Материал: Высшая математика

11. Внесение части подынтегрального выражения под знак дифференциала.

Ответ. Пусть требуется найти неопределенный интеграл ∫f(x)dx. Предположим, что существуют дифференцируемые функции u=ϕ(x) и v=g(u) такие, что f(x)dx=g(ϕ(x))dϕ(x)=g(ϕ(x))ϕ′(x)dx=g(u)du. Тогда ∫f(x)dx=∫g(ϕ(x))ϕ′(x)dx=∫g(u)du. Указанное преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала. Тогда, если ∫f(x)dx=F(x)+C и u=ϕ(x), то имеет место следующее равенство: ∫f(u)du=F(u)+C. При интегрировании методом подведения под знак дифференциала полезны следующие равенства для дифференциалов:

Пример. Найти интеграл ∫sin2xcosxdx. Решение. Сначала внесем косинус под знак дифференциала ∫sin2xcosxdx=∫sin2xd(sinx). Так как ∫t2dt=t33+C, то ∫sin2xcosxdx=∫sin2xd(sinx)=sin3x3+C. Найти неопределенный интеграл ∫tgxdx. Решение. Разложим тангенс, как отношение синуса и косинуса, затем внесем синус под знак дифференциала. ∫tgxdx=∫sinxcosxdx=∫−d(cosx)cosx=−ln|cosx|+C

12. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Ответ. Универсальной тригонометрической подстановкой называется подстановка вида tg =t. В англоязычной литературе в честь выдающегося немецкого математика Карла Вейерштрасса (1815 - 1897) называется подстановкой Вейерштрасса. Указанная подстановка применяется при интегрировании, когда подынтегральное выражение рационально зависит от тригонометрических функций. Указанная замена позволяет свести интеграл от тригонометрической функции к интегралу от рациональной функции. При этом следует учесть, что из равенства tg =t получаем: ==arctgt⇒x=2arctgt⇒ dx= ,sinx=2tg /1+tg² =2t/1+t²

cosx=1−tg² / /1+tg² =1−t²/1+t^2..

13. Интегрирование дробно-рациональных выражений. Интегрирование выражений, содержащих квадратные трехчлены и корни квадратные из них.

Ответ. Интегрирование правильной дробно-рациональной функций. Пример. Найти неопределенный интеграл. Шаг 1. Является ли дробь правильной? Данный шаг выполняется устно. Сначала смотрим на числитель и выясняем старшую степень многочлена: Старшая степень числителя равна двум. Теперь смотрим на знаменатель и выясняем старшую степень знаменателя. Напрашивающийся путь – это раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но можно поступить проще, в каждой скобке находим старшую степень и мысленно умножаем: – таким образом, старшая степень знаменателя равна трём. Совершенно очевидно, что если реально раскрыть скобки, то мы не получим степени, больше трёх. Вывод: Старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя, значит, дробь является правильной. Шаг 2. Разложим знаменатель на множители. . Решаем квадратное уравнение: . Дискриминант больше нуля, значит, трехчлен действительно раскладывается на множители: . Общее правило: всё, что в знаменателе можно разложить на множители – раскладываем на множители. Решение: . Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов раскладываем подынтегральную функцию в сумму простых (элементарных) дробей. Смотрим на нашу подынтегральную функцию: . Большую дробь можно превратить в несколько маленьких: – метод неопределенных коэффициентов. В левой части приводим выражение к общему знаменателю: . Избавляемся от знаменателей (т.к. они одинаковы): . В левой части раскрываем скобки, неизвестные коэффициенты при этом пока не трогаем: . Коэффициенты лучше внести в скобки: . Составляем систему линейных уравнений. Сначала разыскиваем старшие степени: . И записываем соответствующие коэффициенты в первое уравнение системы: . Если в правой части отсутствуют какие-нибудь переменные или (и) свободный член, то в правых частях соответствующих уравнений системы ставим нули. Далее процесс идет по снижающейся траектории: . Записываем соответствующие коэффициенты во второе уравнение системы: . Подбираем свободные члены. . Система готова: . Решаем систему:

. (1) Из первого уравнения выражаем С и подставляем его во 2-е и 3-е уравнения системы. На самом деле можно было выразить С (или другую букву) из другого уравнения, но в данном случае выгодно выразить именно из 1-го уравнения, поскольку там самые маленькие коэффициенты. (2) Приводим подобные слагаемые во 2-м и 3-м уравнениях. (3) Почленно складываем 2-е и 3-е уравнение, при этом, получая равенство 12А= -12, из которого следует, что А= -1 (4) Подставляем А= -1 во второе (или третье) уравнение, откуда находим, что В= -16 (5) Подставляем А= -1 и В= -16 в первое уравнение, получая С=18. После решения системы всегда полезно сделать проверку – подставить найденные значения в каждое уравнение системы. Коэффициенты найдены, при этом: . Чистовое оформление задание должно выглядеть примерно так: . Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Корень из квадратного трёхчлена и подстановки Эйлера. Если дан интеграл иррациональной функции вида , то есть в подынтегральном выражении - корень из квадратного трёхлчена, то можно воспользоваться подстановками Эйлера. Начинать нужно с разложения квадратного трёхчлена на множители: , где x1, x2 - корни квадратного уравнения. В зависимости от характера корней квадратного уравнения используются следующие подстановки Эйлера. 1. Если x1, x2 - действительные числа (не комплексные), то используется подстановка (первая подстановка Эйлера). 2. Если x1, x2 - комплексные числа и a > 0, то используется подстановка (вторая подстановка Эйлера). 3. Если x1, x2 - комплексные числа и c > 0, то используется подстановка (третья подстановка Эйлера). Найти интеграл от иррациональной функции . Решение. Разложим квадратный трёхчлен на множители: . Используем первую подстановку Эйлера:

Подставляем: . Интегрируем и получаем: . Возвращаясь к переменной икс, сначала долго занимаемся преобразованием выражений, а затем окончательно находим:

Найти интеграл от иррациональной функции . Используем вторую подстановку Эйлера:

Подставляем: .

Интегрируем и получаем: .

Возвращаясь к переменной икс, окончательно находим: .

14. Функция 2-х переменных, способы их представления, частные производные. Дифференциал функций 2-х переменных, градиент.

Ответ. Функцией двух переменных называется закон, по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции). Данную функцию обозначают следующим образом: либо , или же другой стандартной буквой: . . Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости, то функцию также записывают через , где М – точка плоскости с координатами . Геометрический смысл функции двух переменных очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости, то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. Важнейший атрибут функции 2 переменных – это область определения. Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение . Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Пример. Найти частные производные первого и второго порядка функции . Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две. Обозначения или – частная производная по «икс»; или – частная производная по «игрек». При нахождении частной производной по «икс» переменная у считается константой (постоянным числом) (1) заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом. (2) Используем правила дифференцирования , , у считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной. (3) Используем табличные производные и . (4) Упрощаем. Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная х считается константой (постоянным числом).

(1) Используем те же правила дифференцирования. В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку. (2) Используем таблицу производных элементарных функций. По своей сути частные производные 1-го порядка напоминают «обычную» производную: – это функции, которые характеризуют скорость изменения функции в направлении осей ОХ и ОУ соответственно. Кроме того, частная производная в точке характеризует скорость изменения функции по соответствующему направлению. Градиентом функции в точке называется направленный отрезок , отложенный от точки , который показывает направление и скорость наискорейшего роста функции в данной точке. Градиент в точке – это вектор несвободный. По той причине, что характеризует поведение функции именно в данной точке, а не где-то ещё. Поэтому, следует отложить от начала координат. Производная по некоторому направлению в точке – это проекция градиента в данной точке на данное направление. В более широком смысле под градиентом понимают векторную функцию , которая каждой точке области определения функции (где существует градиент) ставит в соответствие вектор, показывающий направление максимального роста функции в данной точке.