Курсовая работа (т): Ценообразование опционов на Российском финансовом рынке

В сущности, маржируемый опцион на фьючерс сам является является фьючерсным контрактом на прибыль от обычного опциона на фьючерс. Соответственно, теоретические цены для маржируемых европейских коллов и путов на фьючерсы определяются как:

На основе этих основополагающих допущений, модель Блэка-Шоуза говорит, что цена опциона является функцией текущей цены базового актива(акции , фьючерса), цены исполнения , безрисковой процентной ставки , времени до экспирации , волатильности цены базового актива . Все переменные не зависят от предпочтений трейдеров к риску. Таким образом, модель Блэка-Шоуза требует мало информации, для вычисления цены опциона, и следовательно, не требует высоких вычислительных мощностей для обработки модели. Относительная простота применения модели является причиной популярности ее использования.

2. Улыбки волатильности

.1 Подразумеваемая волатильность

Все параметры в модели Блэка-Шоуза, за исключением волатильности базового актива, можно непосредственно получить либо из рыночных данных либо из условий, предусмотренных опционным контрактом.

Таким образом, используя рыночную цену конкретного опциона можно легко получить рыночную оценку подразумеваемой волатильности его базового актива путем использования численных методов и «обращения» формулы Блэка-Шоуза. Подставляя подразумеваемую волатильность в модель Блэка-Шоуза, мы получаем цену опциона равную его рыночной стоимости.

.2 Улыбка волатильности

Улыбка волатильности отражает связь между изменением подразумеваемой волатильности и изменением страйка опциона при фиксированной дате экспирации. Улыбка волатильности стала неким показателем ошибочности предположения модели Блэка-Шоуза о независимости волатильности от цены страйк.

Рассмотрим фундаментальное предположение модели Блэка-Шоуза о том, что базовый актив имеет постоянную волатильность, и следовательно, подразумеваемая волатильность полученная численным обращением формулы Блэка-Шоулза должна быть одинаковой для опционов с одинаковыми сроками экспирации, но с разными страйками. Таким образом, если модель Блэка-Шоуза права, то улыбка подразумеваемой волатильности должна быть плоской. Эта гипотеза подтверждалась некоторыми эмпирическими данными. Подобная картина была характерна до определенного времени для опционов на индекс S&P 500 с одинаковыми сроками экспирации и разными страйками, то есть улыбка волатильности была плоской, но подобная картина наблюдалась только до краха 1987 года.

График 1. Улыбка волатильности

Первые наблюдения эффекта подразумеваемой волатильности на рынке ценных бумаг показывали, что улыбка волатильности, как правило, была U-образной формы. Отметим тот факт, что уровень волатильности является относительно более низким для опционов при деньгах (около денег).

2.3 Ухмылка волатильности

Тем не менее, в последние годы эффект улыбки волатильности на рынке ценных бумаг почти исчез. Вместо этого наблюдается эффект отрицательной связи между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью. Эту асимметрию называют смещенной (ассиметричной) волатильностью или чаще всего ухмылкой волатильности. Как показано на графике 2, ухмылка волатильности всегда нисходящая, то есть подразумеваемая волатильность почти монотонно возрастает с понижением страйка. Поэтому этот эффект еще называют отрицательной асимметрией(перекосом).

График 2. Ухмылка волатильности

Вообще говоря, эффект ухмылки волатильности явно показывает нам, что формула Блэка-Шоуза неправильно оценивает опционы в деньгах и опционы вне денег.

Цена опциона, рассчитанная согласно модели Блэка-Шоуза увеличивается при повышении волатильности базового актива. То есть опционы, торгуемые с более высокой подразумеваемой волатильностью стоят дороже, при прочих равных условиях. Из-за отрицательной связи между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью, подразумеваемой волатильности увеличивается с уменьшением страйка, и, соответственно, цена опциона повышается при увеличении подразумеваемой волатильности. Когда уровень волатильности выше уровня предполагаемого плоской улыбкой модели Блэка-Шоуза, put опционы вне денег (и, следовательно, call опционы в деньгах, согласно паритету цен put-call опционов) стоят дороже, чем это предсказывает модель Блэка-Шоуза, и наоборот.

Кроме того, в связи с отрицательной связью между ценой исполнения и подразумеваемой волатильностью, put опционы вне денег и call опционы в деньгах, как правило, имеют относительно более высокую подразумеваемую волатильность, в то время как call опционы вне денег и put опционы в деньгах, как правило, имеют относительно более низкую подразумеваемую волатильность. Как следствие, волатильность использующаяся для определения цены с низкими страйками цены опциона (т.е. put опциона глубоко вне денег, и call опицона глубоко в деньгах) значительно выше, чем используемая для определения цены опциона с высокими страйками (т.е. call опицона глубоко вне денег, и put опицона глубоко в деньгах).

.4      Нарушения предположений модели Блэка-Шоуза

Модель Блэка-Шоуза явно не учитывает все важные факторы, которые влияют на цену опциона. Эта модель учитывает только цену базового актива, цену исполнения, время до экспирации опциона, и безрисковую процентную ставку. Единственный параметр из формулы Блэка-Шоуза, который не может быть напрямую наблюдаем на рынке является волатильностью цены базового актива, из-за чего мы и получаем проблемы с оценкой стоимости опционов. Улыбка (или ухмылка) волатильности имеет стохастическую природу, а не является постоянной, как это предполагается в модели Блэка-Шоуза. Подразумеваемую волатильность можно использовать как более или менее всеобъемлющим фактор, учитывающий всю ту информацию, которую другие переменные не включают в себя. Хотя точная форма и амплитуда улыбки волатильности (ухмылки) меняется изо дня в день, асимметрия сохраняется и это опровергает теорию Блэка-Шоуза, которая предполагает одинаковую подразумеваемую волатильность для опционов.

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что относительные колебания цены базового актива имеет логнормальное распределение.

Однако эмпирические данные показывают, что на фондовом рынке, центральный пик распределения доходности акций намного выше, то есть реальное распределения доходностей имеет больший куртозис (kurtosis) чем логарифмически нормальное распределение. С другой стороны, большие отрицательные доходности по акциям встречаются гораздо чаще, чем крупные положительные, так что распределение доходности акций должны быть отрицательную ассиметрию (skewness). Это явление также называется одновременной асимметрией. Игнорирование асимметрии в распределении доходностей, например, отрицательной асимметрии (skewness), может привести к недооценке риска и, следовательно, к неправильному ценообразованию финансового инструмента.

Существует несколько объяснений превышения куртозиса (kurtosis) и асимметрии (skewness) доходности акций.

Первое и, возможно, самое известное объяснение - это эффект кредитного плеча. Согласно гипотезе об эффекте плеча, снижение рыночной стоимости фирмы следует за плохими новостями об увеличении операционного или финансового плеча, которые тем самым увеличивают волатильность последующих доходностей. Финансовое плечо (рычаг) измеряет отношение долга компании к собственному капиталу, при том, что фирма финансируется за счет заемных средств. Он используется для измерения рисков для акционеров, вытекающих из структуры капитала фирмы. Фирмы с более высоким финансовым рычагом могут иметь более высокий риск банкротства в связи с высоким уровнем заемных средств в структуре капитала фирмы, что повышает волатильность доходности акций.

Волатильность доходности акций является возрастающей функцией финансового рычага. Операционный рычаг означает отношение между постоянными и переменными затратами. Фирмы, имеющие большее количество фиксированных затрат и меньшее переменных затрат, имеют более высокую операционную долговую нагрузку, то есть более высокий операционный рычаг. Для таких фирм очень сложно сократить расходы, при неожиданном падении уровней продаж. Таким образом, по сравнению с фирмами с низкими постоянными затратами, эти фирмы сталкиваются с относительно более высокими рисками и, соответственно, доходности акций таких фирм имеют более высокую волатильность. Волатильность фондового рынка имеет достаточно сильную взаимосвязь с операционным плечом. В целом, более высокие финансовые или операционные рычаги вызывают более высокую волатильность доходностей акций и, следовательно, более высокий риск, в результате чего появляется большая вероятность появления отрицательной доходности и тем самым возникает отрицательная ассиметрия (skewness) распределения доходностей. Тем не менее эффект финансового рычага не может полностью объяснить наблюдаемую асимметрию (skewness) в распределении доходности акций.

Теория обратной отдачи волатильности также пытается объяснить отрицательную асимметрию (skewness) и большой куртозис (kurtosis) распределения доходностей акций. Изменения волатильности оказывает существенное влияние на доходность акций. Увеличение волатильности делает акции менее привлекательными, и, следовательно, толкает его цену вниз. Эта гипотеза утверждает, что важные новости, хорошие или плохие, повышают волатильность акций и, следовательно, их премии за риск, который в свою очередь увеличивает отрицательные доходности и уменьшает положительные доходности.

Предположим, что есть большой объем хороших новостей о будущих дивидендах. Большие объемы новостей, как правило увеличивают будущую ожидаемую волатильность, что в свою очередь увеличивает требуемую норму доходности на фондовом и снижает цены акций, уменьшая положительное воздействие новостей о дивидендах. Теперь рассмотрим случай с большим объемом плохих новостей о будущих дивидендах. Еще раз, цена акций падает, потому что из-за высокой волатильности повышается требуемая норма доходности акции, но сейчас эффект волатильности усиливает негативное влияние новостей о дивидендах.

Следовательно, большие отрицательные доходности акций более распространены, чем большие позитивные, и усиление отрицательной доходности может вызвать отрицательную асимметрию (skewness) распределения. Кроме того, появление значимых новостей вызывает большие движения цены акции, увеличивая асимметрию (skewness).

В отличие от предыдущего случая, появление небольшого объема новостей снижает будущую ожидаемую волатильность и увеличивает цену акций. В том случае, если нет вообще новостей, рынок растет, потому что «отсутствие новостей не может не радовать». Обратная отдача волатильности предполагает, что движение цены акций должны быть связаны с будущей волатильностью.

Подводя итоги, появление больших объемов хороших или плохих новостей увеличивает волатильность акций и, следовательно, их премии за риск. В результате шанс отрицательной доходности увеличивается в то время как положительные доходности сокращаются, что приводит к распределению доходности акций с большим куртозисом (kurtosis) и отрицательной асимметрией (skewness). Тем не менее, можно поставить под сомнение достоверность гипотезы обратной отдачи волатильности, поскольку изменения волатильности на рынке в целом слишком кратковременны, чтобы влиять на распределение доходности акций.

Кроме того, отрицательная асимметрия (skewness) также может быть объяснена гипотезой случайных пузырей. Когда на фондовом рынке присутствует пузырь, акции торгуются с большими объемами и цены значительно переоценены. Следовательно, рыночные пузыри обычно сопровождаются резким падением цен, известным как крах рынка или схлопывание пузыря. Волатильность, как правило, становится выше после того, как фондовый рынок падает, чем после того, как он поднимается, что приводит к повышению риска краха рынка и, следовательно, к более отрицательным доходностям. Одним словом, распределение доходной акции с отрицательной асимметрией (skewness) могут генерироваться схлопыванием случайных пузырей, которые создают существенные потери на рынке.

Модель Блэка-Шоуза предполагает, что цены базового актива изменяются плавно, без прыжков, но экстремальные движения цен акций встречаются чаще, чем можно было бы ожидать при логнормальном распределении доходностей акций, которое предполагается моделью Блэка-Шоуза.

Таким образом, модель Блэка-Шоуза не понимает истинную природу движения цены акций, которые движутся дискретными скачками. Скачки котировок всегда возникают в момент прибытия новой информации, такой как попытка поглощения, вердикт о важном судебном процессе, объявление о доходах, и так далее. Наличие больших ценовых движений приводит к большему куртозису (kurtosis) распределения доходностей акций.

Предположим, что часть важных новостях появится в течении несколько дней, и цена акций, как ожидается, будет либо расти, либо падать. Таким образом, можно ожидать один скачок цен на акции. В данном случае, вероятностное распределение цены акции может состоять из смеси двух логнормальных распределений, первое из которых соответствует благоприятным новостям, второе неблагоприятным. Полученное вероятностное распределение является бимодальным. Данное распределение проиллюстрировано на графике 3. Сплошная линия показывает смесь логнормальных распределений для котировок акций, то есть описанное выше распределение доходностей. Пунктирная линия показывает логнормальное распределение с тем же ожидаемым средним и стандартным отклонением как и смешанное распределение. Как видно из рисунка 3, истинное вероятностное распределение имеет более высокий куртозис (kurtosis), чем логнормальное распределение. Большое движение цен всегда сопровождается большим количеством возможной прибыли или убытка, чем обычно, что может объяснить более высокий куртозис (kurtosis) бимодального распределения.

Существуют различные попытки расширить теорию Блэка-Шоуза, для того чтобы учесть стохастическую природу волатильности и дискретные скачки цен акций, чтобы принять во внимание эффект улыбки волатильности. Эти так называемые расширенные модели Блэка-Шоуза всегда раскладывают общее изменение цен акций на "нормальную" и "ненормальную" компоненты. «Нормальная» компонента изменений может быть связана с изменением ставок капитализации, временным дисбалансом между спросом и предложением, или получения любой другой информации, которая вызывает незначительные изменения цен.

График 3. Влияние большого скачка на распределение доходностей

Эти нормальные компоненты моделируются логнормальным процесса диффузии. «Ненормальные» компоненты изменений могут быть вызваны получением любой информации, которая вызывает скачки в цене акций и, как правило, моделируется процессом Пуассона. Эти модели позволяют объяснить превышение куртозиса (kurtosis) и отрицательную асимметрию (skewness) в распределении доходностей акций, которая согласуется с эмпирическими данными.

К сожалению, использование этих расширений вызывает некоторые практические трудности. С одной стороны, в этих расширенных моделях значения параметров зависят от нескольких дополнительных параметров, значение которых должны быть оценены. Существует недостаточно рыночных данных для калибровки этих моделей. С другой стороны, математическая простота Блэка-Шоуза теряется, что приводит к необходимости использования больших вычислительных мощностей.

Одной из основных особенностей модели Блэка-Шоулза является то, что она не учитывает предпочтения инвесторов к риску. Модель Блэка-Шоуза основана на риск-нейтральной оценки и предполагает, что все инвесторы одинаковые и нейтральные к риску.

Наблюдаемая обычно улыбка волатильности опциона на акции имеет отрицательный наклон и, таким образом отклоняется от плоской улыбки волатильности, что показывает то, что инвесторы платят более высокую цену за опционы с низкими страйками, потому что они имеют более высокую волатильность по сравнению с предполагаемым уровнем в модели Блэка-Шоуза. Интересно, что характер отрицательной ассиметрии (skewness) волатильности возник лишь во время краха фондового рынка в октябре 1987 года. Подразумеваемая волатильность гораздо меньше зависела от цены исполнения до октября 1987 года. Это может навести на мысль, что одной из причин ухмылки и улыбки волатильности может быть так называемый эффект боязни краха. То есть, трейдеры обеспокоены возможностью другого биржевого краха похожего на тот, что имел место в октябре 1987 года, и они оценивают опционы, как инвесторы склонные к риску. Существует некоторое эмпирическое подтверждение этого объяснения. Снижение индекса S&P 500, как правило, сопровождается увеличением наклона ухмылки волатильности. Когда индекс S&P увеличивается, ухмылка имеет тенденцию становиться менее крутой. Таким образом, трейдеры скорее склонны к риску, а не нейтральные к нему.