Простейший планиметр-топорик можно изготовить кустарным способом. Он состоит из металлического стержня, согнутого в виде широкой буквы П (рис. 7). Один конец инструмента расплющивается в виде топорика, а другой, ведущий конец заострялся в иглу.
Чтобы определить площадь, ограниченную каким-либо контуром, намечают на глаз центр тяжести этого контура - точку О и соединяют ее прямой ОА с контуром. Планиметр ставят в вертикальное положение острием в точку О (рис. 8а) и слегка нажимают на топорик, чтобы получить след на бумаге (1). Затем делают обвод иглой, сначала по прямой ОА до контура, далее полный оборот по контуру до точки А и, наконец, снова возвращаются в исходную точку О. После этого легким нажимом фиксируют на бумаге новое положение топорика (2). Площадь, ограниченная контуром, равняется произведению длины планиметра m на расстояние между начальным и конечным положением топорика n - площадь фигуры S=m•n.
Для уточнения результата и исключения ошибки от несовпадения точки О с центром тяжести фигуры надо сделать новый обвод после поворота инструмента на 180°, как показано пунктиром, и в противоположном направлении. За окончательный результат принимают среднее положение из двух полученных значений. Погрешность в определении площади участков при помощи планиметра зависит от квалификации измеряющего и при умелом пользовании составляет около 1-2%. В домашних условиях планиметр-топорик можно заменить перочинным ножом с двумя лезвиями (рис. 8б). Точность определения площади с помощью ножа будет несколько ниже, но зато нож всегда может оказаться у вас под руками.
2.4 Метод расчета по формуле Пика
Формула Пика (или теорема Пика) - формула, согласно которой площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна:
В+ Г/2 ? 1,
где В-количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г - количество целочисленных точек на границе многоугольника. Формула открыта австрийским математиком Георгом Александром Пиком в 1899 году.
Формула Пика используется не только для вычисления площадей многоугольников, но и для решения многих задач олимпиадного уровня. Пример использования формулы Пика при решении задач:
1) Шахматный король обошел доску 8 Ч 8 клеток, побывав на каждом поле ровно один раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, соединяющая последовательно центры полей, которые проходил король, не имеет самопересечений. Какую площадь может ограничивать эта ломаная? (Сторона клетки равна 1.)
Из формулы Пика сразу следует, что площадь, ограниченная ломаной, равна 64/2 ? 1 = 31; здесь узлами решетки служат центры 64 полей и, по условию, все они лежат на границе многоугольника. Таким образом, хотя таких «траекторий» короля достаточно много, но все они ограничивают многоугольники равных площадей.
2.5 Метод «перекраивания» или разбиение многоугольника на части
Под плоским многоугольником понимают многоугольник вместе с ограниченной им частью плоскости. Заметим, что при измерении площади многоугольников опираются на основные свойства площадей:
Если один многоугольник равен другому их площади равны.
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то площадь многоугольника равна сумме площадей этих многоугольников.
Для нахождения площади многоугольника его «перекраивают» в более простые фигуры и затем, применив свойства площадей, находят площадь фигуры.
Итак, чтобы найти площадь многоугольника способом перекраивания необходимо: разделить многоугольник на более простые фигуры, такие как квадрат, прямоугольник, прямоугольный треугольник. Найти площади этих фигур, на которые разделен многоугольник. Сложить полученные площади. Sф= S1+S2+S3+…
Данный метод, может быть, применим школьниками при определении площади многоугольников.
2.6 Метод достраивания
При нахождении площади неправильной фигуры, некоторые фигуры проще достроить до прямоугольника или квадрата, используя для достраивания фигуры прямоугольного треугольника, квадрата или прямоугольника.
Ответ: S= 33см2
Данный метод, может быть, применим школьниками при определении площади неправильной геометрической фигуры. Расчетный способ достраивания и определения площади лекал в швейном производстве состоит в том, что чертеж площади лекала разбивают на части, представляющие собой простые геометрические фигуры, например, прямоугольники, треугольники, трапеции, части круга, части эллипса и др., площади которых легко подсчитать по их размерам.
рис. 9
Площадь лекал майки (рис. 9) может быть представлена как алгебраическая сумма площадей следующих геометрических фигур:
2.7 Метод вычисления по формулам планиметрии
Самый известный метод среди школьников - расчет площади по формуле.
Площадь квадрата:
Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
S = a2
где a - длина стороны квадрата; S - площадь квадрата.
Формула площади прямоугольника:
1) Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон (a, b).
a - длина 1-ой стороны прямоугольника
b - длина 2-ой стороны прямоугольника S - площадь прямоугольника.
Формула площади круга:
1) Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число (пи).
2) Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.
S - площадь круга
= 31415
r - радиус круга
Формула площади параллелограмма:
1) Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты (a, h).
S - площадь параллелограмма
a - длина основания
h - длина высоты
Формула площади трапеции:
1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (a, b, h).
S - площадь трапеции; a - длина 1-ого основания; b - длина 2-ого основания
h - длина высоты трапеции.
Формулы площади ромба:
1) Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h).
2) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
;
S - площадь ромба; a - длина основания ромба; h - длина высоты ромба
d1 - длина 1-ой диагонали; d2 - длина 2-ой диагонали.
3. Применение методов расчета площади фигур на практике
Проанализировав прочитанную мной литературу, я выявила 7 способов нахождения площадей геометрических фигур. Рассмотрим все способы решения на одной задаче.
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см Ч 1 см (см. рис. 10). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение 1 - метод взвешивания.
На электронных весах определила массу единичного квадрата m0, площадь которого S0=1см2. Для этого положила фигуру единичного квадрата на электронные весы и зафиксировала массу m0. Опыт был проведен три раза и определена средняя масса единичного квадрата m0с.
m01 = 0,03г; m02 = 0,02г; m03 = 0,03г >;
.
Затем определила массу фигуры mфигуры=0,31г (опыт был проведен три раза).
Нашла площадь фигуры по формуле
S = S.
Расчет S = 1 см2 .
Ответ: S = 11, 9 см2 ? 12 см2
Решение 2 - метод палетки.
Так как наша фигура начерчена на бумаге в клетку, то подсчитав число целых клеток n= 40 и число неполных клеток k= 16, попавших в контур фигуры, и зная площадь одной клетки S0 =0,25 см2, рассчитаем площадь фигуры по формуле
S = S0
Расчет: S = •0,25см2 = 12см2.
Ответ: S =12см2.
Решение 3 - метод измерения планиметром.
В качестве планиметра я взяла перочинный нож с двумя лезвиями. Нашла экспериментально, и отметила центр тяжести данной фигуры О (Приложение 4). Установила одно из лезвий в точку О и отметила точку 1 у окончания второго лезвия. Провела линию до контура фигуры из точки О, и проведя по ней, обвела контур фигуры и вернулась обратно в точку О. При этом второе лезвие сместилось и я отметила точку 2. Измерила расстояние между лезвиями m =10,4 см и расстояние между точками 1 и 2 n =1,4 см. (Приложение 5).
Нашла площадь фигуры по формуле S=m•n. Расчет S = 10,4 см•1, 4 см = 14,56см2. Относительная погрешность измерений ? = • 100% = 17%
Ответ: S=14,56см2. Погрешность измерений составила 17%, что вполне допустимо для эксперимента в домашних условиях.
Решение 4 - метод расчета по формуле Пика.
Посчитаем количество целочисленных точек внутри многоугольника = 7, и количество целочисленных точек на границе многоугольника = 12. Подставим в формулу значения в формулу.
S=7+ -1=12.
Ответ: 12 см2
Решение 5 - метод «перекраивания» или разбиения фигуры на части
Проводим дополнительную линию AC, которая «разрезает» нашу трапецию на два прямоугольных треугольника. Первый с катетами AC = 4 и BC = 2, его площадь S1 = 4Ч2/2 = 4. Второй с катетами AC = 4 и AD= 4, его площадь S2 = 4Ч4/2 = 8. (Длины сторон мы также определили прямым подсчётом клеточек.)
Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ACB и DAC.
S = S1 + S2 = 4 + 8 = 12.
Ответ: 12 см2.
Решение 6 - метод достраивания до прямоугольника.
Проводим горизонтальные линии через вершины В и D, продолжаем вертикальные линии AD и ВС до пересечения с горизонтальными. Точки пересечения обозначим символами E и F. Получили прямоугольник DEBF со сторонами DE = 6 и DF = 4, его площадь 6Ч4 = 24. Чтобы получить искомую площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади (зелёных) треугольников AEB и DFC.
SАЕВ = AE·EB/2 = 2·4/2 = 4 и SDFC = DF·FC/2 = 4·4/2 = 8
Следовательно, площадь трапеции равна S = 24 ? 4 ? 8 = 12.
Ответ: 12 см2
Решение 7 - метод расчета по формуле планиметрии.
ABCD - трапеция, т.е. четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. На рисунке параллельны стороны ВС и AD, они проходят по вертикальным линиям сетки, значит они являются основаниями трапеции. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту (обозначим её - h). Длину оснований определяем простым подсчётом клеточек на рисунке. ВС = 2, AD = 4. Как определить h? Вспомним, что высота трапеции это расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания. Обычно, для определения этого расстояния, нужно из какой-либо вершины трапеции опустить перпендикуляр на противолежащую параллельную прямую, но здесь у нас такие перпендикуляры уже есть - это горизонтальные линии сетки. Возьмем, например, линию, на которой находятся точки А и С, на ней укладывается ровно 4 клеточки. Следовательно, h = 4. Подставляем значения в формулу: S = h·(BC + AD)/2. Расчет S = 4·(2 + 4)/2 = 12. Ответ: 12 см2
Результаты и выводы исследования
В ходе проведенного мною исследования, проведя расчеты, всеми доступными методами я сделала следующие выводы:
1. Тема нахождения площадей геометрических фигур красной нитью проходит через весь курс школьной математики и физики, является важной, так как ей уделяется достаточное количество времени на уроках математики, геометрии и физики.
2. Задачи на нахождение площадей многоугольников будут и в дальнейшем встречаться на уроках геометрии и физики в старших классах.
3. Существует достаточное количество способов нахождения площадей различных геометрических фигур на клетчатой бумаге.
4. Самым распространенным является 7 метод - расчет по формулам планиметрии, так как именно этому методу в школьной программе уделяется больше всего времени.
5. Другие, изученные мною методы, являются менее популярными, но не менее результативными.
6. Методы 1-3 пригодны для применения при расчетах площади фигур неправильной формы на практике в производстве, строительстве, в машиностроении и легкой промышленности, кадастровыми службами. Специалисты картографы, геодезисты, инженеры-строители, физики, конструкторы, закройщики, кадастровые инженеры должны обладать этими навыками и методами.
7. Методы 4-6 известны далеко не каждому, но именно эти методы является самым оптимальным по затратам времени при решении такого рода задач в вариантах ОГЭ.
8. В 9а, 9б и 8в классах было проведено тестирование на вычисление площади фигур. Все задания (10 задач по готовым чертежам) были взяты из открытого банка заданий с интернет-ресурса сайта ФИПИ. Результаты исследования показаны в таблице.