Статья: Фигурное представление таблиц истинности в логике высказываний

ФИГУРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТАБЛИЦ ИСТИННОСТИ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Автор(ы): Тюряхин Алексей Сергеевич кандидат технических наук, доцент, кафедра прикладной механики, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева», г. Саранск

Манухов Владимир Федорович кандидат технических наук, заведующий кафедрой геодезии, картографии и геоинформатики, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева», г. Саранск

Нуянзин Владимир Александрович магистрант, Мордовский государственный педагогический институт им. М. Е. Евсевьева, г. Саранск

Дубкова Татьяна Павловна менеджер-воспитатель, Муниципальное казенное дошкольное образовательное учреждение № 21, г. Новосибирск

Аннотация

Столбцам таблиц истинности, составленным из 4 ячеек, содержащих значения «истина» или «ложь», придана форма ромба, состоящего из 4 квадратов. В итоге таблицы истинности из одного или двух простых высказываний построенные по формулам логики высказываний сведены к изображению 16 выразительных фигур значений истинности, которые легко «схватываются» и запоминаются. Эти фигуры благодаря наглядности существенно упрощают выполнение многих операций логического исчисления и способствуют лучшему усвоению принципов и законов логики высказываний. Благодаря фигурам истинности обозначен образ возможного пути сближения постулатов учения о слоях мышления с правилами и принципами логики высказываний.

1. Предмет исследования.

Один из вариантов «учения о слоях» мышления [14, с. 472], интенсивно разрабатываемый авторами работ [1, 9, 10, 12, 13], представлен конкретной формой слоев, имеющих вид плоского бесконечного клина. Применив это учение к диалектике бытия и, опираясь при этом на труды А. Ф. Лосева [6, 7, 8], авторы работ [1, 13] получили инвариант онтологических категорий, интерпретируемых символами названных слоев. В качестве символов слоя мышления авторы названных работ рассматривают ромбические области, возникающие при вершинах клиновых слоев при их полагании.

На первых же шагах полагания слоев (мышления бытия) при их вершинах образуется ромбическая фигура, составленная из 4 символических квадратных ячеек. Такая фигура из 4 ячеек дает графически наглядный образ инварианта категориального бытия. Более того, в работах [10, 12, 13] их авторы используют и логический инвариант, построенный ими на основе геометрической интуиции. Логический инвариант накладывается на онтологический инвариант также исходя из чисто интуитивных суждений, и по этой причине он вызывает некоторое сомнение в его правомерности.

Тем не менее, при интуитивном осмыслении данного инварианта непроизвольно возникает ассоциация с таблицами истинности, которые используются в логике высказываний. В этих таблицах рассматриваются логические связи и отношения значений истинности, содержащихся в 4 ячейках каждого из столбцов. Названная ассоциация позволяет поставить задачу: выявить аналогию логических связей между ячейками в столбцах таблиц истинности и в ромбических ячейках их фигурного представления. Результаты решения этой задачи позволят не только разрешить упомянутое выше сомнение, но и дать ответы на другие вопросы, которые появятся в процессе решения самой задачи.

2. Таблицы истинности.

В логике двухзначных высказываний употребляются особые символы ~, ?, ?, >, -, ?? и др., именуемые соответственно: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, дизъюнкция строгая и др. Они служат для получения сложных высказываний из высказываний простых и менее сложных. простое высказывание не включает в себя других высказываний [3]. Оценка двухзначных высказываний именуется истинностным значением. При этом простое высказывание является либо истинным, либо ложным, а значение сложного высказывания зависит только от значений истинности (ЗИ) входящих в него простых высказываний и от характера их логических связок, обозначаемых приведенными выше символами. Например, сложное высказывание, образованное с помощью отрицания «не», истинно, если только исходное высказывание ложно. Формулам логики высказываний, образованным из пропозициональных переменных (p, q) и из связок, в естественном языке соответствуют предложения. Кроме того, каждой формуле можно поставить в соответствие таблицу истинности, указывающую на зависимость истинностного значения формулы от ЗИ входящих в нее переменных. Если «истинное» значение обозначим цифрой «1», а «ложное» - цифрой «0», то сводную таблицу истинности, составленную из 2 простых и 6 сложных высказываний, можно представить, например, в виде табл. 1.

Таблица 1. Значения истинности в ячейках столбцов из 8 высказываний

В столбцах таблицы набраны значения истинности высказываний: простых p и q (входные столбцы 1 и 2), сложные отрицательные ~p и ~q, образованные из одного простого (столбцы 3 и 4), и сложные, образованные из двух простых (столбцы 5 - 8). ЗИ высказываний p и q, входящих в формулы сложных высказываний, точно соответствуют их заданным значениям во входных столбцах. Феномен таблиц истинности проявляется в том, что алгоритм их использования можно применять как разрешающую процедуру не только к формулам логики высказываний, но и для одноместных предикатных форм, для категорического силлогизма и для некоторых других дедуктивных теорий [3].

Истинностные значения «1» и «0» в табл. 1 размещаются в ячейках на пересечениях строк и столбцов. столбцы составлены из наборов четырех ЗИ. Типовые наборы входных столбцов представлены значениями p и q, наиболее часто встречающимися в учебной и справочной литературе по логике [2-5]. Поэтому согласно правилу о соблюдении единой последовательности наборов ЗИ во входных столбцах мы не будем изменять их содержания.

Обусловленность и доказательность таблиц истинности постигается при непосредственном знакомстве с ними. Однако при пользовании таблицами возникают вопросы. Например, как и в чем проявляется:1) различие и тождество наборов ЗИ во входных столбцах;2) целостное единство наборов ЗИ в названных столбцах. Удовлетворительных ответов на поставленные и другие вопросы авторы данной работы в литературе по логике [2-5 и др.] не нашли и поэтому предлагают свою версию ответов на них. Кроме того, скучные переборы ЗИ в столбцах таблиц плохо запоминаются. Для большей их наглядности и в целях решения поставленной задачи переформатируем табл. 1.

3. Фигуры значений истинности.

Переход от таблиц истинности (см. табл. 1) к фигурам истинности выполним в два этапа. Сначала перестроим табл. 1 в новую таблицу того же содержания. С этой целью совместим ячейки 2-й и 3-й строк в одной строке и раздвинем эти ячейки во всех столбцах таблицы (влево и вправо). В результате получим таблицу, в каждом столбце которой образовалась фигура из 4 ячеек с ромбическим расположением в них значений истинности (табл. 2). При этом левые ячейки фигур содержат значения 2-й строки табл. 1, правые - значения 3-й строки.

бытие логика мышление диалектический

Таблица 2. Фигурное расположение значений истинности в столбцах

Таким образом, в табл. 1 и 2 значения истинности:1) одинаковые в ячейках 1-х строк;2) переходят из ячеек строки 4 табл. 1 в нижние ячейки ромбических фигур табл. 2;3) переходят из ячеек строк 2 и 3 табл. 1 в левую и правую ячейки соответствующих фигур табл. 2.

Если теперь ячейкам в столбцах табл. 2 придадим форму квадратного ромба, то в каждом из ее столбцов получим изображение ромбической фигуры (рис. 1), составленной из 4 ромбических ячеек. Данная фигура закрепляет в памяти зрительный образ содержания ЗИ в ячейках фигурных столбцов табл. 2.

Рис. 1. Ромбическая фигура из 4 ячеек в столбцах табл. 2

На 2-м этапе (форматирования таблиц) совместим фигурные ячейки (см. рис. 1) с их фигурным содержанием (см. табл. 2). В итоге мы должны получить выразительный облик фигур значений истинности (фигур ЗИ, или, кратко, ФЗИ) в каждом из столбцов табл. 2. Но эти фигуры удобнее изображать не в табличной форме, а отдельным рисунком одной фигуры или группы из двух и более фигур (в зависимости от контекста излагаемого материала). Поэтому в соответствии с содержанием табл. 1 и 2 мы сначала рассмотрим фигурное построение ЗИ для двух первых пар высказываний в столбцах табл. 2 (рис. 2).

Рис. 2. Две пары фигур ЗИ: а - фигуры 1 и 2, соответствующие формулам p и q; б - фигуры 3 и 4, построенные по формулам ~p и ~q

Анализ рисунка показывает, что:1) в каждой из двух пар высказываний две фигуры, расположенные рядом, имеют ось зеркальной симметрии;2) факт симметрии свидетельствует о наличии такой связи двух наборов ЗИ в столбцах 1-й пары (рис. 2, а), которая позволяет их условно называть «входными» утвердительными высказываниями табл. 1;3) наборы ЗИ 2-й пары в столбцах 3 и 4 (рис. 2, б) могут играть роль «промежуточных» входных столбцов для других таблиц в случаях развития (расширения содержания) табл. 1.

4. Фигуры 1-й и 2-й групп сложных высказываний.

В табл. 1 и 2 входными являются два первых столбца, ЗИ в которых представлены фигурами p и q (см. рис. 2, а). Мысленно совмещая эти две фигуры в одну, мы получим в ячейках последней четыре комбинации из ЗИ, которые в зависимости от характера логических связей в столбцах 5-8, позволяют построить 1-ю группу из 4 фигур ЗИ для сложных высказываний: конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции (рис. 3).

Рис. 3. Фигуры ЗИ: а - фигура 5 (конъюнкция); б - фигура 6 (дизъюнкция); в - фигура 7 (импликация);г - фигура 8 (эквиваленция)

Затем вместо высказываний p и q (см. рис. 2, а) во входных столбцах новых таблиц истинности выберем их отрицания ~p и ~q (см. рис. 2, б). Далее по аналогии с рис. 3 построим 2-ю группу фигур ЗИ для других 4 сложных высказываний (рис. 4).

Сопоставив фигуры 5, 8 и 9, осуществим замену формулы эквиваленции (p«q) дизъюнктивной нормальной формой высказывания:

(p?q)?(~p?~q), (1)

т. е. дизъюнкцией, «членами которой служат простые конъюнкции» [2].

Далее, если сопоставим фигуры 6, 8 и 10, то также легко можно заменить формулу отрицания эквиваленции (строгой дизъюнкции) конъюнктивной нормальной формой высказывания

(p?q)?(~p?~q), (2)

в котором членами конъюнкции служат две простые дизъюнкции. Формуле (2) соответствует фигура 13 (см. п. 5, где она будет построена другим способом).

Рис. 4. Фигуры ЗИ: а - фигура 9 (антиконъюнкция ~p?~q); б - фигура 10 (антидизъюнкция ~p?~q);в - фигура 11 (антиимпликация ~p>~q); г - фигура 8 (эквиваленция ~p-~q)

Отметим, что во 2-й группе сложных высказываний фигура, представленная формулой ~p-~q (рис. 4, г), повторяет фигуру 8, представленную формулой p-q (рис. 3, г). Следовательно, всего пока построено только 11 различных фигур ЗИ (см. рис. 2 - 4).

5. Фигуры 3-й и 4-й групп сложных высказываний.

Далее, следуя Бернайсу [2], высказывания p, q и их отрицания ~p, ~q будем называть также простыми, или элементарными, так как они являются функциями одного аргумента. Но из четырех простых высказываний можно скомбинировать не 2, а 6 пар исходных высказываний:

(p, q); (~p, ~q); (p, ~q); (~p, q); (p, ~p); (q, ~q). (3)

В таком случае первое выражение (3) можно назвать исходной парой высказываний, второе - парой простых отрицательных высказываний, а третье и четвертое - парами простых смешанных высказываний. Фигуры ЗИ для 1-й и 2-й пар (утвердительных и отрицательных) уже построены (см. рис. 2, а и б). Теперь для продолжения построения ФЗИ из выражений (3) выберем 3-ю и 4-ю пары смешанных высказываний (p, ~q) и (~p, q). затем аналогично рис. 2, но с одним отличием изобразим фигуры ЗИ для двух названных пар простых высказываний (рис. 5).

Рис. 5. фигуры ЗИ двух смешанных пар: а - фигуры 1 и 4, построенные по формулам p и ~q;б - фигуры 3 и 2, построенные по формулам ~p и q

Отличие названных пар фигур заключается в том, что в каждой паре две фигуры расположены не рядом (см. рис. 2), а друг под другом. В этом, кстати, проявляется еще одно из преимуществ использования фигур ЗИ вместо таблиц истинности, в которых столбцы расположены в одном уровне и «привязаны» к строкам таблиц. в этом отношении фигуры ЗИ обладают большей свободой и маневренностью.

Но, наряду с отличием, фигуры первых 4 пар исходных высказываний (3) тождественны в том, что фигуры каждой из этих пар имеют ось симметрии. Различие лишь в том, что если для фигур 1-й и 2-й пар эта ось расположена параллельно вертикальным диагоналям названных фигур (см. рис. 2), то для фигур 3-й и 4-й пар ось параллельна их горизонтальным диагоналям (см. рис. 5).