Материал: ИздательствоСанкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С.М. КироваISBNГод2017Страниц18Уровень образованияМагистратура. Системный анализ

Тогда уравнение (11) примет вид

В случае, если нелинейная функция F не содержит величины х3, а содержит только ее производные, т.е. если

F 0

= 0x3

лучится уравнение

где

Уравнения (13) и (14) удобнее записывать в символьном форме, автоматически выделяя характеристический полином системы, введя алгеб-

раизированный оператор дифференцирования p dtd . Тогда уравнение (13)

примет вид

а уравнение (14)

Здесь в (15) и (16) в скобках в левой части выделен характеристический полином системы.

Стандартные формы записи уравнений систем (13) и (14) или их сокращенные виды (15) и (16) можно использовать как для размерных отклонений реальных величин на входе и выходе системы, так и для любых без-

11

размерных относительных отклонений, специально иногда вводимых для упрощения вида уравнений и удобства их исследования. При записи уравнений в стандартной форме коэффициенты к1, к2, к3, к4 называются коэффициентами передачи, а Т1, Т2. Т3 – постоянными времени данной системы.

Термин «коэффициент передачи» можно пояснить следующим обра-

зом. Если подать на вход системы только постоянное значение х10 и найти установившееся значение выходной величины х30, то из (13) получим х30 = к1 х10 . Таким образом, коэффициент к1 показывает отношение вы-

ходной величины системы к входной в установившемся режиме. Постоянные времени Т1, Т2. Т3, как следует из уравнений (13) и (14),

имеют размерность времени. Возвращаемся к нашей задаче.

Функцию (3) линеаризуем в окрестности точки pq 0 , f f m ax путем

разложения ее в ряд Тейлора с точностью до величин первого порядка малости

Максимальное значение площади проходного сечения рабочего окна дросселя при торможении определяется по формуле:

12

Решив систему уравнений (10), получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

V0mn ** k p mn * F k f f 2EF F

Разделив обе части уравнения на коэффициент при старшей производной, получим

где t - текущее значение времени при торможении.

Вводим алгебраизированный оператор дифференцирования p dtd .

Уравнение (20) примет вид

Здесь p2 + 2hp + k2 – характеристический полином рассматриваемой системы.

Найдем корни характеристического полинома:

p1,2 h h2 k 2 .

Возможны два случая:

1)h ≥ k, тогда оба корня характеристического полинома вещественные отрицательные. В этом случае общее решение уравнения

13

(22) имеет вид

vобщ C1e( h h2 k 2 )t C2 e( h h2 k 2 )t ,

где С1 и С2 постоянные интегрирования. Они находятся из начальных условий задачи.

2)h < k, тогда корни комплексные с отрицательной вещественной частью. В этом случае общее решение уравнения (22) можно записать, например, в виде

vобщ С1e ht sin(k 2 h2 )t С2 e ht cos(k 2 h2 )t .

Частное решение ищем в виде vч =А + Bt, найдем А и В.

Приравниваем коэффициенты в левой и правой частях уравнения (23) при членах содержащих t. Получим

Приравниваем коэффициенты в левой и правой частях уравнения (23) при членах не содержащих t. Получим

14

Решение уравнения (22) имеет вид v(t) = vобщ + vч .

Рассмотрим первый случай, когда корни характеристического уравнения вещественные отрицательные. Тогда

где А и В определяются формулами (24) и (25).

Рассмотрим второй случай, когда корни характеристического полинома комплексные с отрицательными вещественными частями. Тогда

Подставив в (27) начальные условия, получим систему уравнений для определения С1 и С2 , решив которую получим формулы для их определения

C2 qii0 A

15