Материал: 10_Razdel_6

.

Данные соотношения показывают, что последовательность должна быть сходящейся, сумма ее элементов является неограниченной, а сумма квадратов элементов – ограниченная величина.

Наиболее простым вариантом такой последовательности является гармонический ряд

, (6.17)

который и применяется в дальнейшем.

С учетом (6.17) рекуррентные соотношения (6.16) принимают вид

, , (6.18)

а для каждой координаты вектора E_i соотношения представляются как

, . (6.19)

Выражения (6.18) и (6.19) позволяют формировать изображение на последующем шаге через это же изображение на предыдущем шаге и очередной обучающий образ из выборки (6.5). Все алгебраические операции, которые предусмотрены в выражениях (6.18) и (6.19), определены аксиоматикой евклидовых пространств.

В качестве вектора начального приближения используется произвольный обучающий образ из выборки (6.5) после его G-преобразования:

. (6.20)

Выражение (6.20) реализует первый шаг обучающей процедуры, соотношения (6.18) применяются со второго шага. Поэтому в (6.17) и не указан первый элемент гармонического ряда – единица. Известно [7], что исключение из ряда любого конечного числа элементов на его сходимость или расходимость не оказывает никакого влияния. Следовательно, исключение единицы не влияет на свойства гармонического ряда.

Следует подчеркнуть, что на множестве всех G-преобразованных элементов пространства Y порождается новое евклидово пространство . В нем также выделяются частично пересекающиеся между собой области . Множество

построенных изображений содержится именно в данном пространстве: .

6.4. Обучающая процедура на основе ортогонального тригонометрического базиса

Возникает вопрос о формировании ортогональной системы функций (6.11), которая была бы применима для построения изображений отказов в условиях первого варианта множественной определенности информации о техническом состоянии системы (известны диапазоны (6.1) изменения диагностических параметров для всех отказов). Рядом достоинств обладает подход, который базируется на применении ортогонального тригонометрического базиса в пространстве непрерывных функций, квадратично интегрируемых по Риману [9]:

. (6.21)

где R – множество вещественных чисел.

Начальные элементы этого базиса принимаются в качестве основы построения системы функций (6.11). Данная система будет ортогональна, если базисная функция g_r(Y) задается следующими соотношениями [13, 14]:

(6.22)

где  – дельта-функция (символ Кронекера).

Ортогональность системы (6.11) следует из того, что каждая функция (6.22) определяется только одним элементом базиса (6.21). Влияние других элементов исключается введением в соотношения (6.22) символа Кронекера.

Пример 6.1. Выполнить G-преобразование наблюдаемого состояния

. (6.23)

Поскольку вектор (6.23) имеет шесть координат ( ), ортогональная система (6.11) принимает вид

. (6.24)

Так как n четно, в соответствии с выражением (6.22) коэффициент l изменяется от 1 до 3: . Координатные функции вектора (6.24) определяются следующим образом:

; ;

; ; ; .

Тогда

.

▲

Тригонометрические функции в выражении (6.22) ограничивают значения координат интервалом . Ограниченность координат значительно упрощает алгоритмическую реализацию процесса построения изображений, а также вычислительные операции при диагностировании.

Как уже отмечалось выше, на множестве G-преобразованных элементов пространства Y порождается новое евклидово пространство . В случае использования базиса (6.21) для построения системы функций (6.11) пространство будет замкнутым и ограниченным. Каждая его координата принимает значения из интервала на вещественной оси.

При неограниченном увеличении числа шагов ( ) достигается сходимость процесса обучения к оптимальному вектору :

, (6.25)

где – расстояние в пространстве между векторами E_i(k) и .

Ранее указывалось, что оптимальным изображением является такой вектор , при котором функционал (6.13) принимает минимальное значение. Учитывая, что в структуре данного функционала в дальнейшем используется функция (6.15), условие его минимума запишется как

. (6.26)

Также ранее отмечалось [см.(6.10)], что вектор отыскивается в пространстве . На данном этапе очевидно, что этот вектор формируется на основе G-преобразованных элементов области и, следовательно, принадлежит области . Указанный факт отражен в (6.26), а поскольку , это является существенной конкретизацией области определения функционала .

Одной из частных реализаций экстремума (6.26) является минимум суммарного расстояния между оптимальным изображением и всеми элементами области :

. (6.27)

Соотношения (6.25) – (6.27) отражают теоретически возможный результат обучения. Очевидно, что в конкретных алгоритмах количество шагов при построении изображений ограничено объемом выборки (6.5). На заключительном шаге обучения рекуррентные соотношения (6.18) принимают вид:

, . (6.28)

Поэтому изображения E_i, полученные в результате заключительного шага (6.28), будут в общем случае отличаться от . Но в силу того, что обучающая выборка исчерпана, принимается

. (6.29)

В отдельных случаях объем обучающей выборки может оказаться достаточным для продолжения обучения до выполнения условий насыщения. Указанные условия задаются различными способами. Ниже рассматриваются два таких способа [18].

В первом из них процедура обучения заканчивается, когда максимальное различие между одноименными координатами изображения E_i на предыдущем и последующем шагах не превышает предельно допустимого значения:

, , , , (6.30)

где – модуль выражения.

Второй способ заключается в задании предельно допустимого расстояния в пространстве между векторами изображения на предыдущем и последующем шагах обучения:

, , , (6.31)

где .

Величины а₁ и а₂ в выражениях (6.30) и (6.31) выбираются исходя из требований решаемой задачи. Чем они меньше, тем точнее изображения описывают свойства соответствующих отказов системы. При выполнении условия (6.30) или (6.31) принимается, что

. (6.32)

Пример 6.2. Пусть наблюдаемое состояние системы определяется вектором

. (6.33)

Известны диапазоны изменения диагностических параметров (координат вектора (6.33)) для всех отказов, в том числе i-го отказа:

, , , (6.34)