Материал: 5493

Если коэффициенты дисконтирования по годам различны, то из формулы

(2.5) получается формула (3.3) , где dt – ставка дисконтирования в

периоде t.

Из формулы (2.4) вытекает формула непрерывного дисконтирования

(3.4).

Однако абсолютное большинство финансовых операций носят дискретный (прерывный) характер, поэтому большинство финансовых рынков используют дискретное наращение и дисконтирование. Поэтому в дальнейшем изложении предполагается дискретный подход изложения и рассмотрения материала.

Пример 3.1. Купонная погашаемая облигация со сроком погашения 3 года и номинальной стоимостью PVном = 1000 у.д.е. продаётся сегодня по цене PVрын = = 950 у.д.е. Ставка ежегодного купонного дохода rкуп = 0,15 постоянна в течение 3 лет, ежегодная ставка дисконтирования d = 0,1 тоже постоянна. Выгодно ли покупать эту облигацию сегодня и какова абсолютная и относительная доходности этой операции?

Решение. По условию задачи ежегодный купонный доход CFt = 1 000 0,15 = = 150 у.д.е. владелец облигации будет получать в конце каждого из трёх лет, в конце 3-го года облигация погашается по номиналу. Вычисляем приведённую стоимость возвратного денежного потока, создаваемого этой облигацией

= → операция инвестирования в эту облигацию рентабельна. Абсолютная реальная доходность этой операции PV = PVвозв– PVрын = 1 124,34 –

– 950 = 174,34 (у.д.е.) Относительная реальная доходность rреал

или в процентах iреал = 0,183 5 100% = 18,35% за три года.

Пример 3.2. Актив (финансовый инструмент) имеет сегодня рыночную стоимость PVрын = 7 000 у.д.е. Он может генерировать в конце каждого квартала чистые денежные потоки CF1 = 1 000 у.д.е., CF2 и т.д. упущены. В конце года он продаётся по цене 2 800 у.д.е. Выгодно ли покупать его сегодня, если ежегодная ставка дисконтирования d = 0,24? Каковы абсолютная и относительная доходности этой операции?

Решение. Применяется формула 3.1 с поквартальной ставкой дисконтирования, равной . Ожидаемый возвратный поток,

генерируемый активом вместе с продажей, приведённый к настоящему моменту

11

времени таковы:

4.Основные кредитные схемы и виды кредитных операций

4.1.В основе любой заёмной (кредитной) операции лежит стремление получить доход. Абсолютная величина дохода, получаемого кредитором за передачу активов (денег) в долг, называется процентным платежом (процентными деньгами, процентами). Происхождение этих названий связано с тем, что величина платы за кредит определяется обычно как соответствующий процент (в математическом смысле) от суммы кредита (долга).

Плата за кредит может взиматься как в конце срока финансовой операции (постнумерандо), так и в его начале (авансовый процентный доход, пренумерандо). В первом случае проценты начисляются в конце срока исходя из величины предоставляемой суммы и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. Такой способ начисления процентов называется декурсивным. Во втором случае процентный доход приходуется авансом (выплачивается в начале срока финансовой операции), при этом должнику выдаётся сумма, уменьшенная на его величину, а возврату в конце срока подлежит лишь исходная сумма ссуды. Процентный доход, выплачиваемый таким образом, называется дисконтом (т.е. скидкой с суммы ссуды), а способ начисления процентов – антисипативным.

Вфинансовой практике декурсивный способ начисления процентов получил большее распространение (применение), поэтому термин «декурсивный» обычно опускают, говоря просто о проценте или о ссудном проценте (по умолчанию имея в виду декурсивный способ). При применении (использовании) антисипативного метода пользуются полным наименованием.

Пример 4.1. Берётся кредит в размере PV = 100 000 у.д.е. на 2 года под 15% годовых. Рассмотреть сценарии возвращения кредита и платы за кредит по декурсивному и антисипативному способам.

12

Решение. 1. По декурсивному способу будущая стоимость FV2 = 100 000 (1 + + 0,15 2) = 130 000 у.д.е. выплачивается по окончании срока операции (100 000 у.д.е. – основной долг и 30 000 у.д.е. – процентный платёж).

2. По антисипативному способу в начале операции заёмщик получает PV = = (100 000 – 100 000 0,15 2) = 100 000(1 – 0,15 2) = 70 000 у.д.е. (проценты 30 000

у.д.е приходуются в момент выдачи кредита, а на руки заёмщик получит 70 000 у.д.е). Возврату через 2 года подлежит сумма 100 000 у. д. е.

Пример 4.2. Ипотекой (ипотечной ссудой) называют специфическую ссуду для создания недвижимости, которая и является залогом ипотеки. Говорят, что ипотека – это аннуитет наоборот.

Ипотека (как правило), долгосрочная ссуда, которая погашается равными платежами через равные промежутки времени и проценты начисляются в момент погашения.

Классическая модель погашения ссуды имеет вид:

(4.1), где PV – величина ссуды, r –

постоянная ставка в периоде, n – число периодов, CF – величина постоянного ежепериодного погашения.

Пример 4.2. Взята ссуда (кредит) на 15 лет в сумме PV = – 4 000 000 рублей под 8 % годовых, начисляемых на непогашаемый остаток для покупки квартиры. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется: 1) составить модель погашения ссуды и вычислить величину годового платежа; 2) вычислить общую сумму платежа и величину процентного платежа за весь период; 3) сравнить данный вариант с вариантами, когда: а) ссуда вместе с процентами возвращается в конце действия кредитного договора; б) процентные платежи производятся ежегодно постнумерандо, а основная сумма долга возвращается в конце финансовой операции.

Решение. 1) Пусть CF – ежегодно возвращаемая сумма (ежегодный постоянный платёж). Тогда модель погашения ссуды имеет вид:

(применена формула 4.1);

2)общая сумма выплат за 15 лет FV15 = 467 318 15 = 7 009 770 (рублей). Процентные платежи составят 7 009 770 – 4 000 000 = 3 009 770 (рублей);

3)а) FV15 = 4 000 000(1 + 0,08 15) = 8 800 000 (рублей);

б) FV15,15 = 400 000 0,08 15 + 4 000 000 = 8 800 000 (рублей).

13

Очевидно, что первоначальный вариант выгодней и дешевле для заёмщика, чем 3(а) и 3(б), а вариант 3(б) выгодней по сравнению с 3(а) для заёмщика (легче мобилизировать ежегодные платежи), если нет варианта вложений с получением в конце 15 года суммы более 8 800 000 рублей.

Пример 4.3. По условию предыдущего примера (4.2) вычислить сумму ежеквартального платежа (платежи производятся 4 раза в год)

Решение

Платежи CF4;15 < CF/4, так как погашение и начисление процентов начинаются раньше и производятся чаще, поэтому это выгодней для заёмщика.

В данном примере ставка поквартального начисления rквар = r/4 получается делением годовой ставки на 4. Возможно при начислении процентов m раз в

.

При определении средней процентной ставки, используемой в финансовых расчётах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется

следующая формула

Длительность общего периода платежей, выраженная количеством (числом) его интервалов, по схеме сложных процентов определяется путём

логарифмирования формулы (2.2):

4.3. Важнейшим понятием финансовых операций является понятие аннуитета (финансовой ренты) представляющего собой частный случай однонаправленного денежного потока, элементы которого имеют место через равные промежутки времени (часто ежегодные). По направленности аннуитеты делятся на накопительные и возвратные, по продолжительности срочные, если временной интервал действия аннуитета ограничен, и бессрочные – в противном случае. Если элементы денежного потока одинаковы по величине, то аннуитет называют обыкновенным (простым).

14

В общем виде модель обыкновенного накопительного аннуитета пренумерандо имеет вид:

Применив формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии,

получим , где FVn – накопленная в будущем сумма

(за n периодов), CF вносимая в начале каждого периода постоянная сумма денег; r – постоянная ставка каждого периода; n – число периодов.

Модель обыкновенного аннуитета постнумерандо имеет вид FVn=CF(1+r)n−1+CF(1+r)n−2+…+CF(1+r)+CF, а формула вычисления будущей

стоимости такова: (4.6).

Модель возвратного срочного аннуитета постнумерандо имеет вид:

,

где PV – настоящая (приведённая) стоимость аннуитета; CFt – возвратная сумма в периоде t; d – ежепериодная постоянная ставка дисконтирования; n – число периодов срочного аннуитета. Если CFt = CF – постоянная величина ежепериодной возвратной суммы, то современная стоимость обыкновенного возвратного аннуитета:

.

При n→+

– современная стоимость бессрочного (вечного)

обыкновенного аннуитета.

Пример 4.3. Некто хочет накопить в пенсионном фонде средства на личном счёте для использования на пенсии. Для этого он создаёт накопительный аннуитет на срок 10 лет с помесячным вложением 10 000 рублей пренумерандо при ежемесячном начислении 1 процента по схеме сложенных процентов. Какая сумма денег будет на счёте этого клиента через 10 лет?

Решение. Применяемая формула (4.5)

Пример 4.4 Клиент хочет вложить определённую сумму денежных средств (например, в банк или инвестиционный фонд), которая позволит ему получать в течение последующих 20 лет ежегодно в конце каждого года 24 000 у.д.е. при установленной ставке доходности в размере 10 % годовых (т.е. коэффициент дисконтирования d = 0,10). Какую сумму должен вложить клиент в данный

15