Материал: 5493

Эта модель применяется, как правило, для краткосрочных финансовых операций (со сроком до года). Если период считается в днях, то r делят на фактическое число дней в году (365 или 366) т.е. получают ежедневную ставку и умножают на число полных дней операции. Аналогично можно поступить, если счёт вести полугодиями, кварталами, месяцами.

2. Модель (схема) сложных процентов применяется (как правило) в долгосрочных финансовых операциях (со сроком более года), в ней – база наращения переменная (увеличивается в каждом периоде в результате реинвестирования генерированных в предыдущих периодах сумм): FVn = PV(1 + + r)n (2.2).

Очевидно, что первая модель в период до года даёт большой рост, чем вторая. А после года наоборот.

Если m – число начислений процентов в году по второй модели, то формула (2.2)

Процесс капитализации в этом случае ускоряется.

При m →∞ (непрерывная капитализация) из формулы (2.3), применив второй замечательный предел (см. общий курс математики), получаем:

, где е = 2,718 28… − основание натурального логарифма.

Если ставки наращения по годам меняются то формула (2.2)

1+rt, a rt – ставка в периоде t. Итак, процесс наращивания во времени приводит настоящие стоимости к будущим с нормой доходности r. Это прямая задача.

Проиллюстрируем вышесказанное примерами. Пример 2.1. Вложена сумма на 4 года.

1.PV = 1 000 у.д.е. n = 4 года i = 15% годовых постоянно. Вычислить суммы

вконце каждого года по схеме простых и сложных процентов.

Решение Схема простых процентов (применяется формула (2.1)).

FV1=1 000(1+0,15)=1 150 (у.д.е.).

FV2=1 000(1+0,15 2)=1 300 (у.д.е.).

FV3=1 000(1+0,15 3)=1 450 (у.д.е.).

6

FV4 =1 000(1+0,15 4)=1 600 (у.д.е.).

Схема сложных процентов (применяется формула (2.2)).

FV1=1 000(1+0,15)1= 1 150 (у.д.е.).

FV2=1 000(1+0,15)2= 1 322,5 (у.д.е.).

FV3=1 000(1+0,15)3= 1 520,8 (у.д.е.).

FV4 =1 000(1+0,15)4= 1 749,01 (у.д.е.).

Очевидно, что модель сложных процентов обеспечивает больший рост при t >1.

Пример 2.2. По условиям примера 2.1 рассмотреть начисление процентов в течение первого года по схеме сложных процентов а) по полугодиям; б) поквартально; в) помесячно; г) по дням.

Решение. Применяется формула (2.3)

Очевидно, что чем больше m (т.е. чем чаще начисляются проценты при прочих равных условиях), тех будущая стоимость будет больше.

Пример 2.3. Клиент вносит в банк сумму PV = 40 000 рублей на срок 3 года и 219 дней под 12 % годовых. Какая сумма денег будет у этого клиента к концу этого срока?

Решение. Поскольку срок смешанный и дробный, то общепринято общее число лет оценивать по модели сложных процентов, а оставшееся число дней по модели простых процентов, т.е. будущая сумма за этот период PV = 40 000(1 + + 0,12)3(1 + ) = 60 243,3 (рубля).

Пример 2.4. Некто планирует занять (взять) в одном банке 5 000 000 рублей на 10 лет под 14% годовых с оплатой в конце этого срока и вложить эту сумму сразу же в другой банк под 12 % на этот же срок. Оценить итог этой операции.

Решение. Так как заём производится по модели простых процентов, а вложение – по модели сложных процентов, то применяем формулы (2.1) и (2.2) и получаем итог этой операции

FV1,0 = −5 000 000(1 + 0,14 10) + 5 000 000(1 + 0,12)10 = −12 000 000 + 15 529 241= 3 529 241 (рублей) > 0 операция рентабельна.

Пример 2.5. Родители, заинтересованные в обеспечении материальной независимости (защищённости) ребёнка открывают счёт в банке и вкладывают

7

800 000 рублей на 15 лет под 10 % годовых с условием возможности снятия средств. Начиная с 11 года на обучение ребёнка в начале каждого года снимается 100 000 рублей. Какая сумма денег образуется на этом счёте к концу 15 года?

Решение. Применяем формулу 2.2, получаем по условию задачи следующую модель данной операции:

FV15=((((((800 000 1,110– 100 000)1,1 – 100 000)1,1−100 000)1,1− 100 000)1,1− − 100 000)1,1 = 800 000 1,115 – 100 000(1,15 + 1,14 + 1,13 + 1,12 + 1,1) = 800 000

1.115 − 100 000 ) = 3 341 798 – 10 000 11 0,610 51=3 341 798 − 671 561=

= 2 670 237 (руб).

Накопленная сумма достаточна (даже с учётом негативных факторов) для поддержки ребёнка, например вложение средств в ипотечное строительство.

Пример 2.6. Компания планирует купить оборудование, стоимость которого сегодня PV = 500 000 у.д.е. Какую сумму должна будет уплатить компания продавцу оборудования через (или за) три года, если принятая ставка ежегодной доходности r = 0,2 постоянна в течение всего срока при условиях: 1) оплата будет производиться по прошествии трёх лет одним платежом; 2) оплата будет производиться по полугодиям равными суммами (в конце каждого полугодия).

Расчёт оплаты следует производить исходя из того, что полученные сегодня (или в любой другой момент времени) средства продавец может вложить по ставке r = 0,2. Поэтому, применяя формулы (2.2) и (2.3), получаем:

1)FV3 = 500 000(1 + 0,2)3 = 864 000 у.д.е.

2)CF 1,1 1,22 + CF 1,22 + CF 1,1 1,2 + CF 1,2 + CF 1,1 + CF = 864 000→

CF==113 029, 8

в сумме, где CF – величина полугодового платежа;

FV2,3 = 113029,8 * 6=6781789.

Варианты (сценарии) оплаты 500 000 у.д.е. сегодня, 864 000 у.д.е. через три года и по 113 029,8 в конце каждого полугодия в течение трёх лет эквивалентны (т.е. стоимости их равновесны) с точки зрения временной стоимости денег.

Для сравнения различных схем наращения применяется годовая эффективная процентная ставка EPR (effective percentage rate), которая вычисляется по формуле (2.6) , где r – годовая процентная ставка, а m –

число начислений процентов в году по схеме сложных процентов. Годовая эффективная процентная ставка делает эквивалентным начисление процентов m раз в году по схеме сложных процентов с годовой ставкой r начислению

8

процентов один раз в год по эффективной ставке EPR. Поэтому её называют ещё ставкой сравнения.

Пример 2.7. Сравнить три варианта вложений средств:

1)при годовой ставке r1 = 0,10 (i1 = 10%) проценты начисляются два раза в год (по полугодиям);

2)при годовой ставке r2 = 0,096 (i2 = 9,6%) проценты начисляются четыре раза в год (поквартально);

3)при годовой ставке r3 = 0,084 (i3 = 8,4%) проценты начисляются двенадцать раза в год (помесячно);

Решение. Применяется формула (2.6)

Первый вариант самый выгодный для вложении, так как эффективная ставка EPR1=0,1025 больше всех остальных.

Концепция учёта негативных факторов (инфляции, риска, ликвидности и других) в финансовых операциях заключаются в необходимости реального отражения стоимости активов и денежных потоков, а также в обеспечении компенсации потерь доходов, вызываемых негативными факторами и процессами. Методический инструментарий следующий:

Iнорм = Iреал Iнегат (2.7), т.е. индекс номинальной (с учётом негативных факторов) доходности актива Iнорм равен произведению индекса реальной доходности Iреал и индекса негатива, объединяющего все негативные факторы. Таким образом, учёт негативных факторов производится на мультипликативной основе.

В частности, для учёта фактора инфляции получаем: 1+ rном= (1+ rреал)(1 +

Если с инфляцией одновременно учитывается риск, то из формулы (2.7) получим:

(2.1).

При анализе оценки финансовых операций применяется номинальная ставка, поэтому в формулах (2.1), (2.2), (2.3) , (2.4) r – есть номинальная годовая ставка, а в формуле (2.5) rt тоже номинальная годовая ставка в периоде t.

9

Пример 2.8. Реальная ставка доходности 25 % годовых, темп инфляции 10% в год. Вычислить номинальную годовую ставку.

Решение. Применяется формула Фишера (2.8)

rном = rреал + rинф + rреал rинф. Подставляя rреал = 0,25, rинф = 0,10, получим rном =

= 0,25 + 0,10 + 0,25 0,10 = 0,375 или iном = rном 100% = 37,5 %.

Пример 2.9. Определить реальную доходность операции ,если её номинальная доходность rнорм = 0,56, rриска = 0,20.

Решение. Реальная доходность rреал равна

или в процентах iреал = rреал 100% = 0,30 100% = 30%.

Пример 2.10. Оценить номинальную ставку доходности финансовой операции, если годовая ставка реальной доходности rреал = 0,4, годовая инфляция ожидается не менее 10%, а риск – не менее 5% в год.

Решение. Поскольку негативные факторы инфляция и риск накладываются друг на друга (мультипликативны), то, применяя формулу (2.7), получим:

Т. е. номинальная ставка доходности должна быть не меньше 0,617 или iном ≥

≥ 0,617 100% ≥ 61,7 %.

3. Дисконтирование

Процесс нахождения величины (стоимости) капитала на настоящий (сегодняшний, текущий) момент времени по её известному или предполагаемому значению в будущем называется дисконтированием.

Дисконтирование – это, по сути, зеркальное отражение наращения, обратная процессу наращения задача, в которой значение будущей величины FVn приводится к текущей величине PV с коэффициентом дисконтирования d.

математического дисконтирования по схеме простых (3.1) и сложных

(3.2) процентов, где d – коэффициент дисконтирования (как

правило, годовой). На практике величина d определяется альтернативной доходностью операции, ассоциированной с риском, инфляцией и другими факторами.

10