Материал: 33_Rezhimy_post_i_sin_toka_v_LETs_2014

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

В целом формируется так называемое линейное преобразование, в котором основную роль играют операции с комплексными числами.

При расчете электрических цепей используются комплексные амплитуды напряжения, тока, ЭДС и других представляющих интерес величин. При этом имеют место следующие соответствия:

Um sin t Um Ume j ;


Im sin t Im Ime j ;			(3.45)
E	sin t E	E e j .
	m	m
m	m	m

Для иллюстрации особенностей использования комплексных соотношений обратимся к схемам на рис. 3.7.

Для активно-индуктивной цепи (см. рис. 3.7, а) справедливо уравнение

(3.24):

ri L	di	u.	(3.46)
	dt

В соответствии с выражениями (3.44) и (3.45) представим уравнение (3.46) в комплексной форме, используя понятие комплексных амплитуд:

rIm j LIm Um.	(3.47)
Преобразуем уравнение (3.47) и получим равенство:
r j L Im Um	(3.48)
или
ZIm Um ,	(3.49)

где Z r j L r jxL – сопротивление цепи в комплексной форме, или комплексное сопротивление. Это сопротивление записывается также и в показательной или экспоненциальной форме:

Z r jxL	r2 xL2 e j arctg	xL	ze j ,
		r		(3.50)

где z	r2 x2 – установленное ранее полное сопротивление. Следовательно,
	L
полное сопротивление z является модулем комплексного		сопротивления Z;
φ – угол сдвига фаз между напряжением и током.
Появилась также величина
	j L jxL ,	(3.51)

которая называется индуктивным сопротивлением в комплексной форме.

Итогом решения задачи является комплексная амплитуда тока

I	m	Um	Ume j	Um	e j( ) I	m	e j .	(3.52)
			ze j
		Z		z

По комплексной амплитуде тока записывается мгновенное значение тока:

iIm sin t .

Вслучае цепи r, C (см. рис. 3.7, б) имеют силу соотношения:

ri uC u; uC C1 idt;

ri C1 idt u,

на основе которых формируется уравнение для комплексных амплитуд:

rIm 1 Im Um , j C

преобразуемое в выражение

(3.53)

(3.54)

(3.55)

ZIm Um ,

(3.56)

j arctg

где Z r

r j

r jxC r

xC e

j C

Здесь

снова

z r

2 x2

– полное

сопротивление

активно-емкостной

цепи; arctg

– угол сдвига фаз.

Комплексная амплитуда тока

Ume j

(3.57)

ze j

Параметр

в данном случае представляет емкостное

j C

сопротивление в комплексной форме.

В операциях с комплексными числами полезно понимание следующих соотношений:

e j90 cos90 j sin 90 j;
e j90 cos90 j sin 90 j;			(3.58)
1	1	e j90 j.
	e j90
j

Например, емкостное сопротивление было записано в двух формах:

jx	j	1	1	,	(3.59)

C		C	j C

т. е. использовалось вытекающее из системы уравнений (3.58) правило: 1j j .

Равенство j e j90 показывает, что умножение комплекса на j определяет поворот соответствующего этому комплексному числу вектора на 90 º в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. Умножению наj e j90 , наоборот, соответствует поворот вектора на 90º по часовой стрелке.

3.4. Действующие значения синусоидальных напряжения и тока

Математически действующее значение функции представляет собой ее среднеквадратичное значение:

1 T

F f 2 (t)dt . (3.60)

T 0

Аналогично выражаются и действующие значения электрических величин: 87


	1			T
	1			u	2
U		T		u		(t)dt ;
				0			(3.61)


	1		T
			T
I				i2 (t)dt ,
I				i2 (t)dt ,
	T		0

где u, i – мгновенные значения напряжения, тока; T – период функции.

Пусть, например, напряжение представляется в виде u Um sin t . Подстановка этой функции в уравнения (3.61) приводит к уравнению:

Um2

Um2 sin2 t dt

1 cos 2 t dt

(3.62)

2 T

dt cos 2 tdt

Второй интеграл под корнем в формуле (3.62) равен нулю как определенный интеграл от косинусоидальной функции на целом числе периодов.

В итоге действующее значение меньше амплитудного в 2 раз. Полученный результат справедлив для действующего значения любой

физической величины, изменяющейся по синусоидальному закону:

;

(3.63)

Действующие значения электрических величин широко используются в электротехнике, поскольку тепловое действие тока, силы взаимодействия контуров с токами, электромагнитные моменты электрических машин и ряда силовых электромагнитных устройств переменного тока обусловлены именно действующими значениями тока.

На щитках электрических машин и аппаратов переменного тока в качестве номинальных, как правило, указываются действующие значения напряжения и тока. Измерительные приборы электромагнитной и электродинамической систем измеряют действующие значения соответствующих величин.

При расчете электрических цепей синусоидального тока широко исполь-

зуются понятия комплексных действующих значений, или комплексов на-

пряжений и токов. Последние, как и действующие значения (3.63), отличают-

ся от комплексных амплитуд в 2 раз:

U		U	m		;
U					;
	2
	2

	Im
I	Im			;		(3.64)

	2
	2
		E

3.5.Комплексные соотношения для трехэлементных электрических цепей

Вкачестве первого представителя таких цепей рассмотрим схему с последовательным соединением элементов r, L и С (рис. 3.11, а). Эта схема одно-

контурная, поэтому записываем уравнение для мгновенных значений по второму закону Кирхгофа: mE

ur uL uC u

или
ri L		di				1	idt u.
ri L							idt u.
		dt				C
Пусть
u U			m		sin t ;
			m
i I	m			sin t .
	m

(3.65)

(3.66)

(3.67)

Условимся использовать запись по комплексным действующим значениям, которые в данном случае имеют вид:

Источник: https://studfile.net/preview/16442516/

Смотрите также:

«Характеристика объектов коммерческой деятельности в торговле»
1253
1310
1846
2448
2448
25.05.20 г. Расчёт срока окупаемости
3_Pravookhranitelnye_organy_otveta_na_65_vopro
3244
3631