Материал: 10
а)
.
б)
;
Ответ: разрыв 2-го рода в точках и . В 1-й точке предел слева равен , предел справа равен 0; во 2-й точке – всё наоборот.
НФ11. Исследуйте функции на непрерывность, покажите схематично их поведение вблизи точек разрыва:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
.
НФ12. Задание то же, что в НФ11:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
.
НФ13. Задание то же, что в НФ11:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
.
Пример 21.
Пусть предложено выяснить, как функция
ведёт себя в точках разрыва.
Распространённая
ошибка – решая уравнение
и считая, что точки разрыва обязаны
быть, раз о них речь в условии, взять
.
На самом деле
а) уравнение корней не имеет;
б) соответственно
знаменатель дроби
в 0 не обращается;
в) поэтому дробь определена при любых значениях x;
г) тогда, поскольку 3 можно возвести в любую степень, вся функция также определена при любых значениях x.
Никаких точек разрыва нет, функция непрерывна на всей числовой оси.
Пример 22.
Исследуем на непрерывность функцию
.
Функция
определена на отрезке
.
Значит, должно быть выполнено неравенство
,
или
.
При этом
а) неравенство
выполнено при любом действительном x;
б) неравенство
выполнено только при
.
Тем самым вся функция определена в единственной точке . Пределы слева и справа не имеют смысла.
Пример 23.
Исследуем на непрерывность функцию
.
Должно выполняться
неравенство
или, что равносильно,
.
При этом
а) неравенство
выполнено при любом действительном x;
б) неравенство
выполнено только при
.
Поскольку
и
не определены, в 1-й точке функция
непрерывна справа, а во 2-й – слева. На
интервале
функция непрерывна.