Материал: 4539

Пример. Найти оптимальные смешанные стратегии игры, заданной

Сведем данную задачу к задаче линейного программирования. Найдем оптимальную стратегию игрока А – (S*A ):

f(x) = X1 + X2 min. X1 + 8X2 1,

10X1 + 4X2 1,

3X1 + 5X2 1,

X1 , X2 0.

отсюда

Найдем оптимальную стратегию игрока В – (S*B ):

g(y) = y1 + y2 + y3 max.

y1 + 10y2 + 3y3 1,

8y1 + 4y2 + 5y3 1, y1 , y2 , y3 0.

Таким образом, применяя свою первую чистую стратегию с вероятно-

стью 0,124 и вторую – с вероятностью 0,876, игрок А выигрывает величину

4,76. Игрок В, применяя свою вторую чистую стратегию с вероятностью 0,25

и третью – с вероятностью 0,75, проигрывает величину 4,76, иначе он проиг-

рывает больше.

Игра два на два (2 х 2)

Рассмотрим игру, в которой у игроков А и В по две стратегии. Платежная матрица имеет вид

20

А2 a21 a22

Рассмотрим случай, когда игра не имеет седловой точки.

Теорема 4. Пусть S*A и S*B – оптимальные смешанные стратегии игры с

n

а ij qj < ,

j 1

имеет место равенство pi = 0. А если pi > 0, то

n

а ij qj = .

j 1

ка В:

а11 q1 + а12 q2 = , а21 q1 + а22 q2 = ,

q1 + q2 = 1.

Рассмотрим первую систему. Вычитая из первого равенства второе, по-

лучая

(а11 - а12) p1 + (а21 - а22) p2 = 0.

21

Подставим P2 = 1 - P1, тогда

(а11 - а12) p1 + (а21 - а22) (1- p1 ) = 0,

отсюда оптимальная смешанная стратегия для игрока А – А*( p1, p2)

P1 = (а22 - а21)/( а11 - а12 + а22 - а21),

P2 = 1- P1 = (а11 - а12)/( а11 - а12 + а22 - а21).

цена игры

= ( а11 а22 - а21 а12)/ ( а11 - а12 + а22 - а21).

Рассуждая аналогично, для определения оптимальной стратегии игрока В получая

q1 = (а22 - а12)/( а11 - а12 + а22 - а21),

q2 = (а11 - а21)/( а11 - а12 + а22 - а21).

Задание по лабораторной работе Найти решение игровых ситуаций графически, аналитически и пред-

ставить игру в виде задачи линейного программирования.

Допустим в матричной игре два игрока имеют возможность выбора из нескольких вариантов решений. Аi (i 1 m) – стратегии игрока А,

Вj ( j 1 n) – стратегии игрока В. Значения выигрышей представлены в мат-

рицах по вариантам.

Практическое занятие 5

Вероятностные модели теории принятия решений. Рисковые ситуации

Цель работы: Изучение методов принятия решения на основе вероятност-

ных моделей. Рисковые ситуации.

22

В рамках исследуемой проблемной ситуации анализируемый субъект экономики как правило подвержен воздействию внешних факторов. При этом точные значения этих факторов (т.е. конкретное состояние внешней среды) заранее неизвестны. В этом случае лицо принимающее решение должно выявить возможные состояния внешней среды и оценить эффектив-

ность каждого из своих возможных решений в различных условиях. После чего необходимо выбрать предпочтительное решение. Если при этом извест-

ны вероятности состояний внешней среды, то такие условия называют усло-

виями риска, а если неизвестны – то неопределенности.

Этапы принятия решений в условиях риска или неопределенности:

1)Формирование цели принятия решения;

2)Построение экономико-математической модели задачи принятия решения (происходит так же, как и в случае определенности внешних факто-

ров);

3)Формирование множества альтернативных решений;

4)Выявление неопределенных внешних факторов, влияющих на дос-

тижение цели, формирование возможных состояний внешней среды;

5) Расчет эффективности вариантов решения при различных состояни-

ях внешней среды, формирование матрицы ценности альтернатив;

6)Оценка вероятности состояний внешней среды (если возможно);

7)Выбор предпочтительного варианта решения.

Матрица ценности альтернатив имеет вид: Таблица 1.

23

В этой матрице величина uij обозначает ценность i-го решения при

реализации j-го состояния внешней среды.

Для каждой альтернативы можно найти ее пессимистичную и оптимистичную оценки (соответственно наименьшее uimin и наибольшее значения

uimax в соответствующей строке матрицы).

Выбор решения в условиях неопределенности Для этого существует ряд критериев: максиминный критерий Вальда,

максимаксный критерий («оптимистический»), критерий Гурвица, критерий Лапласа.

Критерий Вальда соответствует пессимистической оценке: выбирается та альтернатива, для которой пессимистическая оценка наибольшая, т.е. мак-

Максимаксный критерий: выбирается альтернатива с наибольшей оп-

тимистической оценкой (лучшая из лучших).

Критерий Гурвица (взвешенный критерий): альтернативы оцениваются

оптимизма. Значение =0 соответствует пессимистичной оценке (т.е. крите-

рию Вальда), =1 соответствует оптимистичной оценке (т.е. максимаксному критерию). Промежуточные значения соответствуют взвешенному, т.е.

пессимистично-оптимистичному, взвешенному подходу. Задав фиксирован-

ное значение коэффициента оптимизма, выбирают альтернативу с наиболь-

шей оценкой.

Критерий Лапласа: альтернативы оцениваются с учетом всего диапа-

24