Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf
Р
АЗДЕЛ
5
110
определенный
вывод
:
плоскости
ослабления
,
расположенные
под
углом
θ
=
30
0
, 45
0
, 60
0
к
оси
нагружения
,
снижают
прочность
образца
в
2-5
раз
в
зависи
-
мости
от
числа
моделируемых
плоскостей
(
рис
. 5.5).
Исследуем
теперь
,
как
изменятся
характеристики
выборки
из
генеральной
совокупности
,
если
учесть
,
что
среди
структурных
элементов
есть
такие
,
проч
-
ность
которых
намного
ниже
прочности
тех
образцов
,
которые
испытывались
в
лабораторных
условиях
.
5.2.1.
Учет
наличия
элементов
,
содержащих
макродефекты
,
при
опре
-
делении
характеристик
выборки
Для
решения
поставленной
задачи
рассмотрим
неоднородный
породный
массив
,
содержащий
несколько
систем
трещин
(
рис
. 5.6).
Пусть
в
этом
массиве
в
произвольном
направлении
проходится
горная
выработка
.
Выделим
вдоль
продольной
ее
оси
блок
длиной
L
1
,
шириной
L
2
и
высотой
L
3
.
Блок
имеет
такие
размеры
,
что
все
системы
трещин
,
независимо
от
их
ориентировки
по
отноше
-
нию
к
оси
Х
(
L
i
)
,
пере
-
секут
его
стороны
.
При
этом
среднее
рас
-
стояние
между
тре
-
щинами
,
подсчитан
-
ное
по
длинам
L
i
,
рав
-
но
l
mi
,
а
соответст
-
вующая
интенсив
-
ность
трещиноватости
составит
q
mi
=
l
mi
-1
.
При
идеальной
обработке
из
этого
блока
могут
быть
изготовлено
n
образцов
с
линейным
размером
l
0.
(
l
0
<<L
i
).
Ре
-
зультаты
испытаний
этих
образцов
на
сжатие
представляли
бы
выборку
из
ге
-
неральной
совокупности
значений
прочности
структурных
элементов
.
Однако
,
Рис
. 5.6.
Расчетная
схема
к
решению
задачи
о
структурно
-
механическом
ослаблении
породного
массива
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТА
СТРУКТУРНОГО
ОСЛАБЛЕНИЯ
НА
ОСНОВЕ
ВЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ
111
испытаниям
подвергаются
не
все
образцы
,
а
лишь
та
часть
,
количеством
n
в
,
ко
-
торая
не
содержит
макродефекты
и
реально
может
быть
изготовлена
.
Таким
об
-
разом
,
будет
получена
совокупность
значений
прочности
(
)
в
i
n
i
R
...
1
=
,
для
ко
-
торых
среднее
значение
(
начальный
момент
первого
порядка
)
равно
:
∑
=
=
в
n
i
i
в
R
n
m
1
1
1
.
(5.21)
Однако
,
в
генеральной
совокупности
в
соответствии
с
принятой
гипотезой
содержатся
структурные
элементы
,
прочность
которых
значительно
меньше
прочности
ненарушенных
образцов
и
оценивается
некоторой
функцией
сниже
-
ния
прочности
)
(
α
f
,
зависящей
от
угла
наклона
трещины
α
к
горизонтальной
плоскости
(
θ
α
−
=
0
90
).
Их
присутствие
должно
быть
отражено
и
в
выборке
из
генеральной
совокупности
.
Таким
образом
,
к
исходной
совокупности
из
n
в
об
-
разцов
должны
быть
добавлены
n
m
нарушенных
образцов
,
прочность
которых
равна
(
)
т
i
m
i
n
i
R
f
R
...
1
)
(
=
=
α
.
(5.22)
Статистическая
обработка
должна
выполняться
для
нового
, «
исправленно
-
го
»,
вариационного
ряда
из
n=n
т
+n
в
данных
.
Следует
отметить
,
что
в
поставленной
задаче
вместо
исследуемого
предела
прочности
на
одноосное
сжатие
может
фигурировать
любая
другая
физико
-
механическая
характеристика
породного
массива
:
плотность
,
модуль
Юнга
,
ко
-
эффициент
Пуассона
,
скорость
распределения
упругих
волн
и
др
.
Суть
и
ход
рассуждений
от
этого
принципиально
не
меняются
.
Определим
параметры
статистического
распределения
для
такого
ряда
.
Среднее
значение
прочности
(
начальный
момент
первого
порядка
)
равно
:
т
в
n
i
n
i
m
i
i
n
i
n
n
R
R
Ri
n
m
в
т
+
+
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
1
1
1
/
1
1
.
(5.23)
Обозначим
n
в
/n
т
=v
,
(5.24)
Р
АЗДЕЛ
5
112
тогда
)
1
(
1
в
т
в
n
n
n
,
а выражение (5.23) с учетом (5.24) примет вид
.
1
)
(
1
1
)
(
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
f
m
m
f
m
n
f
R
n
R
n
R
n
R
m
в
n
i
i
в
n
i
i
в
n
i
m
i
в
n
i
i
т
в
т
в
Из (5.24) найдем, что величина
v
может быть представлена в виде:
0
/
l
l
т
,
(5.25)
и тогда она может быть легко определена экспериментально. Здесь
l
m
и
l
0
–
среднее расстояние между трещинами и характерный размер образца соответ-
ственно.
Следует отметить, что величина
по своей физической природе не может
быть меньше единицы. При расстоянии между трещинами меньше
l
0
из такой
среды невозможно изготовить образцы стандартных размеров. Кроме того, по-
сле определенного уровня нарушенности среда принимает свойства скорее сы-
пучей, чем сплошной среды. Такой среде соответствует дисперсия значений
прочности, близкая к нулю, и коэффициент структурного ослабления, близкий
к единице. Таким образом, исследуемая вероятностно-статистическая модель
породной среды со случайно распределенными дефектами в виде трещин имеет
ограничения: она отражает свойства породного массива, структура которого за-
нимает промежуточное положение между сыпучей средой (модель однородного
на микроскопическом уровне тела) и сплошной нетрещиноватой средой (мо-
дель сплошного неоднородного на субмакроскопическом уровне тела). Об этом
следует помнить, анализируя полученные результаты.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТА
СТРУКТУРНОГО
ОСЛАБЛЕНИЯ
НА
ОСНОВЕ
ВЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ
113
Начальные
моменты
первого
порядка
для
исходного
и
«
исправленного
»
(
дополненного
нарушенными
элементами
)
статистического
ряда
связаны
соот
-
ношением
:
1
1
1
m
K
m
=
′
,
(5.26)
где
1
)
(
1
+
+
=
ν
α
ν
f
K
=
1
)
(
0
0
+
+
l
l
f
l
l
m
m
α
.
(5.27)
Важнейшим
параметром
статистического
распределения
является
диспер
-
сия
,
характеризующая
разброс
данных
относительно
среднего
.
Дисперсия
пред
-
ставляет
собой
центральный
момент
второго
порядка
,
который
,
как
известно
,
связан
с
начальными
моментами
первого
и
второго
порядков
:
2
/
1
/
2
/
2
/
)
(
m
m
D
−
=
=
μ
.
(5.28)
Момент
первого
порядка
определяется
формулой
(5.26).
Найдем
момент
второго
порядка
для
«
исправленного
»
ряда
:
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
/
2
)
(
1
1
))
(
(
1
m
K
m
f
m
n
n
f
R
R
R
n
m
т
в
n
i
n
i
i
i
n
i
i
в
т
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
=
=
+
+
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
α
ν
ν
ν
α
, (5.29)
где
1
)
(
2
2
+
+
=
ν
α
ν
f
K
=
1
)
(
0
2
0
+
+
l
l
f
l
l
m
m
α
.
Можно
показать
,
что
все
начальные
моменты
k
-
го
порядка
«
исправленно
-
го
»
и
исходного
ряда
связаны
соотношением
:
Р
АЗДЕЛ
5
114
k
k
k
m
K
m
=
′
,
(5.30)
где
1
)
(
+
+
=
ν
α
ν
k
k
f
K
=
1
)
(
0
0
+
+
l
l
f
l
l
m
k
m
α
.
(5.31)
В
частном
случае
,
если
полагать
прочность
нарушенных
элементов
равной
нулю
,
коэффициент
влияния
трещин
одинаков
для
всех
начальных
моментов
:
K
K
K
K
K
k
=
=
=
=
...
3
2
1
=
1
0
0
+
l
l
l
l
m
m
=
0
l
l
l
m
m
+
.
(5.32)
Величина
K
изменяется
в
пределах
от
0,5 (
0
l
l
m
=
–
сильно
трещиноватая
среда
)
до
1,0 (
∞
→
m
l
–
нетрещиноватая
среда
)
Таким
образом
,
дисперсия
«
исправленного
»
вариационного
ряда
равна
:
2
1
2
1
2
2
2
/
m
K
m
K
D
−
=
′
=
μ
.
(5.33)
В
физическом
отношении
дисперсия
характеризует
степень
неоднородно
-
сти
среды
.
Поэтому
влияние
на
ее
величину
структурных
неоднородностей
представляет
особый
интерес
.
5.2.2.
Исследование
влияния
структурных
неоднородностей
на
вели
-
чину
дисперсии
прочности
структурных
элементов
массива
Рассмотрим
этот
вопрос
для
случая
,
когда
)
(
α
f
=0,
т
.
е
.
в
предположении
,
что
прочность
дефектных
элементов
близка
нулю
,
как
это
сделано
в
[232, 233].
Выражение
(5.33)
удовлетворяет
граничным
условиям
:
при
ν
=0, D
′
=0
–
массив
разрушен
,
механически
однороден
и
может
быть
приравнен
к
сыпучей