Материал: ShashenkoSzdvigkovaGapeev_monograf

Р

АЗДЕЛ

4 

90

принятой

гипотезой

равна

математическому

ожиданию

случайной

величины

, 

распределенной

по

закону

Вейбулла

.  

Математическое

ожидание

и

дисперсия

для

распределения

Вейбулла

вы

-

ражаются

через

параметры

распределения

следующим

образом

[

212

]

: 

( )

[

]

{

}

,

)

1

/

1

(

)

1

/

2

(

),

1

/

1

(

2

2

0

0

+

Γ

−

+

Γ

=

+

Γ

=

ξ

ξ

σ

ξ

σ

D

R

M

   

где

)

(

t

Γ

 – 

гамма

-

функция

 [85]  

Тогда

коэффициент

структурного

ослабления

равен

: 

)

1

/

1

(

)

/

1

exp(

)

(

/

/

1

+

Γ

−

=

=

−

ξ

ξ

ξ

ξ

R

M

R

k

m

c

. 

Полученное

выражение

определяет

коэффициент

структурного

ослабления

массива

только

в

зависимости

от

параметра

формы

ξ

распределения

Вейбулла

. 

С

одной

стороны

, 

простота

в

математическом

плане

является

достоинством

по

-

лученной

зависимости

, 

но

с

другой

 – 

снижает

эффективность

  

величины

k

с

как

характеристики

объекта

: 

степень

снижения

прочности

системы

по

отношению

к

прочности

ее

элементов

зависит

только

от

параметра

, 

физическая

сущность

которого

не

очевидна

. 

В

работе

А

.

Н

. 

Шашенко

[

209

]

также

используется

подход

Л

.

Г

. 

Седракяна

для

определения

средней

прочности

массива

. 

Однако

в

отношении

распределе

-

ния

прочности

структурных

элементов

им

выдвинута

гипотеза

о

нормальном

законе

распределения

.  

Интегральная

функция

нормального

распределения

имеет

вид

[

210

]

: 

( )

(

)

(

)

dR

a

R

R

F

R

∫

∞

−

−

−

=

2

2

2

/

exp

2

1

σ

π

σ

, 

   

где

σ

,

a

 – 

параметры

распределения

, 

соответственно

равные

математическому

ожиданию

и

среднеквадратическому

отклонению

случайной

величины

. 

О

ЦЕНКА

ПРОЧНОСТИ

НЕОДНОРОДНЫХ

СРЕД

С

ДЕФЕКТНОЙ

СТРУКТУРОЙ

91

Путем

замены

переменной

эту

функцию

приводят

к

нормированному

виду

и

выражают

через

табулированные

в

справочниках

так

называемые

интегралы

вероятностей

 [210]. 

Поскольку

в

данном

случае

идет

речь

о

величине

, 

прини

-

мающей

только

положительные

значения

, 

автор

счел

возможным

  

использовать

в

качестве

функции

распределения

интеграл

: 

∫

′

−

−

=

σ

π

2

0

2

)

exp(

2

a

R

dt

t

t

erf

, 

(4.15) 

где

t 

– 

параметр

, 

определяемый

выражением

: 

σ

2

a

R

t

−

=

.   

(4.16) 

Продифференцировав

выражение

 (4.11) 

с

учетом

 (4.15) 

по

t

и

приравняв

его

к

нулю

, 

получим

уравнение

0

)

*

exp(

)

1

*

2

(

*)

1

(

2

2

=

−

+

−

−

t

t

erft

η

π

, 

  (4.17) 

где

t*

 – 

решение

уравнения

 (4.17), 

η

 – 

коэффициент

вариации

прочности

, 

рав

-

ный

σ

 /a.  

Интеграл

вероятностей

 (4.15) 

табулирован

в

 [211]. 

Решая

уравнение

 (4.17) 

методом

приближений

, 

получим

зависимость

t*=f(

η

). 

С

ошибкой

, 

не

превы

-

шающей

 8 %, 

эта

кривая

может

быть

представлена

в

аналитическом

виде

)

25

,

0

exp(

5

,

0

*

5

,

0

η

η

−

−

=

−

t

. 

(4.18) 

При

t = t*

заменим

в

выражении

 (4.16) 

R

на

R

m

и

получим

2

σ

a

R

t

m

−

=

∗

.  

(4.19) 

Приравнивая

правые

части

уравнений

 (4.18) 

и

 (4.19) 

получим

выражение

для

определения

средней

прочности

массива

на

одноосное

сжатие

(

)

[

]

a

R

m

η

η

25

,

0

exp

5

,

0

1

−

−

=

. 

   (4.20) 

Р

АЗДЕЛ

4 

92

Полученное

выражение

для

средней

прочности

массива

использовалось

для

определения

коэффициента

структурного

ослабления

.  

Поскольку

математическое

ожидание

нормально

распределенной

величи

-

ны

равно

параметру

а

, 

формула

для

определения

коэффициента

структурного

ослабления

, 

в

случае

принятия

гипотезы

о

нормальном

распределения

прочно

-

сти

структурных

элементов

, 

имеет

вид

:  

(

)

η

η

25

,

0

exp

5

,

0

1

−

−

=

=

a

R

k

M

c

. 

  (4.21) 

Полученная

зависимость

связывает

коэффициент

структурного

ослабления

с

реальной

характеристикой

 – 

вариацией

значений

прочности

относительно

своего

среднего

. 

Для

идеально

однородной

среды

η

=0 

и

коэффициент

струк

-

турного

ослабления

равен

единице

. 

По

мере

увеличения

вариации

данных

, 

то

есть

с

ростом

неоднородности

среды

, 

величина

k

с

уменьшается

. 

Исследуем

подробнее

поведение

функции

 (4.21). 

Предел

функции

при

∞

→

η

, 

найденный

по

правилу

Лопиталя

, 

равен

единице

. 

Это

значит

, 

что

в

об

-

ласти

своего

определения

функция

 (4.21) 

должна

иметь

экстремум

. 

Действи

-

тельно

, 

исследование

первой

производной

показывает

, 

что

при

η

=2 

имеет

ме

-

сто

минимум

, 

значение

которого

составляет

 0,39. 

То

есть

, 

в

соответствии

с

формулой

 (4.21), 

коэффициент

структурного

ослабления

не

может

быть

ниже

значения

k

с

=0,39 

даже

при

сколь

угодно

больших

значениях

относительной

ва

-

риации

прочности

. 

Очевидно

, 

что

этот

факт

не

соответствует

реальности

. 

Выше

упоминалось

, 

что

для

углевмещающих

пород

величина

коэффициента

струк

-

турного

ослабления

может

принимать

значения

 0,2…0,6. 

Значения

коэффици

-

ента

структурного

ослабления

, 

получаемые

из

выражения

 (4.21), 

завышены

, 

по

-

скольку

автором

искусственно

исключена

из

рассмотрения

вероятность

появ

-

ления

отрицательных

величин

путем

использования

функции

Лапласа

, 

ограни

-

ченной

слева

, 

в

то

время

как

график

плотности

распределения

вероятностей

в

соответствии

с

законом

Гаусса

простирается

и

в

отрицательную

область

, 

что

должно

быть

учтено

при

интегрировании

. 

Эта

ошибка

тем

больше

, 

чем

выше

О

ЦЕНКА

ПРОЧНОСТИ

НЕОДНОРОДНЫХ

СРЕД

С

ДЕФЕКТНОЙ

СТРУКТУРОЙ

93

неоднородность

рассматриваемого

объекта

, 

т

.

е

. 

чем

выше

значение

дисперсии

случайной

выборки

. 

Завершая

обзор

работ

, 

посвященных

количественной

оценке

масштабного

эффекта

в

горных

породах

, 

следует

отметить

, 

что

на

настоящий

момент

по

сути

дела

нет

общепринятой

методики

определения

коэффициента

структурного

ос

-

лабления

, 

в

основе

которой

лежала

бы

адекватная

физическая

модель

, 

учиты

-

вающая

основные

ослабляющие

микро

- 

и

макродефекты

, 

структуру

и

тектони

-

ческую

нарушенность

породных

массивов

, 

а

также

особенности

их

нагружения

. 

Р

АЗДЕЛ

5 

94

5. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

КОЭФФИЦИЕНТА

СТРУКТУРНОГО

ОСЛАБЛЕНИЯ

НА

ОСНОВЕ

ВЕРОЯТНОСТНО

-

СТАТИСТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ

5.1. 

Вероятностно

-

статистическая

модель

прочности

породного

масси

-

ва

Следуя

статистическим

теориям

прочности

 [90, 170], 

породный

массив

можно

представить

как

некоторый

агрегат

, 

состоящий

из

структурных

элемен

-

тов

. 

В

силу

неоднородности

породной

среды

прочность

структурных

элементов

является

случайной

величиной

и

подчиняется

тому

или

иному

закону

распреде

-

ления

вероятностей

с

плотностью

распреде

-

ления

)

(

R

f

 (

рис

. 5.1).  

Отличие

прочно

-

сти

массива

  (

агрегата

) 

R

m

(

рис

. 5.1) 

от

матема

-

тического

ожидания

прочности

структурных

элементов

M(R)

оцени

-

вается

коэффициентом

структурного

ослабления

, 

равным

)

(

R

М

R

k

m

c

=

.  

(5.1) 

Прочность

массива

должна

оцениваться

такой

величиной

R

m

, 

чтобы

проч

-

ность

его

структурных

элементов

, 

в

т

.

ч

. 

лабораторных

образцов

, 

с

заданной

на

-

дежностью

были

не

меньше

этого

значения

. 

Вероятность

такого

события

опре

-

деляется

выражением

  

(

)

)

(

1

m

m

R

F

R

R

p

−

=

≥

, 

   (5.2) 

Рис

.5.1. 

Гипотетическое

распределение

прочности

структурных

элементов

породного

массива