Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СТРУКТУРНОГО ОСЛАБЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ВЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
95
где
R
dx
x
f
R
F
)
(
)
(
- интегральная функция распределения величины
R
.
Разрешим это неравенство относительно величины
R
m
:
)
1
(
arg
Р
F
R
m
,
(5.3)
где
)
Р
(
F
arg
1
– аргумент функции
)
(
R
F
при ее значении равном
Р
1
.
Тогда коэффициент структурного ослабления определяется выражением:
)
(
)
1
(
arg
R
М
Р
F
k
c
,
(5.4)
конкретный вид которого зависит от выбора функции распределения вероятно-
стей
)
(
R
F
случайной величины
R
– прочности структурных элементов.
Как правило, выбор закона распределения осуществляют исходя из физи-
ческой сути случайной величины и анализа статистической информации. Чаще
всего, особенно в случае, когда объем такой информации невелик, исследовате-
ли в качестве вероятностной модели исследуемого количественного признака
выбирают нормальный закон распределения. При этом руководствуются цен-
тральной предельной теоремой и законом больших чисел, из которых следует
вывод: если варьирование случайной величины происходит под воздействием
большого числа независимых факторов, причем влияние каждого из них незна-
чительно по сравнению с совокупным воздействием других факторов, то рас-
пределение случайной величины подчиняется нормальному закону. Поскольку
условия, определяющие нормальное распределение, встречаются часто, по-
следнее получило широкое распространение. Достоинством нормального рас-
пределения является и то, что его параметры имеют ясный физический смысл.
Действительно, плотность распределения случайной величины, подчинен-
ной закону Гаусса, имеет вид:
2
2
2
)
(
2
1
)
(
a
R
e
R
f
,
(5.5)
Р
АЗДЕЛ
5
96
где
a
–
математическое
ожидание
величины
R
;
σ
–
ее
среднеквадратическое
отклонение
.
Получим
величину
коэффициента
структурного
ослабления
в
предположе
-
нии
,
что
прочность
структурных
элементов
массива
распределена
по
нормаль
-
ному
закону
.
В
этом
случае
неравенство
(5.2)
принимает
вид
)
(
1
)
(
0
σ
a
R
F
R
R
Р
m
m
−
−
=
≥
,
(5.6)
где
dt
е
t
F
t
t
2
0
2
2
1
)
(
−
∞
−
∫
=
π
–
(5.7)
нормированная
функция
нормального
распределения
.
Разрешим
уравнение
(5.6)
относительно
величины
R
m
:
Р
a
R
F
m
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
1
0
σ
,
)
1
(
arg
0
Р
F
a
R
m
−
=
−
σ
,
где
)
1
(
arg
0
Р
F
t
−
=
–
аргумент
функции
(5.7)
при
ее
значении
)
(
0
t
F
,
равном
Р
−
1
.
Далее
получим
:
a
Р
F
R
m
+
−
⋅
=
)
1
(
arg
0
σ
.
Учитывая
,
что
а
R
М
=
)
(
,
разделив
обе
части
полученного
выражения
на
величину
а
,
получим
:
1
)
1
(
arg
0
+
−
⋅
=
Р
F
а
k
c
σ
.
Здесь
η
σ
=
а
–
относительная
вариация
прочности
структурных
элемен
-
тов
.
Окончательно
выражение
для
коэффициента
структурного
ослабления
принимает
вид
:
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА СТРУКТУРНОГО ОСЛАБЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ВЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
97
1
)
1
(
arg
0
Р
F
k
c
.
(5.8)
Итак, мы получили коэффициент структурного ослабления как величину,
зависящую, во-первых, от относительной вариации
, которая по сути характе-
ризует степень неоднородности среды; во-вторых – от вероятности
Р
, которая
характеризует собой уровень значимости объекта.
Определим, например, расчетное значение прочности на одноосное сжатие
алевролита, если по данным испытаний среднее значение прочности лабора-
торных образцов
c
R
составляет 40 МПа, вариация значений составляет 30 %
(
=0,3)
Из равенства (5.1) следует, что:
c
c
m
pacч
k
R
R
R
.
Зададимся
вероятностью
Р=0,95.
Определим значение аргумента
t
норми-
рованной нормальной функции
)
(
0
t
F
при ее значении, равном
05
,
0
95
,
0
1
.
По таблице 1 Приложения А определяем, что значению интегральной функции
dt
е
t
F
t
t
2
0
2
2
1
)
(
, равном
05
,
0
)
(
0
t
F
, соответствует значение аргумента
64
,
1
t
, то есть
64
,
1
)
05
,
0
(
arg
0
F
. Тогда коэффициент структурного ослаб-
ления равен:
508
,
0
1
)
64
,
1
(
3
,
0
c
k
.
Таким образом, расчетное значение прочности равно
40
508
,
0
pacч
R
= 21 МПа.
Анализируя график зависимости (5.8) (рис.5.2), заметим, что при
>0,4,
коэффициент структурного ослабления может принимать отрицательные зна-
чения, что, естественно, противоречит физической сути данной величины. Оче-
видно, что это недостаток вероятностной модели. Действительно, интегрирова-
ние плотности нормального распределения автоматически предполагает нали-
чие отрицательных значений величины
R
в пределах
0
R
. Именно ко-
Р
АЗДЕЛ
5
98
личественная
оценка
в
виде
коэффициента
структурного
ослаб
-
ления
показывает
не
-
достаток
нормального
распределения
:
предел
прочности
на
одноос
-
ное
сжатие
не
может
иметь
отрицательных
значений
.
Исходная
вероятностная
модель
,
привлекающая
своей
простотой
,
неадекват
-
на
рассматриваемому
объекту
и
требует
замены
более
совершенной
.
Такой
бо
-
лее
универсальной
вероятностной
моделью
является
нормальный
усеченный
закон
распределения
[97].
Плотность
распределения
случайной
величины
x
для
усеченного
нормаль
-
ного
закона
имеет
вид
:
( )
( )
(
)
( )
[
]
;
.
,
0
,
2
exp
2
;
,
0
2
2
1
1
2
2
0
1
2
1
1
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∞
−
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∞
−
=
−
−
p
p
p
p
p
p
x
x
x
x
x
x
x
A
x
x
x
f
σ
σ
π
(5.9)
где
x
0
,
σ
2
–
соответственно
первый
начальный
и
второй
центральный
моменты
статистического
распределения
.
Параметр
A
в
уравнении
(5.9)
определяется
из
условия
1
2
exp
2
1
2
1
2
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∫
du
u
A
x
x
π
, (5.10)
Рис
. 5.2.
Зависимость
коэффициента
структурного
ослабления
от
вариации
прочности
структурных
элементов
в
предположении
нормального
закона
распределения
их
прочности
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТА
СТРУКТУРНОГО
ОСЛАБЛЕНИЯ
НА
ОСНОВЕ
ВЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ
99
где
(
)
2
2
0
2
σ
x
x
u
−
=
.
Среднее
значение
прочности
и
дисперсия
находятся
из
выражений
σ
B
x
x
M
+
=
0
)
(
,
(5.11)
(
) ( )
(
)
[
]
(
) ( )
(
)
[
]
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
2
2
0
1
2
1
1
0
1
2
2
0
1
2
1
1
0
2
2
2
2
/
exp
2
2
/
exp
2
1
σ
π
σ
σ
π
σ
σ
x
x
x
x
x
x
x
x
A
B
D
. (5.12)
Обозначим
( )
(
)
(
)
[
]
(
)
( )
[
]
( ) (
)
[
]
.
2
2
exp
,
/
2
exp
2
1
0
2
1
1
2
2
0
0
1
/
0
2
2
1
0
−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∫
σ
π
σ
σ
π
σ
x
x
f
x
x
x
x
Ф
du
u
i
i
x
x
i
(5.13)
Тогда
величины
А
,
В
, D
определятся
выражениями
.
1
,
/
,
/
1
0
1
0
2
0
2
0
1
2
2
0
1
0
2
0
2
0
1
0
1
0
2
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
A
B
D
x
x
Ф
x
x
Ф
x
x
f
x
x
f
B
x
x
Ф
x
x
Ф
А
(5.14)
Решим
задачу
об
оценке
прочности
породного
массива
для
усеченного
нормального
закона
распределения
.
Прочность
массива
,
как
и
в
предыдущем
случае
,
оценивается
величиной
x
с
такой
надежностью
,
чтобы
при
расчетах
она
с
вероятностью
p
не
принимала
значений
меньше
x
m
.
Вероятность
того
,
что
случайная
величина
x
не
окажется
ниже
значения
x
m
,
равна
:
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
.
2
/
exp
2
1
/
/
2
2
1
2
0
0
1
du
u
A
x
x
x
p
x
x
x
x
m
m
∫
−
−
−
−
−
=
σ
σ
π
p
p
.
С
учетом
обозначений
(5.13)
и
(5.14)
получим