при условии, что за нулевой уровень потенциальной энергии выбрана точка О, будет равна

.

Дифференцируя данное выражение по времени, получим

.

После преобразования, с учетом того, что , , и , будем иметь

.

Откуда, заменяя момент инерции шара его значением , найдем .

III тип задач

1. Тонкий стержень массой m и длиной L подвешен за один конец и может вращаться без трения. К той же оси подвешен на нити длиной шарик такой же массой m. Шарик отклоняется на некоторый угол и отпускается. При какой длине нити шарик после удара о стержень остановится? Удар считать абсолютно упругим.

Решение

Р

ассмотрим систему соударяющихся тел (рис. 4.4). Внешними по отношению к этой системе являются силы тяжести, реакции оси и натяжения нити. Однако моменты всех внешних сил относительно заданной оси в момент удара равны нулю. Следовательно, момент импульса этой системы не изменяется в результате удара:

(1)

Момент импульса системы до удара равен моменту импульса шарика

. (2)

Момент импульса системы после удара, с учетом того, что шарик останавливается, представляет собой только момент импульса стержня.

, (3)

где I – момент инерции стержня относительно оси вращения.

По теореме Штейнера

.

Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим

. (4)

При абсолютно упругом ударе кинетическая энергия системы не изменяется, т.е.

,

после преобразования

. (5)

Решение системы уравнений (4) и (5) дает:

.

IV тип задач.

1. Маховик в виде диска массой m и радиусом R был раскручен до частоты n. Под влиянием трения маховик остановился, сделав N оборотов. Найти момент сил трения, считая его постоянным.

Решение

Воспользуемся формулой, связывающей работу с изменением кинетической энергии

, (1)

где - момент инерции маховика; и - начальная и конечная угловые скорости.

Так как , то

. (2)

Работа постоянного момента сил трения, действующего на маховик, определяется формулой

, (3)

где - угол поворота тела до остановки.

Приравнивая выражения (2) и (3), получим

,

отсюда

.

Знак “минус” показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие.

2. Горизонтально расположенный однородный диск массой М и радиусом R свободно вращается вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. Диск имеет радиальную направляющую, вдоль которого может скользить без трения небольшое тело массой m. К телу привязана нить, пропущенная через полуось диска вниз.

Первоначально тело находилось на краю диска, и вся система вращалась с угловой скоростью . Затем к нижнему концу нити приложили силу F, с помощью которой тело подтянули к оси вращения. Найти: а) угловую скорость системы в конечном состоянии; б) работу, которую совершила сила F.

Решение

По закону сохранения момента импульса

, (1)

где - момент инерции диска; mR² – момент инерции тела, находящегося на краю диска; - угловая скорость системы в конечном состоянии.

Откуда, после преобразования, получим

. (2)

Работу, которую совершила сила F, найдем, используя изменение кинетической энергии вращения системы:

.

Подставляя в эту формулу выражение для момента инерции диска . С учетом (2), получим окончательно

.

4.3. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий Первый уровень сложности

Рис. 4.5

1. Определите момент инерции системы (рис. 4.5), состоящей из двух шариков массами m и 2m, закрепленных на стержне массой 3m, относительно оси ОО. [(5/2)md²]

Рис. 4.6

2. Чему равен момент инерции проволочного квадрата (рис.4.6) со стороной d и ее массой m, относительно оси ОО? [(5/3)md²]

3

Рис. 4.7

. Пустотелый цилиндр с очень тонкими стенками имеет массу m и радиус R. Определите его момент инерции относительно оси ОО (рис.4.7). [2mR²]

4. Прямолинейная однородная проволока длиной и массой m согнута так, что точка перегиба делит проволоку на две части, длины которых относятся как 1:2. Чему равен момент инерции проволоки относительно оси вращения, проходящей через точку перегиба и перпендикулярной плоскости проволоки? [m ²/9]

5. Какова линейная скорость центра: а) цилиндра, б) обруча, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 0,1 м. [ м/с; 1 м/с]

6. К маховику с моментом инерции Ј, вращающемуся с угловой скоростью ω, приложили тормозную колодку. Если скорость маховика уменьшилась в 2 раза, то чему равно отношение количества выделившейся при этом теплоты к первоначальной кинетической энергии? [3/4]

7. Сплошной цилиндр массы m и радиуса R вращается с угловой скоростью ω вокруг оси Z, совпадающей с одной из образующих цилиндрической поверхности. Определить момент импульса цилиндра. [3m R²  / 2]

8

Рис. 4.8

. Тонкий обруч радиусом R=1м, способный свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка, отклонили от вертикали на угол /2 и отпустили (рис. 4.8). Чему равно в начальный момент времени угловое ускорение обруча? [5 рад/с²]

9. Однородный стержень длиной = 1 м и массой m = 1 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину, под действием момента сил М = 0,1 Н  м. Каково при этом угловое ускорение стержня? [1,2 рад/с²]

10. Диск радиуса R и массы m может вращаться вокруг неподвижной оси. На диск намотана нить, к концу которой приложена постоянная сила F. Какова кинетическая энергия диска после того, как он совершит один оборот? [2πFR]

11. Шар радиусом R =10 см и массой m =5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению =A+Bt²+Ct³, где В = 2 рад/с², С = -0,5 рад/с². Чему равен в момент времени t = 3 с вращательный момент силы? [- 0,1 Н м]