Материал: Lektsia_-_metod_modalnogo_formirovania
качестве основных следующие, хорошо известные в теории автоматического управления, пять критериев:
-длительность переходного процесса ;
-степень устойчивости ;
-перерегулирование ;
-коэффициент затухания ;
-колебательность .
Перерегулирование в упругой системе характеризует динамическую деформацию системы в процессе переходного режима. Исходя из решения конкретной целевой задачи, перерегулирование может быть ограничено в значительной степени или вообще быть равным нулю. В противном случае оно может привести к существенным механическим напряжениям в элементах системы вплоть до выхода системы из строя.
Рисунок 2.18 – Область гарантированного качества Полученная на основании этих рассуждений область расположения
спектра полюсов слева ограничивается вертикальной прямой, проходящей через вещественное значение наиболее удалённого от мнимой оси полюса
(рисунок 2.18).
Соотношения для , , , и определяют спектральные оценки качества динамических свойств системы "РКН КГЧ АС" и позволяют осмысленно подойти к выбору требуемых спектров полюсов для проектируемой системы.
2.3 Реализация процедуры модального формирования
Задача исследования динамической совместимости ГЧ с РКН рассматривается как задача выбора областей в пространстве проектных параметров, соответствующих устойчивости системы и заданному качеству переходных процессов в каналах управления, и формулируется как задача модального формирования на множестве спектров.
Постановка задачи в форме (2.36) относится к проблеме определения условий динамической совместимости составной системы "РКН ГЧ АС".
В качестве параметров, которые могут обеспечить динамическую совместимость системы, в данном случае выступают коэффициенты автомата
стабилизации ai , i 0,4 по соответствующему каналу управления. В
качестве параметров, влияющих на динамическую совместимость РКН и ГЧ,
выступают геометрические (аэродинамические), инерционно массовые,
жесткостные и диссипативные характеристики системы.
Таким образом, на множестве возможных значений проектных параметров системы "РКН ГЧ АС" (Р) требуется найти такую область Dp
(рисунок 2.19), которая соответствует устойчивости системы и заданному качеству переходных процессов системы "РКН ГЧ АС". Множество
допустимых проектных параметров задано совокупностью неравенств вида
a j p j b j , |
(2.38) |
|
|
|
|
где постоянные a j , b j , j 1, k |
определяют заданные пределы изменения |
|
параметров.
Рисунок 2.19 – Область Dp на плоскости проектных параметров
С другой стороны, заданному |
качеству |
реакции |
системы на |
внешнее воздействие соответствует определённая область DS |
на плоскости |
||
комплексной переменной s. |
|
|
|
Рисунок 2.20 – Область Ds на плоскости комплексной переменной s
Таким образом, решаемая математическая постановка о динамической совместимости формулируется следующим образом: в пространстве допустимых значений коэффициентов автомата стабилизации и проектных
параметров системы "РКН – ГЧ" требуется найти такую область: DP |
Pf , |
||||
для которой |
|
|
|
|
|
Spec A BP DS , p j DP Pf |
|
|
|
|
|
Р, |
j 1, k, k 1, |
(2.39) |
|||
S |
|
|
|
|
|
где DS - область расположения на плоскости комплексной переменной
S спектров совокупности подсистем, обладающих свойством устойчивости по Ляпунову невозмущённого движения и заданным качеством переходных процессов по каналам управления; pj – элементы k - вектора проектных
(формируемых) параметров системы; Pf – множество допустимых проектных параметров; P - множество проектных параметров системы. Для асимптотической устойчивости линейных систем множество Ds должно располагаться в левой полуплоскости комплексной переменной s и иметь вполне определённую конфигурацию, соответствующую заданным значениям степени быстродействия , колебательности и затухания
(рисунок 2.20).
В силу сложности конфигурации множества Ds, которое в проектных задачах может быть произвольным, что вызывает определённые трудности при получении функционала, определяющего принадлежность спектра полюсов данной области, поставим задачу преобразования множества Ds
комплексной переменной s в некоторое другое множество Dq комплексной переменной q.
При этом потребуем, чтобы Dq имело бы более простую структуру и тем самым облегчило задачу построения функционала, определяющего принадлежность спектра системы "РКН ГЧ АС" области (множеству) DS.
Для преобразования области Ds в Dq будем использовать аппарат функционально – преобразованных (ФП) матриц.
Пусть на плоскости s задана некоторая область Ds, в которой расположены все собственные числа матрицы (2.33) A A BP . Обозначим
совокупность всех матриц порядка n, спектр которых принадлежит Ds, через
AS :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
. |
A |
A |
Spec A |
||||||||
|
S |
|
S |
|
S |
|
S |
|||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
||
С другой стороны, пусть на плоскости переменной q задан круг радиусом r с центром в начале координат. Обозначим через Bq совокупность всех матриц порядка n, спектр которых находится внутри круга радиуса
qi r,i 1, n :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bq |
|
Spec Bq |
, |
(2.40) |
|||||||
Bq |
Dq |
||||||||||
|
|
|
|
q |
|
|
|
||||
где Dq - множество точек, лежащих внутри круга радиусом R.
Предположим, что существует оператор L, устанавливающий взаимно однозначное соответствие двух множеств AS и Bq . Оператор L, действуя на
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
любую матрицу As, выбранную из |
|
AS , переводит её спектр в множество |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
точек, содержащихся |
|
в Bq . Это |
означает, что все |
собственные |
числа |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
qi (i 1, n) матрицы |
|
B |
L( |
A |
) будут принадлежать |
кругу радиуса |
R с |
|||||||
центром в начале координат. С вычислительной точки зрения необходимо,
чтобы структура L была бы наиболее простой.
Задачу о соответствии между множествами можно свести к задаче о соответствии между границами множеств. Для этого необходимо найти
аналитическую функцию |
|
|
|
|
|
||||
q f (s) , |
|
|
(2.41) |
||||||
которая переводит границу множества DS в границу множества Dq при |
|||||||||
условии, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Spec |
A |
DS . |
|
|
(2.42) |
||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, |
|
|
|
||||||
если спектр A расположен внутри Ds, то спектр матрицы B в |
|||||||||
результате |
|
функционального |
преобразования |
q f (s) |
будет |
||||