Материал: 5493

момент, т.е. какова современная ( приведённая) стоимость (равновесная цена) данного обыкновенного возвратного аннуитета?

Решение. Применяется формула возвратного обыкновенного срочного аннуитета (4.8)

Как изменится современная (текущая) стоимость данного аннуитета, если

сделать его бессрочным (вечным)?

4.4. Конверсия (замена и объединение) платежей

Изменение хозяйственной (финансовой) ситуации нередко вынуждает одну из сторон финансовой операции (договора) обращаться к другой с предложением (просьбой) скорректировать условия ранее заключённых соглашений: изменить сроки и объём платежей; произвести объединение нескольких платежей в один (консолидировать, коинтегрировать платежи) с установлением единого срока погашения и т.п. Поскольку между заёмщиком и кредитором должны иметь место партнёрские отношения, то предлагаемые изменения должны быть безубыточными для обеих сторон сделки.

Основным принципом изменения условий сделки (контракта) является принцип финансовой эквивалентности: объём (сумма) заменяемых платежей (обязательств), приведённых к одному моменту времени, должна быть равна сумме платежей по новому обязательству, приведённой к той же дате.

Пример 4.5. По условиям договора фирма (заёмщик) должна выплатить кредитору 20 000 у.д.е. в конце 1-го месяца, 40 000 у.д.е. в конце 4-го месяца и 70 000 у.д.е. в конце года при годовой ставке r = 0,24 (24 % годовых). Фирма договорилась с кредитором заплатить 50 000 у.д.е. в конце 6-го месяца, а оставшийся долг погасить в конце 9-го месяца. Определить размер этого платежа.

Решение. Ежемесячная ставка по кредитам rмес = 0,24/12 = 0,02.

Приводим первые два платежа и по концу 6-го месяца по модели простых процентов.

FV1 = 20 000(1 + 0,02 5) = 22000 у.д.е.

FV2 = 40 000(1 + 0,02 2) = 41 600 у.д.е. FV1 + FV2 = 22 000 + 41 600 = 63 600 у.д.е.

Так как 50 000 у.д.е. погашаются в конце 6-го месяца, то оставшийся долг 63 600 50 000 = 13600 у.д.е. должен быть приведён к концу 9-го месяца т.е.

16

FV3 = 13 600(1 + 0,02 3) = 14 416 у.д.е.,

а долг 70 000 в конце года приведётся дисконтированием по схеме простых процентов тоже к концу 9-го месяца (dмес = rмес = 0,02).

.

Таким образом суммарный платёж фирмы в конце 9-го месяца должен быть FV5 = FV3 + FV4 = 14 416 + 66 038 = 80 454 у.д.е., а общие выплаты составят FV6 = = 50 000 + 80 454 = 130 454 у.д.е.

Пример 4.6. Консолидировать (объединить) платежи CF1 = 500 у.д.е. в конце 1-го года CF3 = 800 у.д.е. в конце 3-го года и CF6 = 700 у.д.е. в конце 6-го года в один платёж в конце 4-го года, если ежегодная ставка наращения r = 0,15 постоянна, а ставка дисконтирования d = 0,12 тоже постоянна.

Решение. Применяя модель сложных процентов, получаем величину CF1 консолидированного платежа

CF4 = 500(1 + 0,15)3 + 800(1 + 0,15)1 + 700/(1 + 0,12)2 = 760,44 + 920 + 558,04 = = 2 238,48 (у.д.е.)

Пример 4.7. Рассматривается три сценария (варианта) возврата долга. Первый вариант: долг в размере PV = 70 000 у.д.е. возвратить сегодня (в настоящий момент времени). Второй вариант: этот же долг возвратить через 5 лет, но уже в размере FV25 = 150 000 у.д.е. Третий вариант: возвращать в течении 5 лет ежегодно постнумерандо по CF = 21 000 у.д.е. Принятая годовая ставка доходности по финансовым операциям r = 0,2 постоянна и равна ставке дисконтирования (d = 0,2). Предлагается:

1)сравнить варианты в конце срока операции (через 5 лет);

2)сравнить варианты в настоящий момент времени (привести к сегодняшнему дню).

Решение

1.1. Сумма PV по первому варианту трансформируется (преобразуется) при

вложении под 20 % годовых в FV1,5 = 70 000 1,25 = 174 182,4 у.д.е. 1.2. Сумма FV2,5 = 150 000 не трансформируется

1.3. FV3,5 = 21 000 1,24+21 000 1,23 + 21 000 1,22 + 21 000 1,2 + 21 000 = 156

273,6 (у.д.е.)

1.4. Так как 150 000 < 156 273,6 < 174 182,4, то варианты располагаются по приоритетности (наименьшей стоимости) для заёмщика второй, затем, третий и, наконец, первый.

17

Для кредитора – наоборот, самый выгодный первый, затем третий и, наконец, второй.

2. Для приведения к настоящему моменту времени суммы второго и третьего вариантов дисконтируются по ежегодной ставке d = 0,2.

2.1 PV1=70 000 у.д.е. не изменяется.

2.2 2.3

Вывод о приоритетности сценариев не изменится т.е. останется прежним, т.к.

PV1 = 60 281,635 < PV3 = 62 802,852 < PV1 = 70 000.

Пример 4.8. Долг в сумме 250 000 рублей необходимо погасить за пять лет. Определить размер ежегодных выплат и составить план погашения долга исходя из постоянной процентной ставки 10 % годовых при условии: 1) долг погашается равномерными платежами в конце каждого года; 2) основная сумма долга погашается равномерными платежами постнумерандо, а проценты начисляются на непогашаемый остаток.

Решение. 1) Величина долга вычисляется по формуле – схема

ипотечно-аннуитетных расчётов.

В данном случае PV = 250 000 рублей r = 0,1, n = 5 лет.

План погашения долга представляем в таблице 3.1.

При составлении плана предполагается, что остаток долга на начало каждого года равен его значению на конец предыдущего года. Расчёты производятся

18

следующим образом: из постоянных расходов по займу (69 949,37 рублей) вычисляются процентные платежи (проценты) с остатка долга на начало соответствующего года (например, в первом году 250 000 0,1 = 25 000) и определяется погашаемая часть основного долга (например, в первом году 69 949,37 – 25 000 = 40 949,37). Последняя вычитается из остатка долга на начало года, давая его значение на конец года или начало следующего года.

Погашаемая часть основного долга за пятый год в точности равна остатку долга на начало года и полностью погашает задолжность.

2) Ежегодно погашаемая величина основной части долга составляет по условию 250 000:5 = 50 000 (рублей)

План погашения долга представлен в таблице 3.2.

Проценты начисляются на остаток долга на начало года в конце каждого года и основная сумма долга (50 000) рублей погашается в конце года, поэтому суммарные расходы по займу получаются сложением вышеуказанных платежей.

19

Задания для выполнения контрольных работ

Студент выбирает вариант каждого из 9 заданий по последней цифре зачётной книжки (шифра), причём к в задании последняя цифра зачётной книжки (номер варианта).

При выполнении задания студент должен привести необходимые ссылки на теоретический материал, пояснить применяемые схемы, методы, формулы.

После выполнения задания студент должен сделать выводы и прокомментировать полученные результаты.

Задание 1. Клиент вкладывает 30 000+1 000 к у.д.е. на четыре года и 146 + +10 к дней под 10 + к процентов годовых. Какая сумма будет на счёте этого клиента к концу указанного срока?

Задание 2. Некто вкладывает 500 000+10 000 к рублей на 7 лет под 10+к процентов годовых с условием возможного снятия в течении этого срока. Начиная с пятого года вкладчик снимает со своего счёта в начале каждого из оставшихся трёх лет по 120 000 + 1 000 к рублей. Какая сумма денег будет на счёте этого вкладчика после 7 лет?

Задание 3. Заёмщик может получить ссуду по одному из трёх вариантов: 1) на условиях ежемесячного начисления процентов из расчёта 16,8 + 0,2 к процентов годовых; 2) на условиях ежеквартального начисления процентов из расчёта 17,2+0,2 к процентов годовых; 3) на условиях полугодового начисления процентов из расчёта 17,8 + 0,2 к процентов годовых. Какой из вариантов более выгоден?

Задание 4. Необходимо рассчитать реальную годовую процентную ставку на предстоящий год с учётом следующих данных: номинальная годовая процентная ставка по опционам и фьючерским процентам на фондовой бирже на предстоящий год сложилась в размере 16+к процентов; прогнозируемый годовой темп инфляции составляет 5+0,2 к процентов.

Задание 5. Необходимо определить будущую стоимость вклада с учётом фактора риска, если первоначальная сумма вклада составляет 1 000 + 100 к у.д.е., безрисковая норма доходности на финансовом рынке составляет 10+к процентов в год, уровень премии за риск определён в размере 7+к процентов в год, а общий период размещения вклада составляет три года при начислении процентов один раз в год.

Задание 6. Взят кредит (ипотечная ссуда) на 15 лет в сумме PV = 3 000 000 + + 100 000 к рублей под 8+к процентов годовых, начисляемых на непогашенный

20