Материал: ИздательствоСанкт-Петербургский государственный лесотехнический университет имени С.М. КироваISBNГод2017Страниц18Уровень образованияМагистратура. Системный анализ

рукоять и колонну однородными стержнями, груз – точечной массой. Полагаем также, что ось вращения колонны совпадает с ее центром масс и можно пренебречь моментом инерции колонны относительно вертикальной оси. В результате кинетическая энергия колонны при ее вращении будет равна нулю.

Тогда, кинетическая энергия стрелы будет равна

В результате

Tct 12 q12 (13 mctlct2 cos2 q2 ) .

Кинетическая энергия рукояти будет равна

Кинетическая энергия груза будет равна

Tгр 12 q12 mгр (lct2 cos2 q2 l p2 cos2 (q3 q2 )) .

Суммируя полученные результаты, получаем выражение кинетической энергии манипулятора при его движении с помощью гидропривода колонны

T 12 q12 mпр ,

где mпр – приведенная к оси вращения колонны масса манипулятора с грузом.

6

mгр (lct2 cos2 q2 l p2 cos2 (q3 q2 ))

Приведем массу mпр к штоку гидроцилиндра привода колонны. Для этого перейдем от угловой скорости q1 вращения колонны к скорости v движения штока гидроцилиндра привода колонны

v qi1 .

Таким образом приведенная масса mп манипулятора к штоку гидроцилиндра привода колонны будет равна

mп i2 mпр .

Уравнение расходов в напорной магистрали с учетом сжимаемости жидкости

где V2 - объем жидкости в правой полости.

Приняв допущение V1 = V2 = V, сведем уравнения (5) и (6) к одному:

Qq F V0 dpq 2E dt ,

где V0 - половина всего объема гидроцилиндра.

Уравнение сохранения объемного расхода запишем в виде Qq = Qqp, где Qqp - расход рабочей жидкости через дроссель.

7

Предполагая, что подача и давление насосной установки постоянны (Qн = const, pн = const), а также, что усилие сопротивления мало (Rc ≈ 0), математическая модель привода сводится к системе из четырех уравнений:

Данная система уравнений, описывающая с учетом принятых допущений основные процессы в гидроприводе, нелинейная. Для получения линейной математической модели необходимо линеаризовать функцию (3), описывающую расходно-перепадную характеристику дросселя.

Линеаризация уравнений

Пусть некая система (подсистема), например, имеет входные величины х1, х2, выходную – х3 и внешнее воздействие f, а уравнение системы (подсистемы) имеет произвольный нелинейный вид

(для примера взят определенный порядок входящих в уравнение производных x2, x3, f; вообще же здесь могут быть любые другие варианты).

Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при

В основе линеаризации нелинейных уравнений, рассматриваемых здесь, лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные (в данном случае х1, х2, х3) изменяются так, что их от-

8

Условие достаточной малости динамических отклонений переменных от некоторых установившихся значений для рассматриваемой в методических указаниях системы выполняются.

Внешнее воздействие f не зависит от работы системы, изменение его может быть произвольным, и поэтому правая часть нелинейного уравнения обычно линеаризации не подлежит.

Разложим функцию F, стоящую в левой части нелинейного уравнения, в ряд по степеням указанных выше малых отклонений, рассматривая все производные тоже как самостоятельные переменные. Тогда исходное нелинейное уравнение примет вид

частная производная от функции F по х1, после чего в нее вместо всех переменных подставляются их постоянные значения х10, х20, 0 , х30, …, 0).

Следовательно, все частные производные в полученном уравнении представляют собой некоторые постоянные коэффициенты. Они будут переменными во времени, если функция F содержит t в явном виде или если

установившийся процесс в системе определяется переменными значения-

ми х10 (t), x20 (t), x30 (t).

Члены высшего порядка малости, указанные в уравнении, состоят из произведений и степеней малых отклонений х1, х2, … с коэффициентами в виде смешанных частных производных и частных производных второго и высших порядков от функции F по всем переменным.

Вычтя из уравнения (10) почленно уравнение установившегося состояния (9) и отбросив члены высшего порядка малости, получим искомое линеаризованное уравнение динамики данной системы, взятой в качестве примера, в виде

9

Это дифференциальное уравнение, так же как и (8), описывает тот же динамический процесс в той же системе. Отличие этого уравнения от прежнего состоит в следующем:

1) это уравнение является более приближенным, ибо в процессе его вывода были отброшены малые слагаемые высшего порядка;

2) неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние полные величины х1, х2, х3, а их отклонения х1, х2, х3 от некоторых установившихся значений х10, х20, х30;

3) полученное уравнение является линейным относительно откло-

F 0

, … (или с переменными коэффициентами, если F содержит t в яв-

x2

ном виде, а также когда установившийся процесс определяется перемен-

ными величинами х10 (t), x20 (t), x30 (t).

Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного достигнута.

В дальнейшем можно проводить линеаризацию нелинейных уравнений непосредственно по аналогии с формулой (11), не производя предварительных выкладок.

Принято записывать дифференциальные уравнения так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены – в правой части. Кроме того, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Чтобы привести линеаризованное уравнение (11) к такому виду, введем обозначения:

10