Материал: Высшая математика

15. Приближенные вычисления значений функций с помощью дифференциалов.

Ответ. Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной. В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Пример. Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом. Решение: формула: . На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение . Число 67 необходимо представить в виде . Алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе: . В качестве подбираем значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: . Если , то приращение аргумента: . Итак, число 67 представлено в виде суммы . Далее работаем с правой частью формулы . Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее: . Дифференциал в точке находится по формуле: . Из формулы следует, что нужно взять первую производную: . И найти её значение в точке : . Таким образом: . Согласно формуле : . Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле: . Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону. Относительная погрешность вычислений находится по формуле: . Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных. Пример. Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность. Рабочая формула: . Число 3,04 представим в виде - , . Число 3,95 представим в виде - , . Вычислим значение функции в точке : . Дифференциал функции в точке найдём по формуле: . Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке . Вычислим частные производные первого порядка в точке :

Полный дифференциал в точке : . Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке М: . Вычислим точное значение функции в точке М: . Вот это значение является абсолютно точным. Погрешности рассчитываются по стандартным формулам.