Материал: 10
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
;
4) а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
Пример 14.
.
Пример 15.
.
Пример 16.
.
ПР12. Умножьте числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю, а затем – на выражение, сопряжённое к знаменателю. Сократив скобки, раскройте неопределённость :
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
3) а)
; б)
; в)
;
4) а)
; б)
; в)
.
Пример 17. Умножим, чтобы получить разность квадратов:
.
Пример 18. Так же, как в примере 17,
.
Иррациональные
пределы при
в случае неопределённости
находят подобно рациональным, при помощи
старших степеней, а в случае неопределённости
сводят её к
при помощи сопряжённого выражения.
Тригонометрические пределы. Первый замечательный предел
ПР13. Найдите тригонометрические пределы простой подстановкой:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
;
д)
.
Пример 19. Легко видеть, что
а)
;
б)
.
Предел
помогает, если при вычислении
тригонометрических функций получается
неопределённость
.
Оказывается, если при
функция
,
то выполнено приближённое равенство
,
и все 4 функции примерно равны собственному аргументу. Тем самым, если аргумент , указанные функции являются эквивалентными бесконечно малыми (предел их соотношения равен 1).
Так,
,
,
поскольку
.
Как применить это при вычислении
пределов, показано в примерах.
ПР14. Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно малых величин:
1)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
2)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
Пример 20. Если заменить функции собственным аргументом, то
а)
;
б)
;
в)
.
ПР15.
Раскройте неопределённость
при помощи эквивалентных бесконечно
малых и тождества
:
1) а)
; б)
; в)
; г)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
.