Статья: Фигурное представление таблиц истинности в логике высказываний

Исходная пара, представленная фигурами 1 и 4 (см. рис. 5, а), позволяет записать формулы и построить фигуры ЗИ для 3-й группы сложных высказываний: конъюнкции p?~q, дизъюнкции p?~q, импликации p>~q и эквиваленции p-~q (рис. 6). При этом третья фигура (рис. 6, в) совпадает с фигурой антидизъюнкции (рис. 4, б), а фигура эквиваленции p-~q (рис. 6, г) будет адекватной фигуре и формуле строгой дизъюнкции (p??q).

Аналогично фигуры 3 и 2 (см. рис. 5, б) позволяют построить фигуры ЗИ для 4-й группы сложных высказываний: конъюнкции ~p?q, дизъюнкции ~p?q, импликации ~p>q и эквиваленции ~p-q (рис. 7). При этом фигура, построенная по формуле ~p?q (рис. 7, б), повторяет фигуру импликации (см. рис. 3, в), а фигура, адекватная формуле ~p>q (рис. 7. в), повторяет фигуру дизъюнкции (см. рис. 3, б). Фигура же, соответствующая эквиваленции ~p-q (рис. 7, г), повторяет фигуру эквиваленции p-~q (см. рис. 6, г).

Рис. 6. Фигуры ЗИ смешанных высказываний: а - фигура 12 (конъюнкция p?~q), б - фигура 11 (дизъюнкция p?~q); в - фигура 10 (импликация p>~q); г - фигура 13 (эквиваленция p-~q)

Рис. 7. Фигуры ЗИ смешанных высказываний: а - фигура 14 (конъюнкция ~p?q); б - фигура 7 (дизъюнкция ~p?q ); в - фигура 6 (импликация ~p>q); г - фигура 13 (эквиваленция ~p-q)

Итак, на основании построенных фигур ЗИ для 4 первых пар элементарных исходных высказываний (см. рис. 2 и 5) выполнено логическое конструирование сложных высказываний и построение их ФЗИ. Количество различных фигур ЗИ стало равным 14. Что же объединяет эти 14 фигур? Отождествляет их тот факт, что фигуры всех 4 исходных пар имеют ось зеркальной симметрии. Это означает, что высказывания в каждой из рассмотренных нами исходных пар едины и взаимно противоположны, но не противоречивы.

Установленный факт противоположности исходных высказываний вынуждает нас вспомнить основной принцип диалектики, впервые высказанный Платоном в диалоге «Парменид» [11]. Философ утверждал, что нельзя мыслить что-либо как «абсолютное одно». В реальном мышлении нужно полагать что-либо как нечто «одно» и «иное», противоположное «одному».

Из вышеизложенного следует, что наличие факта симметрии (фигур ЗИ) в исходных парах высказываний позволяет логике высказываний сделать шаг в сторону возможного сближения принципов логики и диалектики.

6. Противоречие и закон исключенного третьего.

Для завершения исследования нам осталось рассмотреть 5-ю и 6-ю пары из возможных исходных высказываний, представленные выражениями (3). Для этого построим фигуры ЗИ названных пар (рис. 8), т. е. это будут ФЗИ высказываний p и ~p; q и ~q. В данном случае фигуры каждой из двух пар, расположенных «рядом» или «одна под другой», не имеют общей оси симметрии.

Рис. 8. две пары высказываний, представленных: а - фигурами 1 и 3 (для пары p и ~p);б - фигурами 2 и 4 (для пары q и ~q).

В отличие от других рассмотренных нами пар фигур (см. рис. 2 и 5), данные две пары фигур (см. рис. 8) позволяют иметь только две различные комбинации ЗИ. Поэтому из каждой пары (см. рис. 8) можно построить только по две фигуры (рис. 9), причем вторая пара новых фигур (рис. 9, в и г) повторяет фигуры первой пары (рис. 9, а и б).

Рис. 9. Фигуры ЗИ: а - фигура 15 (противоречие p?~p); б - фигура 16 (закон p?~p); в - фигура 15 (противоречие q?~q); г - фигура 16 (тот же закон q?~q)

Высказывания конъюнкций p?~p или q?~q приводят к построению фигуры 15, которая дает образ противоречия (рис. 9, а и в) - одного из центральных понятий логики. Высказывания дизъюнкций p?~p или q?~q приводят к фигуре 16, дающей образ закона исключенного третьего (рис. 9, б и г), согласно которому всегда истинно или само высказывание, или его отрицание. Фигурами 15 и 16 завершается построение новых фигур ЗИ и всего ансамбля из 16 ФЗИ. Пронумерованный список 16 фигур ЗИ, их изображения и формулы логики высказываний, по которым они построены, приведены в табл. 3.

Таблицам истинности придан обозримый образ, состоящий из 16 фигур со значениями «истина» и «ложь» (см. табл. 3). К этим фигурам в итоге сводятся все формулы логики высказываний. Фигуры ЗИ четко выявляют и фиксируют наиболее существенные стороны объектов логики, так как уточняют их содержание путем выявления новых форм.

Таблица 3. Фигуры значений истинности

Методологически таблицу 3 можно использовать для иллюстрации принципа научного познания, согласно которому «исследование каждого объекта должно вестись до тех пор и быть настолько полным, чтобы относительно каждого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет» [3, с. 54]. Например, в табл. 1 для наборов ЗИ в столбцах 5-8 вполне достаточно было бы иметь ЗИ для высказываний p и q, т. е. достаточно фигур 1 и 2, но в таблице введены в рассмотрение и наборы ЗИ отрицаний ~p и ~q, т. е. наборы для фигур 3 и 4. Методологически именно этот шаг позволил нам из высказываний p, q, ~p и ~q скомбинировать 6 пар исходных высказываний (3). Фигуры ЗИ именно этих пар (см. рис. 2, 5 и 7) привели нас к окончательному построению всего ансамбля из 16 ФЗИ.

На вопрос о правомерности применения логического инварианта в диалектике учения о слоях ответ будет таким: и да и нет. Да - потому, что выявлена возможность представить ЗИ в столбцах таблиц истинности фигурами ЗИ. Нет - по той причине, что для окончательного ответа потребуется дополнительное исследование по согласованию принципов логики с принципами и постулатами учения о слоях мышления.

Из анализа работ [1, 9, 10, 12, 13] следует, что возможность сближения принципов логики и диалектики наметилась только тогда, когда для слоев мышления была выбрана конкретная (плоская и клиновидная) форма их контура. Поэтому, отвлекаясь от конкретности, по вопросу о совместимости принципов логики и диалектики виден пока только образ следующей картины.

Диалектика в учении о слоях конкретного очертания, осуществляя очередной шаг полагания слоев, после его завершения делает остановку. Временная остановка движения (покой) нужна для того, чтобы «осмотреться» и, вглядываясь в предмет исследования, выбрать направление и место для выполнения следующего шага. Логика, наоборот, в момент «покоя» смотрит не вперед, а назад. Она как бы фиксирует и запоминает пройденный диалектикой путь: выявляет новые связи и отношения в уже положенных слоях мышления. Более того, только после установления и фиксации логических скреп диалектические категории окончательно определяют и «узаконивают» свой статус категорий.

Список использованных источников

1. Абрамов В. А., Тюряхин А. С. Графическая интерпретация и образы преобразований в схематизме мышления // Гуманитарные науки: в поиске нового: межвуз. сб. науч. тр. / редкол.: Л. И. Савинов (пред.) [и др.]. Саранск, 2009. вып. 7. с. 3-16.

2. Гильберт Д., Бернайс П. Математическая логика и основания математики / пер. с нем. Н. М. Нагорного; под ред. С. И. Адина. М.: Наука, 1979. 557 с.

3. Горский Д. П., Ивин А. А., Никифоров А. Л. Краткий словарь по логике / под ред. Д. П. Горского. М.: Просвещение, 1991. 208 с.

4. Зегет В. Элементарная логика / пер. с нем. И. М. Морозовой. М.: Высш. шк., 1985. 256 с.

5. Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1976. 256 с.

6. Лосев А. Ф. Античный космос и современная наука // Бытие - имя - космос / сост. и ред. А. А. Тахо-Годи. М.: Мысль, 1993. с. 61-612.

7. Лосев А. Ф. Дерзание духа. М.: Политиздат, 1988. 366 с.

8. Лосев А. Ф. Самое само. М.: Изд-во ЭКСМО-Пресс, 1999. С. 423-634.

9. Манухов В. Ф., Тюряхин А. С., Абрамов В. А. Онтологический категориальный инвариант - основа систематики научных терминов // Картография и геодезия в современном мире: материалы второй Всерос. науч.-практ. конф., Саранск, 8 апр. 2014 г. / редкол.: В. Ф. Манухов (отв. ред.) [и др.]. Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2014. С. 10-17.

10. Манухов В. Ф., Тюряхин А. С. Интеграция терминов и понятий посредством диалектических схем в учебной и словарно-справочной литературе // Интеграция образования. 2011. № 1. С. 34-38.

11. Платон. Собрание сочинений: пер. с древнегреч. В 4 т. Т. 2 / общ. ред.: А. Ф. Лосева, В. Ф. Асмуса, А. А. Тахо-Годи; примеч.: А. Ф. Лосева и А. А. Тахо-Годи. М.: Мысль, 1993. 528 с.

12. Тюряхин А. С. Диалектика первого символа бытия в графической интерпретации // Вестник Мордовского университета. 2004. № 1-2. С. 125-136.

13. Тюряхин А. С., Манухов В. Ф. Систематика категорий бытия и сущности на основе логики полагания слоев мышления // Инновационные подходы к развитию литературы, лингвистики, культуры, искусства и философии: монография / авт. коллектив: А. И. Афанасьев [и др.]. Одесса: куприенко св, 2015. С. 58-86.

14. Философский энциклопедический словарь. М.: ИНФРА-М, 2004. 576 с.