Статья: Использование функции Кобба-Дугласа при моделировании производственных процессов

Использование функции Кобба-Дугласа при моделировании производственных процессов

А.А. Мухин

В современной экономике все больше и больше происходит процесс изучения независимых и альтернативных подходов изучения бизнеса (организации). К таким альтернативным подходам современности относятся: «неоклассическая теория», «теория транзакционных издержек» (теория специфических активов), «теория неполных контрактов» (теория прав собственности), а также «агентская теория» (теория стимулов).

Такие интегрированные системы и подходы экономики и менеджмента, как «ресурсная теория», «теория знаний», «стратегическая теория», «предпринимательская теория», «сетевая теория», «теория ресурсной зависимости», «теория институционального изоморфизма», «теория ситуационного выбора», «теория стратегического выбора», в настоящее время перспективны и актуальны.

Рассматривается базовая модель неоклассической теории. Главное превосходство этой теории выражается в том, что она предопределяет технологическую составляющую в целом по экономике в широком смысле понимания, и зависит от масштабов деятельности экономического субъекта. При этом данная теория предусматривает отражение экономии в деятельности экономического субъекта с учетом масштабов деятельности и бизнес- процессов (факторов), характеризующих объемы производства и оборота организаций.

В рамках рассматриваемого подхода определяется некоторая макроструктура, осуществляющая затраты экономических ресурсов: основные фонды, численность занятых, которые влияют на оборот организаций. Задача рационального ведения хозяйствования, с которой встречается Удмуртская Республика, заключается в определении прогноза оборота организаций при заданных ресурсах и в расчете необходимых для ее стоимости основных фондов, численности занятых. Выявлено, что экономика сельских районов Удмуртии имеет незначительный эффект от масштаба ресурсов, так как при одновременном росте труда и капитала на 1 % оборот организаций увеличивается на 1,82 %, причем конечный продукт в наибольшей степени зависит от состояния рабочей силы, так как современное состояние применяемого оборудования находится в критическом состоянии по уровню износа и эффективности.

Ключевые слова: моделирование, комплексное исследование, прогнозирование, оценка.

A. A. Mukhin

THE USE OF COBB-DOUGLAS PRODUCTION FUNCTION IN MODELING PRODUCTION PROCESSES

Several alternative economic approaches to the study of organization are discussed in the literature: the neoclassical theory, the theory of transaction costs (the theory of specific assets), the theory of incomplete contracts (the theory of property rights), and the Agency theory (the theory of incentives). Recently, there have been approaches at the intersection of Economics and management: resource theory, knowledge theory, strategic theory, entrepreneurial theory; in the framework of sociology: network theory, the theory of resource dependence, the theory of institutional isomorphism, the theory of situational choice, the theory of strategic choice.

The article deals with the basic model of neoclassical theory. The advantage of the neoclassical theory is that it emphasizes the role of technology in General and economies of scale in particular as factors that influence the size of production, turnover of organizations. Within the framework of the considered approach, a certain macrostructure is determined that carries out the costs of economic resources: fixed assets, the number of employees that affect the turnover of organizations. The task of rational economic management, which meets the Udmurt Republic, is to determine the forecast of turnover of organizations with the given resources and to calculate the necessary for its value of fixed assets, the number of employees.

Keywords: production function, production systems, efficiency of system functioning and use of separate production factors, influence of scale of production on its efficiency, influence of administrative and technological innovations on production processes, turnover of the organizations, cost of fixed assets, number of employees.

В современной экономике назрела необходимость применения новых интегрированных систем и подходов для целей определения макроструктур экономического субъекта.

Макроструктура экономического субъекта с учетом функций - экономических показателей, производственных показателей и других функционально-технических показателей показывают систему целостности организации.

Производственная функция - это статистически значимая связь (технологическая связь) между совокупным выпуском (доходом) и объемами используемых ресурсов [1; 2].

Производственные функции могут быть определены для производственных систем различных масштабов - от производственного участка до мировой экономики. Каждая производственная система характеризуется собственной производственной функцией.

Аппарат производственных функций широко используется в микроэкономическом и макроэкономическом анализе при моделировании производственных процессов. С помощью производственных функций можно оценить эффективность функционирования системы и использования отдельных производственных факторов, определить возможности и последствия замещения одних факторов производства другими, найти влияние масштаба производства на его эффективность, изучить воздействие управленческих и технологических инноваций на производственные процессы.

Нахождение производственной функции для реальной производственной системы представляет задачу, которая решается статистическими методами обработки эмпирических данных. В общем виде производственную функцию можно записать следующим образом:

Как правило, делается предположение, что структура производит только один продукт и ее производственная функция непрерывна дифференцируема.

Рассмотрим понятие кривой замещения, кривой безразличия для производителей - изокванты. Изокванта - это кривая, которая показывает все возможные комбинации факторов производства, которые обеспечивают одинаковый объем производства. Введение изоквант состоит в том, что они наглядно показывают возможность замещения одного фактора производства другим. кобба дуглас математический производственная функция

Изокванты обладают следующими свойствами:

- изокванты не пересекаются друг с другом;

- в области определения производственной функции (экономической области) изокванты имеют отрицательный наклон и вогнуты по отношению к началу координат;

- большему выпуску продукции соответствует изокванта, более удаленная от начала координат;

- если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с осями координат.

Для количественной характеристики скорости изменения предельной нормы замещения вдоль изокванты используется понятие эластичности замещения ресурсов. Эластичность замещения ресурсов имеет следующий экономический смысл: она приближенно показывает, на сколько процентов должно измениться отношение ресурсов при движении вдоль изокванты, чтобы при этом предельная норма замещения у изменилась на 1 %. Эластичность замещения характеризует кривизну изоквант.

В случае однородных производственных функций эластичность замещения ресурсов может быть определена по формуле:

где д - степень однородности.

Рассмотрим один из видов производственных функций, степенную производственную функцию, производственную функцию Кобба-Дугласа.

Степенная производственная функция с п ресурсами имеет следующий вид:

где д - объем выпуска, х_]- - количество у -- го фактора, а₀,а_г ,а₂ , ...,а_п - положительные параметры (оу<1 для всехj =1, 2,..., п).

Наиболее известным видом производственной функции является функция Кобба-Дугласа:

где х₁ - объем производственных фондов (капитал) в стоимостном или натуральном выражении, х₂ - объем трудовых ресурсов в стоимостном или натуральном выражении, д - выпуск продукции в стоимостном или натуральном выражении, а₀, а_г, а₂ - постоянные величины.

Если (а₀>0,а₁> 0, а₂>0,а₁ + а₂< 1), то функция Кобба-Дугласа удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям, предъявляемым к производственным функциям.

Современные процессы развития экономики муниципалитетов требуют рассмотрения процессов эффективности развития с научных позиций экономико-математического моделирования [3;4]. Проведем комплексное исследование функции Кобба-Дугласа. В табл. 1 приведены данные об обороте организаций д, стоимости основных фондов х₁, численности занятых х₂ за год по УР. Используя исходные данные, требуется:

1) определить параметры производственной функции Кобба-Дугласа д = а₀х“¹х“²;

2) рассчитать основные экономико-математические характеристики производственной функции;

спрогнозировать оборот организаций для заданных средних значений (х_г = 1367 их₂ = 4746);

Данные по УдмуртскойРеспублике за 2017 год [5]

Таблица 1

Таблица 2

Исходныеданные для построенияфункцииКобба-Дугласа

Прологарифмированныеисходныеданные

Таблица 3

Решение

I. Определениенеизвестныхпараметров а₀, а₁, а₂производственнойфункции. Прологарифмируем функцию Кобба-Дугласа:

1п(ц) = 1п(а₀) + а₁1п(х₁) + а₂ 1п(х₂).

Пусть Q = 1п(ц),А₀ = 1п(а₀),Х₁ = 1п(х₁'),Х₂ = 1п(х₂'), тогда в новых обозначениях получим:

Таким образом,получив функцию линейноговида,определяем неизвестные

ры А₀, а_г, а₂с помощью метода наименьших квадратов и использования программного продукта Excel.

Полученные значения параметров а₀ =0,001; а_г =-0,49; а₂ = 2,31удовлетворяют требованиям а₀>0, а₂>0.