Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТА
СТРУКТУРНОГО
ОСЛАБЛЕНИЯ
НА
ОСНОВЕ
ВЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ
115
среде
;
при
отсутствии
трещин
(
ν→∞
)
получим
выражение
для
дисперсии
опро
-
бования
монолитного
массива
:
2
1
2
m
m
D
−
=
.
Коэффициент
вариации
обычного
опробования
(
без
учета
нарушенных
образцов
)
определяется
формулой
:
1
m
D
=
η
.
Введем
обозначение
k
k
k
m
m
A
1
/
=
,
(5.34)
тогда
1
2
2
1
2
1
2
2
−
=
−
=
A
m
m
m
η
,
откуда
1
2
2
+
=
η
A
.
Выражение
(5.33)
с
учетом
последнего
равенства
принимает
вид
:
(
)
,
,
1
1
'
2
2
1
2
2
1
ν
ν
ν
ν
ν
A
f
m
A
m
D
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
(5.35)
где
(
)
ν
,
2
A
f
–
функция
влияния
структурно
-
механических
неоднородностей
на
величину
дисперсии
.
Для
идеальной
однородной
среды
2
A
=1
,
для
реальной
же
породной
среды
,
как
показывает
анализ
,
величина
2
A
составляет
1,1-1,5.
На
рис
. 5.7
показаны
графики
функции
(
)
ν
,
2
A
f
в
зависимости
от
значений
2
A
и
v
.
Представленные
кривые
имеют
явно
выраженные
максимумы
.
До
опре
-
деленного
значения
*
ν
ν
=
дисперсия
возрастает
,
затем
плавно
снижается
по
мере
увеличения
расстояния
между
трещинами
.
Р
АЗДЕЛ
5
116
Исследуем
функцию
(
)
ν
,
2
A
f
на
экстремум
и
полу
-
чим
то
предельное
значение
v*,
после
которого
в
породной
среде
наступают
значительные
качественные
изменения
:
1
2
2
*
)
2
(
−
−
=
A
A
ν
. (5.36)
При
*
ν
ν
<
среда
обладает
таким
высоким
уровнем
разру
-
шенности
,
что
может
быть
приравнена
к
сыпучей
среде
с
некоторыми
усредненными
свойствами
.
Дисперсия
такой
среды
,
как
и
квазиоднородной
,
близка
к
нулю
.
По
сути
,
выра
-
жение
(5.36)
определяет
границы
применимости
рассматриваемой
вероятност
-
но
-
статистической
модели
:
графики
функции
(
)
ν
,
2
A
f
и
справа
и
слева
прибли
-
жаются
к
оси
абсцисс
.
Из
(5.33),
с
учетом
(5.34),
получим
выражение
для
относительной
вариа
-
ции
«
исправленного
»
вариационного
ряда
,
т
.
е
.
для
вариации
прочности
струк
-
турно
неоднородного
массива
.
В
предположении
,
что
прочность
дефектных
элементов
равна
нулю
(
)
(
α
f
=0
)
выражение
для
относительной
вариации
проч
-
ности
будет
иметь
вид
:
(
)
1
1
1
1
2
0
2
/
1
/
/
−
+
+
=
−
+
=
=
η
ν
ν
η
т
т
l
l
l
A
m
D
.
(5.37)
В
таком
виде
коэффициент
вариации
отражает
не
только
внутреннюю
структурную
неоднородность
массива
,
характеризуемую
вариацией
прочности
Рис
. 5.7.
Изменение
дисперсии
выборки
,
включающей
нарушенные
образцы
,
в
зави
-
симости
от
расстояния
между
трещинами
и
вариации
реального
опробования
: 1, 2 , 3,
4, 5, 6–
при
А
2
=1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5
со
-
ответственно
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТА
СТРУКТУРНОГО
ОСЛАБЛЕНИЯ
НА
ОСНОВЕ
ВЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ
117
при
обычном
опробовании
,
но
и
механическое
его
ос
-
лабление
системами
тре
-
щин
.
На
рис
. 5.8
показаны
графики
значения
коэффи
-
циента
вариации
η
/
в
зави
-
симости
от
плотности
тре
-
щин
0
l
l
m
=
ν
и
степени
внут
-
ренней
неоднородности
по
-
родной
среды
,
определяе
-
мой
параметром
1
2
2
+
=
η
A
.
Если
полагать
,
что
дефект
-
ные
элементы
все
-
таки
об
-
ладают
некоторой
прочно
-
стью
(
0
)
(
≠
α
f
)
относи
-
тельная
вариация
«
исправленного
»
ряда
будет
определяться
выражением
:
(
)
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
/
1
/
/
−
+
=
−
=
−
=
=
η
η
K
K
A
K
K
m
K
m
K
m
K
m
D
. (5.38)
Исследуем
теперь
,
как
влияет
наличие
нарушенных
элементов
в
выборке
на
вероятностное
распределение
прочности
структурных
элементов
.
5.2.3.
Влияние
наличия
в
выборке
элементов
,
нарушенных
макроде
-
фектами
,
на
вероятностное
распределение
прочности
структурных
элемен
-
тов
породного
массива
Выше
указывалось
,
что
подбор
распределения
для
эмпирических
данных
может
быть
осуществлен
с
помощью
диаграммы
Пирсона
,
на
которой
пред
-
Рис
. 5.8.
Зависимость
коэффициента
ва
-
риации
трещиноватого
породного
массива
от
расстояния
между
трещинами
и
степе
-
ни
неоднородности
среды
в
предположении
,
что
прочность
дефектных
элементов
равна
нулю
: 1, 2, 3, 4, 5 –
при
1
2
2
+
=
η
A
=1,1; 1,2;
1,3; 1,4; 1,5
соответственно
Р
АЗДЕЛ
5
118
ставлены
теоретические
распределения
в
зависимости
от
характерных
для
них
значений
асимметрии
и
эксцесса
.
Последние
определяются
центральными
мо
-
ментами
третьего
и
четвертого
порядков
(
формулы
(5.19)).
В
свою
очередь
центральные
моменты
могут
быть
выражены
через
начальные
:
2
1
2
2
m
m
−
=
μ
;
3
1
1
2
3
3
2
3
m
m
m
m
+
−
=
μ
;
(5.39)
4
1
2
1
2
1
3
4
4
3
6
4
m
m
m
m
m
m
−
+
−
=
μ
.
Для
нормального
распределения
все
начальные
моменты
нечетных
поряд
-
ков
равны
нулю
.
Отсюда
получаются
известные
соотношения
[84]:
;
0
3
2
2
3
2
1
=
=
μ
μ
β
(5.40)
.
3
2
2
4
2
=
=
μ
μ
β
(5.41)
Определим
из
этих
условий
,
как
должны
соотноситься
между
собой
мо
-
менты
симметричного
(
нормального
)
распределения
.
Из
второго
уравнения
(5.39)
и
условия
(5.40)
получим
,
что
0
2
3
3
1
1
2
3
3
=
+
−
=
m
m
m
m
μ
,
или
2
3
2
1
2
3
1
3
−
=
m
m
m
m
.
(5.42)
Для
случая
,
когда
0
1
≠
m
можно
использовать
обозначение
(5.34)
и
преоб
-
разовать
(5.42)
к
виду
:
2
3
2
3
−
=
A
A
.
(5.43)
Из
третьего
уравнения
(5.39)
и
условия
(5.41)
получим
:
.
3
3
6
4
2
1
2
4
1
2
1
2
1
3
4
2
2
4
2
=
−
−
+
−
=
=
m
m
m
m
m
m
m
m
μ
μ
β
(5.44)
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТА
СТРУКТУРНОГО
ОСЛАБЛЕНИЯ
НА
ОСНОВЕ
ВЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ
119
При
0
1
≠
m
,
вынося
общий
множитель
4
1
m
в
числителе
и
знаменателе
дро
-
би
и
используя
(5.34),
преобразуем
последнее
уравнение
к
виду
:
3
)
1
(
3
6
4
2
2
2
3
4
=
−
−
+
−
A
A
A
A
,
откуда
при
1
2
≠
A
,
получим
:
2
3
2
4
−
=
A
A
.
(5.45)
Уравнения
(5.42), (5.44),
либо
полученные
из
них
(5.43)
и
(5.45),
образуют
систему
,
которой
должны
удовлетворять
моменты
распределения
для
того
,
что
-
бы
оно
было
нормальным
.
Например
,
если
математическое
ожидание
нормального
распределения
равно
нулю
(
0
1
=
m
),
то
при
любом
значении
2
m
получим
,
что
3
m
=
0
,
а
2
2
4
3
m
m
=
.
Пусть
математическое
ожидание
отлично
от
нуля
,
например
, 1
1
=
m
,
и
из
-
вестно
,
что
2
,
1
2
=
A
.
Тогда
из
(5.43)
следует
,
что
6
,
1
3
=
A
,
а
из
(5.42)
32
,
2
4
=
A
.
При
таких
значениях
моментов
распределение
обладает
асимметрией
и
эксцессом
,
удовлетворяющими
уравнениям
(5.40), (5.41),
т
.
е
.
является
нормаль
-
ным
.
Проанализируем
,
как
изменится
это
распределение
,
если
будет
учтено
,
что
в
статистическую
совокупность
,
для
которой
оно
построено
,
добавятся
эле
-
менты
со
значительно
меньшей
прочностью
.
Как
было
показано
выше
,
начальные
моменты
обычного
вариационного
ряда
(
k
m
)
и
«
исправленного
» (
k
m
′
)
связаны
соотношением
(5.30).
Тогда
выражения
(5.39)
для
центральных
моментов
примут
вид
[233]:
.
3
6
4
;
2
3
;
4
1
4
1
2
1
2
2
1
2
1
3
1
3
4
4
4
3
1
3
1
1
2
2
1
3
3
3
2
1
2
1
2
2
2
m
K
m
m
K
K
m
m
K
K
m
K
m
K
m
m
K
K
m
K
m
K
m
K
−
+
−
=
′
+
−
=
′
−
=
′
μ
μ
μ
(5.46)
Как
видим
присутствие
элементов
,
нарушенных
макродефектами
,
меняет
все
моменты
распределения
,
в
том
числе
и
те
,
которые
определяют
собой