Материал: 10
Действуем по той же схеме, что в примере 4.
1-й
шаг. Проверяем
точку
:
а)
,
поскольку слева от
функция постоянна и равна 0;
б)
(
– чётная функция).
Пределы совпадают, но при функция по условию не определена, и получается, что – точка устранимого разрыва.
2-й
шаг. Проверяем
точку
:
а)
;
б)
– значение функции не зависит от
переменной.
Пределы различны:
,
точка
– точка неустранимого разрыва 1-го рода.
Ответ: – точка устранимого разрыва, – точка неустранимого разрыва 1-го рода, в остальных точках функция непрерывна.
Пример 6.
Непрерывна ли функция
?
Функция
определена при
,
поэтому условие
превращается в условие
.
С другой стороны,
функция
определена при
,
т.е. при
.
Значит, условие
превращается в условие
.
Получается, что
должно выполняться условие
,
и область определения всей функции –
отрезок
.
Сами по себе функции и элементарны и потому непрерывны во всех точках, в которых определены – в частности, и при .
Остаётся проверить,
что происходит в точке
:
а)
;
б)
.
Поскольку
,
смотрим, определена ли функция в точке
.
Да, 1-е неравенство – нестрогое относительно
,
и этого достаточно.
Ответ: функция определена на отрезке и непрерывна на нём.
Более сложные случаи, когда одна из составляющих функций неэлементарна или не определена в какой-либо точке своего отрезка, выходят за рамки пособия.
НФ1. Постройте графики функций. Обратите внимание, определена ли функция в той точке, в которой переопределяется, и если да – каково значение функции (слово «если» в определении функции для краткости пропущено):
1) а)
б)
в)
г)
2) а)
б)
в)
г)
3) а)
б)
в)
г)
4) а)
б)
в)
г)
Пример 7.
Пусть
.
Тогда на участке
строим горизонтальную прямую
,
а на участке
строим горизонтальную прямую
.
При этом точка с координатами
«выколота», а точка
«закрашена». В точке
получается разрыв 1-го рода («скачок»),
и
.
НФ2. Исследуйте на непрерывность функции, по-разному определённые на 3-х интервалах. Постройте графики:
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
3) а)
б)
в)
г)
д)
е)
Пример 8.
Пусть
.
На участке
строим прямую
,
для чего находим
и
.
Соединяем точки
и
отрезком. Сами точки не включаем,
поскольку при
и
функция по условию не определена.
На участке
и
обводим ось OX
(на ней
),
однако точки
и
«выколоты». В точке
получаем устранимый разрыв, а в точке
– разрыв 1-го рода («скачок»).
НФ3. Постройте графики функций и убедитесь в их непрерывности:
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
НФ4. Убедитесь в непрерывности функций и постройте их графики:
1) а)
б)
в)
2 а)
б)
в)
3) а)
б)
в)
НФ5. Постройте графики функций. Обратите внимание на непрерывность:
1) а)
б)
в)
