Курсовая работа (т): Золотий переріз

Золотий переріз

Вступ

Актуальність теми. Йоганн Кеплер говорив, що геометрія володіє двома скарбами: теоремою Піфагора і золотим перерізом. Про теорему Піфагора чув кожен, а про золотий переріз - далеко не всі.

Із давніх-давен люди намагалися пізнати світ через пошук гармонії і досконалості. У зв'язку з цим виникає інтерес до золотого перерізу, який відіграв у розвитку людської культури не меншу роль, ніж число р, яке лежить в основі тригонометрії. Оцінюючи роль золотого перерізу в розвитку давньогрецької культури, геніальний російський філософ Олексій Лосєв якось сказав: «З погляду Платона, та і взагалі з погляду всієї античної космології, світ є якесь пропорційне ціле, таке, що підкоряється закону гармонійного поділу - золотого перерізу» [3].

Із золотим перерізом тісно пов'язано інше математичне відкриття, зроблене в XIII столітті видатним італійським математиком Леонардо Пізано (по прізвиську Фібоначчі). Йдеться про так звані числа Фібоначчі, які пізніше були вибрані предметом математичного дослідження групою американських математиків.

Піраміда Хеопса, скульптурні і архітектурні пам'ятники грецької культури і епохи Ренесансу, неперевершена «Джоконда» Леонардо да Вінчі, картини Рафаеля, Шишкіна і Костянтина Васильова, етюди Шопена, музика Бетховена, Чайковського і Белли Барток, «Модулор» Корбюз’є, соснові шишки, кактуси, ананаси, морські зірки і раковини, Єгипетський календар - ось далеко не повний перелік «творів» природи, науки і мистецтва, наповнених чудовою гармонією, в основі якої лежить золотий переріз!

Золотий переріз займає значне місце в сучасних дослідженнях живої і неживої природи. Яскраві відкриття сучасної науки - квазікристали Шехтмана та інші сучасні наукові відкриття, засновані на золотому перерізі, поза сумнівом мають «стратегічне» значення для розвитку сучасної науки. Іншими словами, в даний час неможливо уявити собі подальший розвиток математичної науки та наук про природу без золотого перерізу. Це і зумовило вибір теми курсового дослідження «Золотий переріз».

Мета дослідження - провести огляд історії виникнення золотого перерізу, з’ясувати його математичну суть та роль у сучасному житті.

Відповідно до мети дослідження були сформульовані такі завдання:

1) на основі аналізу наукової літератури з’ясувати сутність золотого перерізу;

)        навести приклади використання золотого перерізу в математиці;

)        з’ясувати місце і роль золотого перерізу в оточуючому світі.

Об’єкт дослідження - поділ відрізка в заданому відношенні.

Предмет дослідження - золотий переріз.

Для розв’язання поставлених завдань використано такі теоретичні методи дослідження: системний аналіз наукової літератури з проблеми дослідження, порівняння, аналогія, узагальнення.

Структура роботи. Курсова робота складається із вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел і додатків. Основний зміст роботи викладений на 27 сторінках.

1. Сутність золотого перерізу

.1 Історія виникнення золотого перерізу

Прийнято вважати, що поняття про золотий переріз увів Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI ст. до н.е.). Але є припущення, що Піфагор своє знання золотого перерізу запозичив у єгиптян і вавилонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого перерізу при їх створенні. Французький архітектор Ле Корбюзьє знайшов, що в рельєфі з храму фараона Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого перерізу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких зафіксовані пропорції золотого перерізу.

Відомо, що греки були великими майстрами геометрії. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора і діагональ цього квадрата були підставою для побудови динамічних прямокутників (рис. 1.1) [3, с. 25].

Рис. 1.1

Платон (427 - 347 рр. до н.е.) також знав про золотий переріз. Його діалог «Тімей» присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого перерізу.

Досить цікавою архітектурною пам’яткою є храм Парфенон.

Якщо зробити розподіл Парфенона по «золотому перерізу», то отримаємо ті чи інші виступи фасаду. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого перерізу (рис..1.2) [4, с. 59].

Рис. 1.2

В античній літературі золотий переріз вперше згадується в «Началах» Евкліда. У другій книзі «Начал» дається геометрична побудова золотого перерізу. Після Евкліда дослідженням золотого перерізу займалися Гіпсікл. (II.ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та інші. У середньовічній Європі перші знання про золотий переріз здобули в арабських перекладах «Начал» Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III ст.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого перерізу старанно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки посвяченим.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого перерізу серед учених і художників у зв'язку з його застосуванням, як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі. Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що в італійських художників великий емпіричний досвід, але брак знань. Він почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Луки Пачолі, і Леонардо залишив свій задум. На думку сучасників та істориків, Лука Пачолі був справжнім світилом, найкращим математиком Італії в період між Фібоначчі і Галілеєм.

Лука Пачолі прекрасно розумів значення науки для мистецтва. У 1496 році на запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро у той час працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі «Божественна пропорція» з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Серед багатьох переваг золотої пропорції чернець Лука Пачолі не забув назвати і її «божественну суть» як вираження божественної триєдності: бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок - бога духу святого).

Леонардо да Вінчі багато уваги приділяв вивченню золотого перерізу. Він робив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з відношеннями сторін у золотому поділі. Тому він дав цьому поділу назву золотий переріз.

У той же час на півночі Європи, в Німеччині, над тими ж проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить нариси до першого варіанта трактату про пропорції. Дюрер пише: «Необхідно, щоб той, хто що-небудь уміє, навчив цього інших, які цього потребують. Це я і намірився зробити» [3, с. 11].

Альбрехт Дюрер детально розробляв теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зріст людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - устами тощо. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося на академічний канон. Та з часом наука дещо занепала, внаслідок чого про золотий переріз забули. Знову «відкрито» золотий переріз було в середині XIX століття. У 1855 р. німецький дослідник золотого перерізу професор Цейзинг опублікував свою працю «Естетичні дослідження». Він оголосив пропорцію золотого перерізу універсальною для всіх явищ природи і мистецтва. У Цейзинга були численні послідовники, але були й противники, які оголосили його вчення про пропорції «математичною естетикою» [12, с. 12].

Дослідження золотого перерізу продовжуються і в наш час.

1.2 Відношення золотого перерізу

Золотий переріз (золота пропорція) - пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як більша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього (рис. 1.3) [8, с. 564].

 або  (1)

Рис. 1.3

Практичне знайомство із золотим перерізом починається з поділу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля і лінійки (рис. 1.4).

Рис. 1.4

У точку  опустили перпендикуляр, рівний половині . Отримана точка  з'єднується лінією з точкою . На отриманій лінії відкладаємо відрізок , що закінчується точкою . Відрізок  переноситься на пряму . Отримана при цьому точка  ділить відрізок  у співвідношенні золотої пропорції.

;

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом 0,618…, якщо  прийняти за одиницю, 0,382…. Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок  прийняти за 100 частин, то більша частина відрізка дорівнює 62, а менша - 38 частинам [9, с. 466].

Обчислення значення золотого перерізу.

Золотий перереріз, який позначається літерою , можна обчислити безпосередньо з означення:

Праве рівняння дає . Підставляючи цю рівність у ліву частину:

Скоротивши  отримаємо:

Помноживши обидві частини на  отримаємо:

Це квадратне рівняння має два розв'язки, один з яких є додатнім [2, с. 30]:

2. Золотий переріз і математика

.1 Золотий переріз та числа Фібоначчі

золотий математика переріз відрізок

Із золотим перерізом побічно пов'язане ім'я італійського математика Леонардо з Пізи, який відомий більше за своїм прізвиськом Фібоначчі (Fibonacci - скорочене filius Bonacci, тобто син Боначчі).

У 1202 році ним була написана книга «Liber abacci», тобто «Книга про абак». «Liber abacci» представляє собою об'ємну працю, що містить майже всі арифметичні й алгебраїчні відомості того часу і зіграла помітну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Зокрема, саме по цій книзі європейці познайомилися з індуськими («арабськими») цифрами.

Значну частину цього трактату становлять практичні завдання, які розкривають зміст матеріалу [3].

У математиці добре відома послідовність чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,…, звана числами Фібоначчі (послідовність Фібоначчі) і утворена за рекурентною формулою:

де n - натуральне число і початкові члени рівні 1 і 1.

Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого перерізу. Так, 21:34=0,617, а 34:55=0,618. Це відношення позначається символом  [11].

Французький математик Біне показав, як пов'язані числа Фібоначчі і основа золотої пропорції:

Ця формула цікава тим, що справа знаходяться ірраціональні числа  і , а ліворуч завжди ціле. З останньої формули легко отримати таке співвідношення:

Фундаментальне значення золотого перерізу обґрунтовується також тим, що  є границею деяких простих і природним чином певних числових послідовностей. Як приклад наведемо два нескінченних вирази для числа :

,

Фібоначчі так само займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якої найменшої кількості гирь можна зважити товар? Фібоначчі довів, що оптимальною є така система гирь: 1, 2, 4, 8, 16… Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і «двійковий» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16… на перший погляд абсолютно різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на один: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа з самим собою 2=1+1; 4=2+2…, у другому - це сума двох попередніх чисел 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2… [2.с. 31].

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого перерізу в рослинному і в тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню закону золотого перерізу.

Присутність золотої пропорції і чисел Фібоначчі в живій природі дозволяють говорити про деякий єдиний механізм їх виникнення. Числа Фібоначчі і золотий переріз є математичним описом деякого формотворного процесу [3].

2.2 «Золоті» фігури

На основі ідеї золотого перерізу існують різні фігури, що містять цю пропорцію. Аналогічно назві пропорції, їх називають «золоті» фігури.

Золотий прямокутник.

Якщо побудувати квадрат зі стороною =, знайти середину  відрізка  і провести дугу кола радіусом  з центром у точці  до перетину з продовженням сторони  в точці , то точка  розділить відрізок  в крайньому і середньому відношенні.