Материал: Высшая математика

Высшая математика

1. Функции, область определения и изменения функций. Обратные функции. Пределы функций, односторонние пределы.

Ответ. Совокупность всех тех значений, которые принимает аргумент х функции y = f (x), называется областью определения этой функции. Совокупность всех тех значений, которые принимает сама функция у, называется областью изменения этой функции. Обратная функция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции f обычно обозначается f^-1, иногда также используется обозначение f ^inv. Функция, имеющая обратную, называется обратимой. Функция g:Y→ X называется обратной к функции f:X→Y, если выполнены следующие тождества:

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение y=f(x) относительно x. Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к f не существует. Таким образом, функция f(x) обратима на интервале (a;b) тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна. Для непрерывной функции F(y) выразить y из уравнения x-F(y)=0 возможно в том и только том случае, когда функция F(y) строго монотонна. Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, является обратной функцией к х² на [0,+∞), хотя на промежутке (-∞,0] обратная функция другая: - x. Для существования обратной функции не являются необходимыми ни непрерывность, ни монотонность исходной функции. Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции. График непрерывной функции является непрерывной линией. Монотонная функция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде (на области своего определения) не убывает, либо везде не возрастает. Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке. Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, являющихся образами точек такой последовательности элементов области определения функции, которая сходится к точке, в которой рассматривается предел. Если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению, иначе говорят, что функция расходится. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения. Это позволяет говорить о стремлении аргумента функции к данной точке. Предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят). В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции. Отсутствие предела функции в данной точке означает, что для любого заранее заданного значения области значений существует окрестность этого значения такая, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности. Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной в данной точке. Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).

2. Свойства пределов, виды неопределённостей, способы их раскрытия.

Ответ.

Основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль, бесконечность делить на бесконечность, ноль умножить на бесконечность, бесконечность минус бесконечность, единица в степени бесконечность, ноль в степени ноль, бесконечность в степени ноль. Все другие выражения неопределённостями не являются и принимают вполне конкретное конечное или бесконечное значение. Раскрывать неопределенности позволяет: упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.); использование замечательных пределов; применение правила Лопиталя; использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным. Каждому виду неопределенности поставим в соответствие метод ее раскрытия (метод нахождения предела).

3. Первый и второй замечательные пределы. Основание натуральных логарифмов.

Ответ. Рассмотрим следующий предел: . Согласно правилу нахождения пределов пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что: Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет: – тот же самый первый замечательный предел. На практике в качестве параметра может выступать не только переменная, но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю. В теории математического анализа доказано, что: . Данный факт носит название второго замечательного предела. Справка: – это иррациональное число. В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности. Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию e. Такие логарифмы обозначаются символом ln. Запись lnx означает тоже самое, что и logex. Основание натурального логарифма - число е. Свойства и основные формулы натурального логарифма. 1) ln1=0. Натуральный логарифм единицы равен нулю (Заметим, что логарифм по любому основанию от 1 равен 0). 2) lne=1. 3) ln(xy)=lnx+lny. 4) lnxy=lnx−lny. 5) lnxn=n⋅lnx. 6) График функции y=lnx:

4. Производные функций. Свойства производных, их смысл.

Ответ. Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.

Физический смысл производной. Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: .

5. Производные произведения и отношения двух функций.

Ответ. (u(x)⋅v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). Производная произведения равна производная первой функции на вторую плюс первая функция, умноженная на производную второй. Пример. Найти производную функции y(x)=xsinx. Так как заданная функция есть произведением двух функций u(x)=x и v(x)=sinx, то производную y′(x) находим как от произведения. Согласно формуле имеем: y′(x)=(xsinx)′=(x)′⋅sinx+x⋅(sinx)′=$$=1⋅sinx+x⋅cosx=sinx+xcosx. Ответ. y′(x)=sinx+xcosx. Если функции и дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v, причём . т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

6. Производные сложной и обратной функции.

Ответ. Дифференцирование сложной функции: . Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией. Пример. Найти производную функции . Представим, что нам нужно вычислить значение выражения при (вместо единицы может быть любое число). В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет функцией: .