Курсовая работа (т): Ценообразование опционов на Российском финансовом рынке

Ухмылку волатильности на рынке ценных бумаг частично можно объяснить возросшим давлением хеджиров. Хеджеры покупают опционы вне денег и используют их для защиты своих портфелей от возможного обвала фондового рынка. Хедж-управляемые покупки повышают цены опционов с низкими страйками и, следовательно, увеличивают их подразумеваемую волатильность.

График 4. Защитная стратегия с использованием put опционов

Опционы put глубоко вне денег часто рассматриваются как форма страхования от крупных обвалов на рынке. Максимальные потери, которые могут быть получены при использовании таких стратегий являются лишь стоимостью самого опциона put. При увеличении цены акции, потенциал роста является неограниченным, а прибыль уменьшается только до стоимости опциона. Защитная стратегия использования опциона put оказалось чрезвычайно популярным среди инвесторов. Страх краха привел к тому, что некоторые инвесторы стали готовы платить относительно большие деньги для защиты.

Как можно увидеть из представленного выше графика 2 вероятностное распределение доходностей базового актива имеет более толстый хвост по сравнению с тем, что ожидается в модели Блэка-Шоуза. Это согласуется с отрицательной асимметрией(skewness) реального распределения доходностей акций. Рыночные данные, как правило, показывают, что существует гораздо большая вероятность финансовых потерь, чем можно было бы предсказать с логарифмически нормальным распределением, используемым в модели Блэка-Шоуза.

Заметим, что если подразумеваемая волатильность рассчитывалась по «правильной» модели ценообразования опционов, основанной на правильном предположении о распределении, то улыбка волатильности исчезнет и подразумеваемая волатильность станет плоской. В самом деле, чрезвычайно трудно получить "правильную" модель, из-за существования арбитражных возможностей в реальном мире, и очень трудно их включить в модели ценообразования опционов. Таким образом, идеализированное предположение относительно отсутствия арбитражных возможностей на рынках также ставит под сомнение надежность модели Блэка-Шоуза.

Одним из самых основных следствий модели Блэка-Шоуза является взаимосвязь между ценой call и put опционов, которая может быть получена следующим образом:

где  и  обозначают цену call и put опционов, соответственно,  страйк,  является безрисковой процентной ставкой,  представляет собой время до экспирации опциона, и  обозначает текущую цену акции.

Данное соотношения известно, как паритет цены для оционов put-call. Оно означает, что значение цены европейского call опциона с определенным страйком и датой экспирации может быть вычислено при помощи стоимости европейского put оциона с тем же страйком и сроком до экспирации, и наоборот. Если уравнение не выполняется, то существуют возможности для арбитража на рынке. Численные исследования показали, что есть частые и существенные нарушения put-call паритета возникающие как и из-за завышенных так и из-за заниженных цен на call или put опционы. Поскольку реальные цены на put или call опционы отклоняются от паритетных, то существуют возможности для инвесторов для создания безрисковой арбитражной позиции, которая позволяет заработать больше, чем при безрисковой позиции. Хуже того, что, почти две трети из результатов арбитражной деятельности ведут к убытку. Таким образом, можно сказать, что предположение о невозможности арбитража нереально и ослабляет точность определения цены опциона, рассчитанной по модели Блэка-Шоуза.

3. Ценнообразование опционов

.1 Факторы, влияющие на ценообразование опциона

Рассмотрим фьючерс на индекс РТС, а также три его опциона. Фьючерс на индекс РТС, и соответствующие опционы были выбраны как одни из, наиболее ликвидных финансовых инструментов на рынке FORTS. Подробная информацию о рассматриваемых финансовых инструментах представлена в Приложении 1 таблицы П.1.1, П.1.2 и П.1.3, а также на сайте биржи РТС. Попробуем проанализировать факторы влияющий на ценообразование рассматриваемых опционов.

Безрисковая процентная ставка, используемая для проведения исследований должны иметь схожую доходность с казначейскими облигациями, которые наиболее близко соответствует длине анализируемого периода. Таким образом, процентная ставка для краткосрочных казначейских облигаций является наиболее подходящим для этого исследования, согласно информации представленной на сайте Банка России, средняя краткосрочная ставка ГКО-ОФЗ была равна 5.78, хотя стоит отметить, что уровень ставки также подвержен колебаниям, что является дополнительным фактором неопределенности для трейдеров. Так на графике П.2.6 мы можем увидеть динамику изменения краткосрочной ставки в течении срока действия фьючерса.

Доходность казначейских облигаций находится в прямой зависимости от срока облигации, поэтому процентные ставки по долгосрочным облигациям выше, чем по краткосрочным облигациям. Если бы мы использовали бы процентные ставки по среднесрочным или долгосрочным облигациям для расчета волатильности, то рассчитанная подразумеваемая волатильность отклонялась бы от реальной волатильности в силу завышенной безрисковой процентной ставки. Очевидно, что колебания ставки являются дополнительным фактором неопределенности, вносящим свою лепту в ценообразование опциона.

В России правительство все еще владеет большой долей акций крупнейших компаний и, следовательно, права инвесторов во многих случаях остаются проигнорированными. Так мы, например, довольно таки часто видим, что компании с большой долей участия государства не платят дивидендов. Даже если есть выплаты по дивидендам то, только очень небольшое количество этих выплат идут в пользу акционеров.

.2 Нормальность распределения

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что доходности по базовому активу имеют логнормальное распределение, и, следовательно, логарифмические доходность базового актива имеет нормальное распределение. Напомним, что случайная величина  называется логнормально распределенной, если  имеет нормальное распределение.

Доходности базового актива в промежутке между временем  и  могут быть определены следующим образом:

где , цена базового актива в момент времени  и . 

Также напомним, что распределение имеет ассиметрию(skewness), когда его пик находится не в центре, а смещен в одну из сторон. Когда пик находится справа, относительно центра, распределение имеет отрицательный перекос (ассиметрию) и его хвост находится слева. Когда пик находится слева, распределение имеет положительные ассиметрию (skewness) и хвосты находится справа. Как показано на рисунке, при отрицательной асимметрии больший вес имеет левый хвост, в то время как при положительной асимметрии(skewness) больший вес имеет правый хвост. Когда нет явной ассиметрии (skewness) распределение является симметричным.

График 5. Ассиметрия(skewness)распределения

Коэффициент асимметрии(skewness) Пирсона обеспечивает числовую характеристику асимметрии(skewness), которая обозначается SK. Значение SK варьируется от -3 до+3. Распределение имеющее положительную асимметрию (skewness) имеет положительное значение SK, в то время как распределение имеющее отрицательную асимметрию (skewness) имеет отрицательное SK. Для нормального или идеально симметричного распределения, SK имеет значение 0. Значения показателя асимметрии(skewness) выходящие за диапазон -1 и 1 указывают на значительную степень асимметрии(skewness).

Под куртозисом(kurtosis) мы понимаем степень островершиности распределения вероятностей случайной величины. Для нормально распределенной случайной величины куртозис(kurtosis) равен 3, независимо от его среднего (mean) или стандартного отклонения (standard deviation). Когда значение куртозиса(kurtosis) отклоняется от 3, то вероятностное распределение начинает сильно отличаться от нормального. Если куртозис(kurtosis) больше 3, то случайная величина имеет более остроконечное вероятностное распределение в центре и имеет более тяжелые хвосты, чем у нормального распределения с тем же стандартным отклонением (standard deviation), а значение показателя куртозиса(kurtosis) меньшее 3 показывает, что вероятностное распределение является более плоским в центре и имеет меньшие хвосты, чем у нормального распределения. Чем больше куртозис, тем большим по сравнению с нормальным, предполагается стандартное отклонение.

График 6. Куртозис(kurtosis) распределения

Статистика Жака-Бера (JB) является некоторой мерой, которая определяет степень отклонения значения асимметрии(skewness) и куртозиса (kurtosis) некоторого ряда от нормального распределения. Нулевая гипотеза Жака-Бера состоит в том, что распределение некоторого ряда является нормальным, то есть асимметрия(skewness) равна 0 и куртозис (kurtosis) равен 3. Любое отклонение от нулевой гипотезы увеличивает статистику JB.

С помощью EViews можно также узнать значение вероятности (уровень значимости), с помощью которой мы сможем понять можно ли принять нулевую гипотезу о нормальном распределении. Нулевая гипотеза должна быть отвергнута, когда значение вероятности (уровня значимости) будут низки, в то время как высокая вероятность (уровень значимости) указывает на то, что наш ряд, скорее всего, имеет нормальное распределение.

Из графика П.2.1 видно, что показатель асимметрии(skewness) равен 0.36, значит, что распределение имеет более длинный правый хвост, значение куртозиса(kurtosis) оказалось равным 4.57, откуда следует, что наше распределение более островершинное, чем нормальное распределение доходностей базового актива, т.е. фьючерсного контракта на индекс РТС. Сравнительный график П.2.2 показывает, что график полученный при помощи ядерного сглаживания достаточно похож на график нормального распределения. Кроме того, значение вероятности, представленные на графике П.2.1 довольно небольшие (0.000077), что означает, что нулевая гипотеза о нормальном распределении доходностей должна быть отвергнута. Эти результаты показывают, что предположение о нормальном распределении доходностей базового актива на нашем рынке может быть отвергнуто.

.3 Принятие риска трейдерами

Одной из основных особенностей модели Блэка-Шоулза является то, что трейдеры нейтральны к риску. Как отмечалось ранее, ухмылка волатильности на рынке ценных бумаг вызвана частично давлением хеджеров. То есть можно предположить, что инвесторы все же склонны к риску. Хеджеры покупают опционы вне денег для защиты своих портфелей от возможного обвала фондового рынка. Такие покупки повышают цены опционов с низкими страйками и, следовательно, их подразумеваемую волатильность, вследствие чего и возникает наблюдаемый перекос.

Довольно, таки сложно придумать метод для проверки гипотезы о том, что трейдеры являются нейтральными к риску. Возможно, стоит обратить внимание на торговые объемы put опционов и цены на их базовые активы, эти показатели можно попробовать исследовать при помощи корреляционного анализа. Если трейдеры склонны к риску и, следовательно, приобретают опционы put в качестве страховки от падения рынка, то объемы торгов опционами put должны повышаться, когда цены на акции понижаются, то есть, должна быть отрицательная взаимосвязь между торговыми объемами опционов put, и ценами на базовые активы. Если предположение о том, что цена опциона не зависит от предпочтения трейдера к риску правильно, то не должно быть никакой связи между объемом торгов опционами put и ценами на базовые активы.

Коэффициент корреляции может быть использован для количественного анализа взаимосвязи между объемами торгов опционами и ценами на базовые активы. Значение коэффициента равное +1 представляет собой идеальную положительную корреляцию. Это означает, что две переменные точно связаны между собой и что, если значения одной переменной увеличиваются, то и значения другой также будут повышаться. И наоборот, значение коэффициента равное -1 представляет собой абсолютную отрицательную корреляцию. Это означает, что две переменные связаны между собой, однако, когда значения одной переменной увеличиваются, то значения другой уменьшаются. Коэффициенты корреляции между -1 и +1 представляют собой слабые положительные и отрицательные взаимоотношения, значение коэффициента равное 0 означает, что переменные идеально независимы.

Рассмотрим результаты, представленные в таблицах П.2.1, П.2.2 и П.2.3. Здесь под рядом s1 мы обозначаем число совершенных сделок, s2 объем торгов в контрактах, s3 объем открытых позиций для соответствующих опционов, s4 котировки фьючерса RTS-3.13. Мы можем сделать вывод о том, что присутствует положительная корреляция между объемами торгов икотировками на фьючерс, что не подтверждает нашу теорию о принятии рисков трейдерами. Однако то, что наша проверка не увенчалась успехом отнюдь не говорит о риск-нейтральности агентов.

.4 Существование арбитражных возможностей

Модель Блэка-Шоулза предполагает отсутствие арбитражных возможностей для трейдеров, стремящихся получить прибыль без риска(riskless). Попробуем проверить эту гипотезу при помощи двух методов.

Первый способ заключается в использовании суточных значения котировок опционов и цен базовых активов для проверки, описанного ранее, put-call паритета. Put-call паритет представляет собой правильное соотношение между ценами на опционы put и call, которые имеют один и тот же базовый актив, время до экспирации и страйки. Если паритет нарушается, то опционы недооценены и возникают арбитражные возможности. Этот метод имеет некоторые преимущества.

С одной стороны, пять переменных в уравнении put-call паритета, а именно, стоимости put и call опционов, цена исполнения, цена базового актива и безрисковая процентная ставка, могут быть получены непосредственно из рыночных данных. То есть, все они не зависят от выбора модели оценки опционов и, следовательно, на результаты этого теста не влияют недостатки используемых моделей.

С другой стороны, факторы, которые могут послужить возникновению арбитражной возможности, такие как настроения инвесторов, неполнота информации и транзакционные издержки и т.д., уже включены в рыночные цены опциона и базового актива. Таким образом, этот тест может отражать совокупное воздействие этих факторов на ценообразование опциона.

Второй способ проверки заключается в том, что европейские put и call опционы с одним и тем же базовым активом, с одинаковым временем до экспирации должны иметь одинаковую подразумеваемую волатильность. С учетом этого утверждения, мы использовали таблицы с подразумеваемой волатильности для опционов, затем мы рассчитали цену put опциона и сравнили ее с рыночной стоимостью. Если они равны, то арбитражные возможности исключены. В противном случае, трейдеры могут заработать прибыль без риска. Результаты проверки наличия арбитражных возможностей при помощи второго способа дают нам возможность утверждать, что все же спекулятивные возможности есть, но они не всегда очевидны, так как рынок стремится их сокращать.