Курсовая работа (т): Ценообразование опционов на Российском финансовом рынке

.5 Улыбка и ухмылка волатильности

Графики П.1.6, П.1.8 и П.1.75 в Приложении 1 отображают взаимосвязь между страйком и подразумеваемой волатильностью. Очевидно, что график подразумеваемой волатильности имеет отрицательный наклон, то есть волатильность уменьшается по мере увеличения страйка. Подразумеваемая волатильность используемая для определения цены опциона с низкими страйками (т.е. для опционов put глубоко вне денег, или для опционов call глубоко в деньгах) выше, чем используемая для определения цены опционов с высокими страйками (т.е. для опционов call глубоко вне денег, или для опционов put глубоко в деньгах).

Модель Блэка-Шоуза предполагает, что опционы для одного и того же базового актива с одинаковой датой экспирации должны иметь одинаковую подразумеваемую волатильность. При уровне фактической волатильности более высоком, чем предполагалось в модели Блэка-Шоуза, опцион становится более дорогим, чем предсказывает наша модель. В противоположность этому, когда фактическая волатильность меньше, чем предполагает модель Блэка-Шоуза, опцион становится менее дорогостоящими, чем предсказывает модель Блэка-Шоуза.

Однако можно заметить, что для опционов RTS-3.13M150113CA и RTS-3.13M150213CA ATM (около денег) опционами являются контракты со страйками в 160000, это можно также заметить на графиках П.1.6, П.1.8. Для контракта RTS-3.13M150313CA опционом ATM (около денег) является контракт со страйком 175000, что также можно заметить из графика П.1.10. Для данных контрактов характерны относительно небольшие изменения волатильности, что можно увидеть из графиков П.2.3, П.2.4 и П.2.5. Так для контракта RTS-3.13M150113CA 160000 мы видим, что волатильность колеблется вокруг значения 20%, для контракта RTS-3.13M150213CA волатильность колеблется также вокруг значения 20%, однако для контракта RTS-3.13M150313CA волатильность уже колеблется вокруг значения 25%. В силу того, что волатильность почти постоянная, ее можно вполне использовать использовать для оценки значений стоимости опционов. Также отметим тот факт, что обычно историческая волатильность отличается от ожидаемой. Можно сказать, что историческая волатильность - это некий взгляд в прошлое, а подразумеваемая волатильность в будущее. Так 60 дневная историческая волатильность на 19.08.12 составила 19,52%, что довольно таки близко к подразумеваемой волатильности для опциона RTS-3.13M150113CA 1600000, на тот момент она составляла 23%.

.6 Поверхность волатильности

Поверхность волатильности является одним из важнейших инструментов, используемых при анализе стоимости опциона. Она получается путем отображения временной структуры зависимости уровня волатильности от страйка. Это позволяет увидеть изменения волатильности для произвольного страйка и для любого срока действия. На графиках П.1.7, П.1.9 и П.1.11 мы можем увидеть поверхности волатильности для исследуемых нами опционов. Из графиков видно, что уровень волатильности возрастает с течением времени. Это можно объяснить тем, что трейдеры ожидают увеличения уровней волатильности. Также можно увидеть, что эффект улыбки(ухмылки) волатильности становится все более и более выраженным с уменьшением времени до экспирации. Это можно частично объяснить увеличением объемов торгов и количества открытых позиций по опционам с течением времени. На графике П.2.7, П.2.8 и П.2.9 мы как раз таким видим, что с течением времени объемы торгов постепенно увеличиваются. Из рисунков видно, что примерно за 15-20 дней до экспирации опционов на рынке появляется ликвидность, и сразу же начинает проявляться улыбка волатильности. Отметим, что приведенные в Приложении 1 графики П.1.7, П.1.9 и П.1.11 являются интерполированными графиками, так как в силу невысокой ликвидности рынка FORTS невозможно построить поверхность использую лишь рыночные данные. Заметим, что наиболее ликвидными опционами являются опционы со страйками близкими к страйку опциона около денег(ATM). Из графиков П.2.10, П.2.11 и П.2.12 мы можем увидеть динамику торгов даны опционов, однако стоит упомянуть, что опционы глубоко в деньках и вне денег, как правило, вообще не торгуются. Как было отмечено выше, приведенные в пример графики поверхностей волатильности получаются путем интерполирования недостающих данных. У биржи РТС есть собственная методология построения соответствующих поверхностей.

Ввиду важности поверхности волатильности как инструмента оценивания цен опционов, возник интерес построения поверхности собственными силами.

Из-за малой ликвидности довольно таки трудно построить соответствующую поверхность. Мы рассмотрели изменение цены оциона RTS-3.13M150113CA для 7 страйков (135000-165000). Данные страйки были выбрани в силу того, что соответствующие им контракты обладали ликвидностью. Контракты с другими страйками имели очень малые объемы торгов.

Используя данные по котировкам, мы получили значения подразумеваемой волатильности, путем численного обращения формулы Блэка-Шоуза. Для этого использовались метод Ньютона и метод бисекции нахождения локального минимума. Затем с помощью интерполирования мы получили пропущенные данные и сгладили поверхность. На рисунках П.2.13-П.2.15 показаны основные этапы построения поверхности. Представленные поверхности являются грубой интерполяцией, очевидно, что на бирже применяются более сложные методы. Однако по построенным графикам также можно судить о временной структуре волатильности.

Заключение

Как было отмечено ранее, цель данной работы заключается в исследовании ценообразования опционов на рынке FORTS. Данные исследования проводились на основе данных по 3 опционам на фьючерс на индекс РТС. Мы рассмотрели некоторые гипотезы, относительно возникновения описанного выше эффекта улыбки волатильности. Например, гипотезы о стохастических пузырях и гипотезы о влиянии финансовых и операционных рычагов. Также мы проанализировали влияние некоторых факторов на ценообразование опционов. Рассмотрели гипотезы о постоянной безрисковой ставке, о нормальности распределения доходностей базового актива, гипотеза об отсутствии арбитражных возможностей и принятии риска трейдерами. Исходя из проведенных исследований, можно сделать выводы о некоторых отличиях идеализированного мира предпосылок теории Блэка-Шоуза и реального мира.

Список используемой литературы

1       Cox, John C., Rubinstein Mark, Option Markets, Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 2014.

         Hull, John C., Options, Futures and Other Derivatives, Pearson Education, Upper Saddle River, New Jersey, 2010.

         Natenberg, Sheldon, Option Volatility & Pricing. Advanced Trading Strategies and Techniques, McGraw-Hill, New York, 1994.

         Shreve, Steven E., Stochastic Calculus for Finance. Volume I: The Binomial Asset Pricing Model, Springer-Verlag, 2014.

         Shreve, Steven E., Stochastic Calculus for Finance. Volume II: Continuous-Time Models, Springer-Verlag, 2010.

         Taleb, Nassim Nicholas, Dynamic Hedging: Managing Vanilla and Exotic Options, John Wiley and Sons, New York, 1997.

         Thorp, Edward O., Kassouf, Sheen T., Beat the Market, New York, Random House, 1967.

         Triana, Pablo, Lecturing Birds on Flying: Can Mathematical Theories Destroy the Financial Markets? John Wiley and Sons, Hoboken, New Jersey, 2009.

         Wilmott, Paul, Paul Wilmott on Quantitative Finance, John Wiley and Sons, Chichester, West Sussex, 2006.

Статьи

1       Black, Fischer; Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy 81 (3), 1973.

         Gordin, Investigation of the mechanisms for effective use of the Black-Scholes-Merton,2012.

         Merton, Robert C., Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science (The RAND Corporation) 4 (1), 1973.

         Quing Mao, Is Black-Scholes Model an appropriate Option Pricing Tool in Chinese Stock Market,2007.

         Vasicek, Oldrich, An Equilibrium Characterisation of the Term Structure, Journal of Financial Economics 5, p. 177-188, 1977.

         Yong-Jin Kim, Option Pricing under Stochastic Interest Rates: an Empirical Investigation, ASIA-PACIFIC FINANCIAL MARKETS Vol. 9, №1, p. 23-44, 2002.

7       Hentschel, L. (2003) “Errors in Implied Volatility Estimation”. Journal of Financial and Quantitative Analysis. 38 (4): 779-810.

         Huang, Y.C. and Chen, S.C. (2002) “Warrants Pricing: Stochastic Volatility vs Black-Scholes”. Pacific-Basin finance Journal. 10 (4): 393-409.

Приложение 1

График П.1.1. Динамика индекса РТС с 11.03.2012-15.03.2013.

График П.1.2. Динамика фьючерса на индекс РТС(RTS-3.13) с 11.03.2012-15.03.2013.

График П.1.4. Динамика индекса РТС и его фьючерса (RTS-3.13) с 20.11.2012-15.02.2013.

График П.1.5. Динамика фьючерса на индекс РТС(RTS-3.13) и его опциона(RTS-3.13M150213CA) с 20.11.2012-15.02.2013.

График П.1.6. Ухмылка волатильности опциона(RTS-3.13M150113CA) на 08.01.13.

График П.1.7. Поверхность волатильности опциона (RTS-3.13M150113CA).

График П.1.8. Ухмылка волатильности опциона(RTS-3.13M150213CA) на 08.02.13.

График П.1.9. Поверхность волатильности опциона (RTS-3.13M150213CA).

График П.1.10. Ухмылка волатильности опциона(RTS-3.13M150313CA) на 12.03.13.

График П.1.11. Поверхность волатильности опциона (RTS-3.13M150313CA).

Приложение 2

График П.2.1. Основные характеристики вероятностного распределения доходностей фьючерса на индекс РТС (RTS-3.13) с 08.08.12 по 15.03.13.

График П.2.2. Сравнительный график вероятностного распределения доходностей фьючерса на индекс РТС (RTS-3.13) с 08.08.12 по 15.03.13.

График П.2.3. Изменение волатильности для опциона RTS-3.13M150113CA.

График П.2.4. Изменение волатильности для опциона RTS-3.13M150213CA.

График П.2.5. Изменение волатильности для опциона RTS-3.13M150313CA.

График П.2.6. Изменение краткосрочной ставки ГКО-ОФЗ

График П.2.7. Изменение объемов торгов для опциона RTS-3.13M150113CA.

График П.2.8. Изменение объемов торгов для опциона RTS-3.13M150213CA.

График П.2.9. Изменение объемов торгов для опциона RTS-3.13M150313CA.

График П.2.10 Изменение объемов торгов для трех страйков опциона RTS-3.13M150113CA.

График П.2.11 Изменение объемов торгов для трех страйков опциона RTS-3.13M150213CA.

График П.2.12 Изменение объемов торгов для трех страйков опциона RTS-3.13M150313CA.

График П.2.13 Поверхность волатильности опциона RTS-3.13M150313CA.

График П.2.14 Сглаженная поверхность волатильности опциона RTS-3.13M150313CA.

График П.2.15 Сглаженная поверхность волатильности опциона RTS-3.13M150313CA.

Листинг используемой в Scilab программы

function [xx, yf]=picture(x, y, colore)

m=50 a = x(1); b = x(length(x));= linspace(a,b,m)'; yf = interp(xx, x, y, splin(x,y,"fast"));yf=pic2(x, y, colore, t)= x=zeros(int(length(x)/t)) y2=zeros(int(length(x)/t))i=1:length(x)

if (int(i/t)=(i/t))

x2(i/t)=x(i) y2(i/t)=y(i)

end(1)=x(1) y2(1)=y(1) y2(length(y2))=y(length(y)) x2(length(y2))=x(length(y))= interp(xx, x2, y2, splin(x2,y2,"fast"));BS=BlackScholes(S, K, r, T, v)

d1=(log(S/K)+(r+0.5*v^2)*T)/(v*sqrt(T)) d2=d1-v*sqrt(T)

BS=S*cdfnor("PQ",d1,0,1)-K*cdfnor("PQ",d1,0,1)*exp(-r*T)differ=differ(S, K, r, T, v, Call)

differ=(Call-BlackScholes(S,K,r,T,v))^2y=Bisection(S, K, r, T, Call)

a=0.01 b=0.98 eps=0.000001

while(abs(differ(S,K,r,T,b,Call)-differ(S,K,r,T,a,Call))>eps)

midpt=(b+a)/2

if (differ(S,K,r,T,a,Call)-differ(S,K,r,T,midpt,Call)<0)

b=midpt

else

a=midpt

end end=midptv1=metoda(S, K, r, T, Call)=[0.96:-0.01:0.01] s1=1000000 v1=0i=1:length(v0)

s2=differ(S,K,r,T,v0(i),Call)

if(s2<s1)

s1=s2 v1=v0(i)

end endfun()=[1:1:length(S)]=pic2(xx,x135,"green",5) y2=pic2(xx,x140,"green",5) y3=pic2(xx,x145,"green",5) y4=pic2(xx,x150,"green",5)=pic2(xx,x155,"green",5) y6=pic2(xx,x160,"green",5) y7=pic2(xx,x165,"green",5) y=[y1;y2;y3;y4;y5;y6;y7]=zeros(length(K),1) iv4=zeros(length(K),1)j=1:length(K)

iv3(j)=Bisection(S(1)/1000,K(1),r,T(1),y(j,1)/1000) iv4(j)=metoda(S(1)/1000,K(j),r,T(1),y(j,1)/1000)

[x1,y21]=picture(K,iv4',"green") [x2,y22]=picture(K,iv3',"red")=y21 z2=y22i=2:length(S)=zeros(length(K),1) iv4=zeros(length(K),1)j=1:length(K)

iv3(j)=Bisection(S(i)/1000,K(j),r,T(i),y(j,i)/1000) iv4(j)=metoda(S(i)/1000,K(j),r,T(i),y(j,i)/1000)

[x1,y21]=picture(K,iv4',"green") [x2,y22]=picture(K,iv3',"red")=[z1,y21] z2=[z2,y22]=[135:0.61:165] T=[38:-1:1]=pic2([1:38],z1(1,:),"red",3)i=2:length(z1(:,1))

ys2=pic2([1:38],z1(i,:),"red",3) ys=[ys;ys2]= k; y = [1:38]; m = 50; = linspace(80,190,m); = y; [XX,YY] = ndgrid(xx,yy);= interp2d(XX,YY, x, y, splin2d(x, y, ys, "monotone"));d(xx, yy, zz3)