Курсовая работа (т): Ценообразование опционов на Российском финансовом рынке

Ценообразование опционов на Российском финансовом рынке

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

на тему: «Ценообразование опционов на Российском финансовом рынке (РТС)»

Содержание

Введение

.        Формула Блэка-Шоуза

.1 Основные понятия

.2 Опцион на акции без дивидендов

.3 Опцион на фьючерс

.4 Опцион на маржируемый фьючерс

2.      Улыбка волатильности

.1 Подразумеваемая волатильность

.2 Улыбка волатильности

.3 Ухмылка волатильности

.3 Нарушения предположений модели Блэка-Шоуза

.        Ценообразование опционов

3.1 Факторы, влияющие на ценообразование опциона

.2 Нормальность распределения

.3 Принятие риска трейдерами

.4 Существование арбитражных возможностей

.5 Улыбка и ухмылка волатильности

.6 Поверхность волатильности

Заключение

Библиография

Приложения

Введение

В данной дипломной работе исследуется ценообразование опционов на рынке РТС FORTS (Futures & Options on RTS). Фортс был создан в сентябре 2001 года двумя российскими торговыми площадками фондовой биржей РТС и фондовой биржей «Санкт-Петербурга». Торгуемые на бирже опционы широко используется для хеджирования рисков многими компаниями. В наши дни ценообразование опционов в первую очередь ассоциируется с моделью Блэка-Шоуза. Однако стоит отметить, что данная модель являлась отнюдь не первой попыткой оценки стоимости опционов. Созданная в 1973 году Фишером Блэком (Fischer Black), Майроном Шоулзом (Myron Scholes) и Робертом Мертоном, модель была лишь модифицированной версией модели Эдварда Торпа. В свою очередь его формула была усовершенствованием исследований французкого математика Луи Башелье, который сформулировал гибкий подход к оценке опционов и динамическому хеджированию.

Возникший после великого краха 1987 года эффект улыбки волатильности, а затем и ухмылки волатильности, привели к необходимости создания новых моделей. С каждым годом ценообразование опционов становилось все сложнее, появлялись все новые факторы, влияющие на стоимость производных инструментов. Но теория ценообразования, с момента создания модели Блэка-Шоуза, также не стояла на месте, появлялись новые модели. Самые популярные из них: модель биномиального дерева Коха, Роса и Рубинштейна (Cox, Ross and Rubinstein 1979), триномиального дерева Боила (Boyle 1986), модель стохастической волатильности Хестона (Heston 1993) и GARCH модель Хестона и Нанди (Heston and Nandi 2000).

Однако каждый новый метод оценки стоимости опционов требовал все более сложных вычислений, при этом простота и элегантность понимания ценообразования терялась. Поэтому мы рассмотрим модель Блэка-Шоуза, как наиболее элегантную и интуитивно понятную модель. В первой главе мы рассмотрим основные понятия и предпосылки модели Блэка-Шоуза. Затем, во второй главе, мы обсудим эффект улыбки и ухмылки волатильности, а также попробуем объяснить природу данных явлений. В третей главе мы рассмотрим основные факторы, влияющие на ценообразование опционов и проблемы, которые возникают при оценке их стоимости. Для этого мы рассмотрим фьючерс на индекс РТС, а также три его опциона. Фьючерс на индекс РТС, и соответствующие опционы были выбраны как одни из, наиболее ликвидных финансовых инструментов на рынке FORTS. Напомним, что индекс РТС представляет собой ценовой, взвешенный по рыночной капитализации (free-float) индекс широкого рынка акций России, включающий 50 наиболее ликвидных акций крупнейших и динамично развивающихся российских эмитентов, виды экономической деятельности которых относятся к основным секторам экономики, так что он хорошо отражает общую динамку всего рынка акций.

1. Формула Блэка-Шоуза

.1 Основные понятия

волатильность ценообразование опцион фьючерс

Опцион - это контракт между двумя сторонами, дающий одной из них (покупателю опциона) право (но не обязательство) заключить сделку по покупке или продаже определенного актива по определенной цене в будущем, и налагающий на вторую сторону (продавца опциона) обязательство принять участие в будущей сделке, если первая сторона захочет воспользоваться своим правом.

Введем некоторые термины и обозначения, используемые в нашей работе:

·        Опцион колл (call option) - контракт, дающий право купить актив по определенной цене в будущем.

·        Опцион пут (put option) - контракт, дающий право продать актив по определенной цене в будущем.

·        Страйк (цена исполнения, exercise price) - цена, по которой покупатель опциона имеет возможноть купить или продать актив, обозначим буквой .

·        Базовый актив (the underlying) - актив, который опцион дает право купить или продать, обозначим переменными  (акция, фьючерс).

·        Дата экспирации (expiration date) - дата, после которой опционный контракт утрачивает силу. Далее  будем использовать для обозначения переменной времени,  будет обозначать момент времени, соответствующий дате экспирации. Время будет измеряться годами.

·        Исполнение (exercise) - заключение сделки по покупке или продаже базового актива по желанию покупателя опциона. После исполнения опционный контракт утрачивает силу.

·        Американский опцион разрешает покупателю исполнить его в любой момент времени между днем покупки опциона и датой экспирации.

·        Европейский опцион разрешает покупателю опциона исполнить его только в день экспирации.

·        волатильность базового актива, стандартное отклонение его годовой логарифмической доходности.

·        - домашняя безрисковая процентная ставка.

·        - цена акции в момент времени t.

·        - фьючерсная цена в момент времени t.

Рассмотрим предпосылки модели Блэка-Шоулза-Мертона, их роль в этой модели и их связь с реальностью:

.        Цены изменяются непрерывно: даже в течение бесконечно малого промежутка времени цены базового актива и опциона претерпевают бесконечно малые изменения. Также модель предполагает, что трейдеры имеют возможность совершать сделки через каждый бесконечно малый промежуток времени. Нарушения могут быть вызваны с одной стороны тем, что рынки не всегда совершенно ликвидны и котировки не могут меняться на бесконечно малые величины, а с другой - существованием трансакционных издержек.

.        Динамика изменений цены базового актива моделируется геометрическим Броуновским движением. Это подразумевает нормальность распределения логарифмической доходности базового актива и логарифмическую нормальность распределения будущей цены. Тем не менее было эмпирически показано, что экстремальные изменения цен активов происходят систематически чаще, чем предсказывают модели, основанные на гипотезе нормального распределения доходностей.

3.      Волатильность (стандартное отклонение логарифмической доходности) базового актива известна и постоянна, однако это утверждение было эмпирически опровергнуто. Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене.

.        По базисному активу опциона дивиденды не выплачиваются в течение всего срока действия опциона Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части ее цены.

5.      Существует безрисковая процентная ставка, которая является постоянной величиной. Также предполагается, что рынок позволяет участникам привлекать и размещать средства по такой ставке. Безрисковая ставка определяет определяет центр (мат. ожидание) распределения будущей цены базового актива (он совпадает с фьючерсной/форвардной ценой). Также эта ставка используется для дисконтрирования ожидаемой цены опциона при экспирации для получения ее текущей цены (премии). Однако в реальности безрисковой процентной ставки не существует (даже банки и правительства могут объявить дефолт по своим обязательствам). Для большинства трейдеров ставка финансирования выше, чем ставка доходности по наименее рискованным инструментам.

.        Рынки совершенны: трейдеры не ограничены в размерах левериджа с которым они торгуют, а таких трансакционных издержек, как бид-оффер спред, брокерские комиссии и биржевые сборы не существует. Очевидно, что данное предположение не имеет отношения к реальности: каждый брокер устанавливает ограничения по объемам маржинального финансирования, все биржи собирают сборы за регистрацию сделок, брокеры всегда собирают комиссию, а маркет мейкеры всегда зарабатывают бид-оффер спред.

.2 Опцион на акции без дивидендов

Для начала рассмотрим формулу Блэка-Шоулза-Мертона для оценки европейских опционов колл и пут на акции, по которым не выплачиваются дивиденды. Мы предполагаем, что цены активов меняются непрерывно. Это значит, что даже за бесконечно малый промежуток времени они претерпевают изменения. Бесконечно малый промежуток времени обозначается как  (дифференциал времени), соответствующее изменение цены актива обозначается как . Поскольку мы рассматриваем акции (по которым не платятся дивиденды), логично предположить, что у них есть ожидаемая доходность - то есть что котировки на рынке формируются таким образом, чтобы держатель длинной позиции в акции ожидал получать от этой позиции средний доход в  годовых. Мы предполагаем, что средняя доходность акции  - это константа. Этот параметр также известен как дрифт акции.

Если бы акция была безрисковым инструментом (то есть если бы изменение цены  не имело случайного компонента), то капитал держателя акции рос бы как банковский депозит с непрерывно начисляемыми процентами по ставке годовых.

Динамика цены акции описывалась бы дифференциальным уравнением , а значение цены акции в момент времени t определялось бы функцией

.

Риск акций заключается в том, что фактическая доходность, которую они дают, практически всегда отличается от ожидаемой инвесторами. В половине случаев она оказывется больше ожидаемой, в половине - меньше. То, насколько сильно фактическая доходность может отличаться от ожидаемой, определяется параметром волатильность, которая обозначается буквой  и равна стандартному отклонению логарифмической годовой доходности акции .

Мы предполагаем, что волатильность акции  - это константа.

Соответственно, стохастическое дифференциальное уравнение динамики имеет вид:

Второе слагаемое этого уравнения, - это случайная величина, являющаяся с вероятностями 50/50 отклонением вверх или вниз, где размер отклонения составляет долларов. Где это дифференциал стохастического процесса Броуновского движения, обозначаемого как функция

Стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее динамику цены акции  имеет решение - функцию стохастического процесса цены акции

Блэк, Шоулз и Мертон доказали, что если мы предполагаем, что цена акции изменяется по описанному выше закону, то ее ожидаемая доходность не влияет на стоимость опциона. Следствием из этого заключения является необходимость находить ожидаемую стоимость опциона используя риск-нейтральное вероятностное распределение.

Сущность риск-нейтрального вероятностного распределения заключается в том, что мы считаем мат ожидание стоимости опциона так, как будто ожидаемая доходность акции (параметр ) равна безрисковой процентной ставке (параметр ). Риск-нейтральный подход также подразумевает, что ожидаемая будущая стоимость опциона должна дисконтироваться по безрисковой ставке, каким бы рискованным этот опцион ни был.

Далее приведем формулу теоретической цены европейского опциона Call:

Искомая формула теоретической цены европейского опциона Put:

.3 Опцион на фьючерс

Теперь в качестве базового актива для опциона рассмотрим фьючерс. Опционы на фьючерсы удобнее, чем опционы на непосредственно базовые активы тех же фьючерсов, потому что для работы с ними отсутствует необходимость прогнозировать дивиденды, оценивать зарубежные процентные ставки и стоимость хранения сырья/товаров. Фьючерсный контракт: договор, заключенный в момент времени  о поставке актива в будущем (время ) по цене . Спотовая цена на не платящую дивиденды акцию связана с фьючерсной ценой следующим отношением:

Фьючерсную цену в момент исполнения (время ) можно выразить через цену фьючерса , известную во время :

Соответственно формула теоретической цены европейского опциона Call и Put:

.4 Опцион на маржируемый фьючерс

Расчеты по маржируемым опционам осуществляются по такой же схеме как по фьючерсам. Покупатель опциона не платит продавцу цену опциона при заключении сделки, вместо этого клиринговая палата биржи блокирует на его счету средства в размере гарантийного обеспечения (маржа). Продавец опциона также выставляет гарантийное обеспечение. По результатам каждого торгового дня алгоритмы клиринговой палаты определяют «расчетную цену». Положительная разница между сегодняшней и вчерашней расчетными маржируемого опциона начисляется на счет покупателя опциона и списывается со счета продавца. Отрицательная разница - наоборот.