Материал: 10
4) а)
; б)
; в)
; г)
;
5) а)
; б)
;
в)
; г)
.
Пример 3. Простая подстановка показывает, что
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
ПР4. Проверьте, что указанные пределы равны бесконечности:
1) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
Пример 4. Поскольку знаменатель равен 0, то
а)
;
б)
;
в)
.
ПР5. Раскройте
неопределённость
,
разложив дробь на множители-скобки и
сократив одинаковые скобки в числителе
и в знаменателе:
1) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
4) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
Замечание 1. Вам понадобятся формулы
;
;
.
Сумма квадратов
на действительные множители не
раскладывается.
Пример 5.
.
Также можно было
вынести за скобки числа 10 и 25 и сократить
на
.
Замечание 2. Обратите внимание, что попытка подставить число в первоначальную дробь берётся в скобки как приводящая к неопределённости (также заключаемой в скобки). Этим подчёркивается, что арифметическое выражение, взятое в скобки, не имеет смысла и потому не равно самому пределу. В то время как предел равен конкретному числу, что и выясняется при решении.
Замечание 3. Скобки при появлении необычных ситуаций ставят, чтобы отличать последние от бессмысленных выражений. Например,
– деление одной бесконечно малой величины на другую;
– деление числа 1 на бесконечно малую
величину;
и
– действия или величины, противоречащие
основам математики.
Пример 6.
.
Пределы дробно-рациональных функций с квадратичными выражениями
В случае неопределённости следует разложить квадратичное выражение на множители. Для этого можно
а)
воспользоваться тождеством
,
где
и
– корни уравнения
,
найденные по формуле
;
б)
учесть, что, когда
,
то
– один из корней, и другой корень
можно найти по теореме Виета, например,
из равенства
,
где
;
в)
применить равенство
,
где
.
Пример 7.
(решили уравнения
и
и применили 1-й способ).
Пример 8.
.
В уравнении
свободный коэффициент –10 разделили на
коэффициент, стоящий перед
(число 4). Результат разделили на известный
корень 2. Получили 2-й корень
.