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Texte 7.

L'apport d’Evariste Galois.

Évariste Galois, né le 25 octobre 1822 à Bourg-la-Reine, mort le 31 mai 1832 à Paris , est un mathématicien français, qui a donné son nom à une branche des mathématiques, la théorie de Galois. Mort à la suite d'un duel à l'âge de vingt ans, il laisse un manuscrit élaboré trois ans plus tôt, dans lequel il établit qu'une équation algébrique est résoluble par radicaux si et seulement si le groupe de permutation de ses racines a une certaine structure, qu'Emil Artin appellera justement résoluble. Son Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, publié par Joseph Liouville quatorze ans après sa mort, a été considéré par ses successeurs, en particulier Sophus Lie, comme le déclencheur du point de vue structural et méthodologique des mathématiques modernes. Républicain radical , il prit une part active aux événements politiques. Les démêlés de Galois avec les autorités, tant scientifiques que politiques, les zones d'ombre entourant sa mort prématurée, contrastant avec l'importance désormais reconnue de ses travaux, ont contribué à en faire l'incarnation du génie romantique malheureux et d'une jeunesse prometteuse et mal aimée. Il a été célébré en octobre 2011 à l'occasion du bicentenaire de sa naissance. Galois a travaillé classiquement, à la fois dans la continuation de et en opposition à ses maîtres, sur le domaine qui faisait à son époque l'objet principal de l'intérêt des mathématiciens, la construction des solutions des équations. S'il avait bien conscience de la nécessité de libérer l'enseignement et la recherche de méthodes empiriques et de la possible portée future de ses travaux, la brièveté de sa vie ne lui a pas donné le bonheur de dépasser ce domaine restreint. Sa recherche a porté presque exclusivement sur les caractéristiques qu'une équation algébrique quelconque doit avoir pour que ses solutions puissent être calculées, par des opérateurs simples, à partir de ses coefficients, c'est-à-dire s'il peut exister une méthode de résolution de cette équation à partir des seuls paramètres de celle-ci. Cependant, pour élaborer une méthode de résolution quasi complète, il a dû abandonner le mode de raisonnement des méthodes de calculs antérieures. À la recherche plus ou moins empirique d'une correspondance de la forme de l'équation avec une méthode connue, il a substitué l'étude a priori de la forme des solutions de cette équation, la résolubilité. Son œuvre clôturait ainsi vingt cinq siècles d'accumulation de méthodes de résolution des équations, de plus en plus remarquables ou plus générales, et ouvrait la voie qu'empruntera Felix Klein avec son programme d’Erlangen d'une géométrisation de l'algèbre ou d'une algébrisation de la géométrie c'est-à-dire d'une unification des mathématiques.

Vocabulaire

Le mathématicien – математик

L’équation algébrique – алгебраическое уравнение

résoluble par radicaux – решать с помощью радикалов

le groupe de permutation – группа перестановок

la résolubilité – решаемость

résoluble – решаемый

résoudre – решать

travailler dans la continuation de…. –работать в продолжении ч-л, к-л

travailler en opposition à…. – работать в противоположностьч-л, к-л

des solutions des équations – решения уравнений

le mode de raisonnement – способ решения

les calculs mathématiques – математический расчет

une unification des mathématiques – объединение математики

l’apport – вклад

Répondez aux questions :

1.Qui est Évariste Galois ?

2.Qu’est ce que c’est la théorie de Galois ?

3. Est’ce qu’il est mort à la suite d'un duel à l'âge de vingt ?

4. Qu’est ce qu’il établit dans son un manuscrit élaboré ?

5. Comment son manuscrit a été considéré- t-elle par ses successeurs ?

6.Quelles idées politiques avait Galois ?

7.Est-ce que Galois politiques prit une part active aux événements ?

8. Quelle date on a célébré en France en 2011 ?

9. Dans quel domaine des mathématiques a travaillé Galois ?

10. Est-ce que la génie de Galois a été reconnue ?

2. Faites attention à la traduction du mot ,,radical” et aux mots de même famille :

Radical est un mot provenant du latin tardif radicalis et du latin radix signifiant « racine » qui peut avoir plusieurs significations :

1. le radical en mathématiques - радикал –

un symbole exprimant l'extraction d'une racine d’un nombre;

le radical d’un entier, qui se généralise en la notion de radical d’un idéal,en théorie des anneaux communicatifs; le radical de Jacobson d'un anneau est l'intersection de ses idéaux maximaux.

2. le radical en politique–радикал . En politique, un radical est un partisan du radicalisme ou un membre du parti radical. Par ex : les radicaux de gauche ; républicain radical .

3. En chimie, le terme est utilisé en deux sens proches mais distincts : On parle de radical ou radical libre pour désigner un atome ou une molécule qui possède un électron non-apparié.

4. En lingustique, un radical est la plus petite unité lexicale. Chaque verbe possède un radical ou une racine.

3. Remplacez les points par les préposions qui conviennent :

1.Evariste Galois grandit ....une famille aux traditions républicaines.

2.Galois met ... évidence l’impoprtance ...ce qu’ilappelle le groupe de l’équation.

3. Il montre que la difficulté....la résolution ... une équation donnée n’est pas mesurée ... son degré mais ...la nature...son groupe.

4. Le génie ....Galois n’a pas été reconnu...sa vie , les oeuvres mathématiques...ce jeune homme mort... vingt ans n’ont été découvertes que longtemps ...sa mort.

4. Donnez les synonymes des mots suivants :

Les travaux – Désormais –

Les autorités – Les maitres –

A partir de –

Texte supplémentaire (deuzième partie)

Traduisez à l’aide du dictionnaire

L'image légendaire d'Évariste Galois.

Le ressentiment de Galois a pu être présenté par certains auteurs comme une réelle opposition des mathématiciens de son époque à ses travaux novateurs.En marge de la proposition II dans le mémoire de 1830 est mentionnée la phrase « Je n'ai pas le temps ». Cette phrase a été interprétée par Auguste Chevalier comme la preuve d'une révision du mémoire effectuée par Galois la veille du duel. Il confirma cette thèse par une correction manuscrite de la proposition III, accompagnée de la date 1832. D'autres ont repris et exagéré cette interprétation. Selon Eric Temple Bell, Évariste Galois aurait rédigé ses travaux sur la résolution d'équations polynomiales par radicaux la veille de sa mort et n'aurait pas eu le temps de donner les détails de la démonstration. Mais « les élucubrations et autres broderies que Bell et al. ont ajoutées sont plus significatives de l'image que se forme le public de Galois, que de Galois lui-même ».Il est vrai néanmoins que les circonstances exactes du duel restent « fort obscures ». Différentes hypothèses ont été formulées : certains ont pu l'interpréter comme un duel entre rivaux, un suicide romantique, un complot de la police secrète, qui aurait organisé le duel, un règlement de compte entre révolutionnaires, voire un suicide orchestré à des fins politiques. Mais la thèse la plus probable est celle d'un « duel imbécile entre amis » (les duels étaient usuels à l'époque).Dans sa dernière lettre, Galois mentionna : « Gardez mon souvenir, puisque le sort ne m'a pas donné assez de vie pour que la patrie sache mon nom. »

TEXTE 8.

Le théorème de Pythagore

Pythagore était un mathématicien grec qui a vécu entre 570 et 495 avant JC. Il a enseigné le théorème que l'histoire a attaché à son nom mais cette règle mathématique était déjà connue par les plus importantes civilisations de l'antiquité (sous une forme ou sous une autre). Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle  : le carré de la longueur de l’ hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Il est nommé d’après Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et, même si les mathématiciens grecs en connaissaient probablement une démonstration avant Euclide, auteur dans ses Eléments de la plus ancienne qui nous soit parvenue, rien ne permet de l'attribuer à Pythagore. Par ailleurs le résultat a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures. Les premières démonstrations historiques reposent en général sur des méthodes de calcul d’aire par découpage et déplacement de figures géométriques. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème.

Le côté opposé à l'angle droit, ici

La figure

nommé "a", est appelé hypoténuse. Les deux autres côtés sont les cathètes.

Le théorème de Pythagore peut s'exprimer de la façon suivante :

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des cathètes.

Pour la figure ci-contre, cela nous donne : c² = a² + b².

Grâce à ce théorème, nous obtenons une formule pour retrouver chaque côté à partir des deux autres :

c vaut la racine carrée de (a² + b²).

a vaut la racine carrée de (c² - b²).

b vaut la racine carrée de (c² - b²).

Réciproquement, si un triangle respecte l'une de ces trois formules, c'est qu'il est rectangle .

On peut aussi énoncer le théorème de Pythagore en affirmant qu'un triangle est rectangle s'il vérifie cette égalité.