Исследовательская работа
Изучение и сравнение методов определения площади фигур
Введение
геометрия площадь пик
Актуальность данной темы связана с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические задачи, которые решает наука, немыслимы без математического аппарата, в том числе и без ее раздела - геометрии. Задачу измерения площади фигуры, ограниченной некоторой замкнутой линией, приходится решать людям самых различных специальностей: математикам, геодезистам, конструкторам, картографам, физикам, проектировщикам и др. Основа для математической грамотности закладывается в школе, а геометрические задачи встречаются при решении олимпиадных заданий, а также в задания ОГЭ и ЕГЭ. В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с правильными многоугольниками. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, чтобы определить давление человека на поверхность пола или земли, необходимо определить площадь опоры (площадь подошвы ботинок, кроссовок, туфель) или, если возникает необходимость определить площадь территории по плану или географической карте, или геологам необходимо измерить площадь рудоносной линзы и определить возможный объем добываемой руды, а также при обмере площади квартиры кадастровыми инженерами при постановке ее на учет в налоговую службу. Работа посвящена изучению и сравнению различных методов приближенного измерения и вычисления площадей фигур сложной формы. Я решила показать разнообразие способов решения одной задачи. Её решение требует от учащихся волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания, способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор школьников. И, возможно, поможет учащимся освоить решение таких задач, чтобы как можно меньше тратить времени на их выполнение на экзамене. Точность методов исследовалась на фигурах, площадь которых можно вычислить по формулам. А применение методов изучалось на примерах в научной и технической литературе для различных специальностей.
В своей работе я поставила цель: изучение и сравнение различных методов определения площади фигур.
Гипотеза исследования. Площадь фигуры можно определить без формул, если использовать определенные методы с точностью, достаточной для практических целей.
Для проверки гипотезы были поставлены следующие задачи:
1. Изучить литературу по теме исследования.
2. Сравнить эффективность различных способов практического измерения площадей, как для реальных физических объектов, так и для фигур, площади которых могут быть найдены по точным формулам.
3. Расширить возможности учащихся использовать различные способы решения задач по нахождению площадей фигур.
4. Показать практическое применение методов измерения площади фигур на практике.
5. Провести опрос и тестирование среди учащихся школы, проанализировать и обобщить результаты.
Методы исследований:
· Теоретический: анализ литературы
· Эмпирический: эксперимент
· Математический: построение таблиц, вычисления.
Объект исследования: площадь фигур различной формы.
Предмет исследования: способы измерения площади фигур.
1. Изучение методов определения площади фигур
1.1 Когда зародилась наука геометрия?
Геометрия, раздел математики, в котором изучаются пространственные отношения и формы и их обобщения. Геометрия в переводе с греческого означает «измерение земли» или «землемерие». Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: «Не знающие геометрии не допускаются!»
С древнейших времен, сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась. Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки и рычаги и другие простые механизмы.
Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.
«Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом рассмотрения и наконец, делается достоянием разума». Эти замечательные слова приписывают греческому ученому Евдему Родосскому, жившему в IV в.до н.э.
Сотни раз книги были переписаны от руки, а когда изобрели книгопечатание, то она много раз переиздавалась на языках всех народов и стала одной из самых распространенных книг в мире.
В одной легенде говорится, что однажды египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика Евклида, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом труде, содержащемся в 13 книгах.
Ученый гордо ответил: «В геометрии нет царской дороги».
1.2 Понятие об измерениях
Измерение - это сравнение с некоторым образцом (эталоном). Цель измерения - установить, какое количество этих образцов можно поместить в измеряемом объекте. Эта количественная характеристика и является результатом измерения, а эталон становится единицей измерения.
Чем более мелкие производные основного эталона используются в измерениях, тем выше точность измерения. На практике точность любых измерений ограничена возможностями измерительной аппаратуры. Количественной характеристикой точности является погрешность измерения. Обычно погрешность составляет половину цены деления шкалы измерительного прибора.
1.3 Измерение площадей
Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади.
Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур - любая из них обладает площадью. Площади фигур - это размеры части плоскости, занимаемой этими фигурами, выраженные в см2 или м2. Площади плоских фигур правильной геометрической формы, например, прямоугольников, треугольников, кругов, обычно определяют с помощью косвенных измерений. Еще в начальной школе мы изучали формулы нахождения площадей прямоугольника, квадрата и прямоугольного треугольника. Измерения проводились с помощью обычной линейки. Сначала измеряют линейные размеры фигуры (длину, высоту, ширину, радиус), а потом вычисляют площадь, пользуясь соответствующими формулами.
В курсе физики 9 класса мы познакомились с правилом определения пути по графику v(t): Путь тела - это площадь треугольника (или трапеции) под графиком скорости. Если v0 =0, то
Если v0 ?0, то
А также узнали, что механическая работа в физике также может быть определена графически.
Геометрическое толкование механической работы в физике заключается в нахождении площади фигуры, ограниченной графиком.
В геометрии площади фигур неправильной формы определяются лишь способом их вычисления. Если фигура имеет неправильную геометрическую форму, то ее площадь можно определить, начертив контур этой фигуры на бумаге в клеточку.
1.4 Единицы площади
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которой называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника. Площадь многоугольника - это величина внутренней части многоугольника. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогичного измерения отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Так, если за единицу измерения принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принят квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется квадратным сантиметром и обозначается см2. Аналогично определяется квадратный метр (м2), квадратный миллиметр (мм2) и т.д.
При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладывается в данном многоугольнике.
2. Методы измерения площади фигур
2.1 Метод взвешивания
Метод взвешивания путем измерения вспомогательной величины придуман еще в древности и заключается в измерении массы плоской копии измеряемой фигуры. Если толщина листа, из которого изготовлены взвешиваемая фигура, постоянна, то масса фигуры прямо пропорциональна ее площади. Нужно нанести на плотную бумагу квадрат, площадь которого S0 точно известна, вырезать его и определить на весах его массу m0. На бумагу такой же толщины и плотности перенести фигуру с искомой площадью S. Вырезать фигуру и определите её массу m. Затем, пользуясь правилом пропорции , вычислить искомую площадь фигуры. Тогда S = S0 .
Этот метод тем точнее, чем точнее лабораторные весы, а в современных условиях это могут быть только электронные весы.
Применение метода нахождения площади методом взвешивания применяется в швейно-трикотажном производстве, когда необходимо произвести расчеты расхода площади трикотажного полотна на одно изделие. Способ определения площади лекал взвешиванием, наиболее простой, требует построения чертежа лекала на бумаге, достаточно однородной по плотности и проверенной по весу 1 м2. Фигуру, площадь которой определяют, вырезают аккуратно по контуру чертежа, взвешивают на лабораторных весах и по весу подсчитывают площадь по формуле
где S - площадь лекала, см2; q - вес лекала, г;
Q - вес 1 м2 бумаги, г.
2.2 Метод подсчета клеток или метод палетки
Метод палетки основан на разбиении плоскости на конгруэнтные квадраты. Если фигура имеет неправильную геометрическую форму, то ее площадь можно определить, начертив контур этой фигуры на бумаге в клеточку или с помощью палетки - листом из прозрачного материала, на который нанесена сетка линий, образующих при пересечении квадраты эталонного размера - конгруэнтные квадраты. В этом случае площадь фигуры вычисляют по формуле
S = S0
где n - количество целых клеток; k - количество нецелых клеток, S0 - площадь одной клетки (рис. 1). Палетка представляет собой лист из прозрачного материала, на который нанесена сетка линий, образующих при пересечении квадраты эталонного размера. Изготовив палетку, таким методом можно определить площадь подошвы обуви для расчета давления человека на опору или площадь страны на географической карте.
В швейно-трикотажном производстве для облегчения расчета площадей простых геометрических фигур пользуются вспомогательной сеткой, представляющей собой лист бумаги с миллиметровой сеткой (рис. 2). На ней тушью наносят линии, образующие клетки со стороной 3 см.
Применение данного метода измерения площади производится геологами и геодезистами, когда необходимо измерить площадь рудоносной линзы и определить возможный объем добываемой руды. Определение площади линзы полезных ископаемых производится несколько раз при разной ориентировке палетки относительно контура. Окончательное значение площади вычисляется как среднее арифметическое.
На рисунке показано измерение площади рудоносной линзы на разрезе с помощью палетки
а - палетка короткой стороной ориентирована горизонтально;
б - под углом 450 к горизонту
Применение метода нахождения площади с помощью палетки применяется инженерами - строителями в расчетах определения давления опор зданий на грунт или машиностроителями при расчетах давления гусеничных тракторов и большегрузных машин на плодородный слой почвы, а также при строительстве взлетно-посадочных полос самолетов и определении давления шасси самолетов на покрытие полосы. В курсе физики мы, таким образом, определяли давление, которое оказывает человек на поверхность земли или пола в зависимости от площади опоры обуви.
2.3 Измерение площади планиметром
Для измерения площадей применяют специальный прибор - планиметр. Полярный планиметр (рис. 4) представляет собой два рычага, соединенных шарниром. Определение площади производится обводкой контура фигуры вручную штифтом (рис. 5), связанным со счетно-решающим механизмом (рис. 6).