Планиметрические задачи на построение
Еще во время преподавания в промышленном училище, подбирая задачи для способных учеников, Я.Штейнер приобрел стойкий интерес к задачам элементарной геометрии, сохранившийся у него на всю оставшуюся жизнь.
Известен класс планиметрических задач на построение, "разрешимых по Евклиду"; решения этих задач сводятся к применению аксиом Евклида и к построению с помощью линейки и циркуля. В 1672 г. в Амстердаме была издана книга датского геометра Георга Мора (1640?1697) "Датский Евклид", в которой доказана теорема: "Все задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, разрешимы также с помощью одного лишь циркуля" (теорема Г.Мора - Л.Маскерони).
Я.Штейнер рассматривал построения, проводимые с применением лишь одной линейки при наличии на плоскости:
* двух параллельных прямых или отрезка прямой, разделенного заданной точкой в данном рациональном отношении;
* параллелограмма;
* квадрата;
* окружности с известным центром.
Он установил, что в случае окружности разрешимы все евклидовы задачи на построение.
Из многочисленных теорем, доказанных Я.Штейнером, в качестве примера приведем следующие две теоремы.
Теорема 1 (Штейнера). Ортоцентры четырёх треугольников полного четырехсторон-ника (ПЧ) принадлежат одной прямой (пря-мой Штейнера ПЧ).
Теорема 2 (Штейнера). Для каждого ПЧ его прямая Штейнера ортогональна его прямой Гаусса.
Я.Штейнер является автором интересной планиметрической конструкции, названной впоследствии построением Штейнера. Оно состоит в том, чтобы с применением одной только линейки провести прямую, параллельную данному отрезку прямой с заданной его серединой через известную точку, не принадлежащую данному отрезку [2].
Французский математик Даниэль Лемус (1780?1863), профессор Берлинской инжене-рной школы, участвовавший в издании журнала Крелля, сформулировал следующее утверждение: "Если в треугольнике длины биссектрис двух внутренних углов равны, то этот треугольник равнобедренный".
В 1840 г. Д.Лемус послал эту формулировку Я.Штейнеру с предложением привести её геометрическое доказательство. Я.Штейнер требуемое доказательство получил и с тех пор это утверждение называется теоремой Штей-нера - Лемуса [7]. Однако Я.Штейнер привёл довольно сложное доказательство и это побудило математиков на поиски более простых способов доказательства. В результате работы, связанные с доказательством этой теоремы, появлялись в печати в 1842, 1844, 1848 годах и затем почти каждый год с 1854 по 1864 г., а также в большом количестве и в течение следующего века.
Задача Штейнера о кониках
Эта классическая задача - одна из самых знаменитых геометрических задач XIXв.; она поставлена Я.Штейнером (1848) и решена французским геометром М.Шалем (1793?1880) в 1864 г., год спустя после кончины Я.Штейнера [8].
Задача Штейнера. Определить число всевозможных невырожденных коник, каса-ющихся данных пяти коник.
Я.Штейнер не привел полного решения этой задачи, а рассмотрел лишь ее отдельные частные случаи [7].
В 1859 г. французский математик Эрнест де Жонкьер, ученик М.Шаля, нашел пол-ное решение задачи Я.Штейнера, но не ре-шился опубликовать свой результат. Этот результат - 3264; он был позднее опубликован М.Шалем [8].
Задача Я.Штейнера имеет важное историческое значение, поскольку поиски её строгого и полного решения способствовали развитию нового направления математики - алгебраической геометрии. В связи с этим следует отметить, что существует не только элементарное решение этой задачи методом М.Шаля, но и ее строгое решение методами алгебраической геометрии [9, гл. 6, п. 1].
Поризм Штейнера
Я.Штейнером доказана следующая теорема о цепочке взаимно касающихся окружностей ("ожерелье Штейнера") [7].
Теорема (Штейнера). Пусть дана цепочка окружностей в которой каждая окружность касается двух соседних и двух данных непересекающихся окружностей Тогда для любой окружности С1, касающейся В1, В2, существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей Cj (j = 1, … n).
Изопериметрические задачи
С древних времен известна изопериметрическая задача о круге, однако ее решение требовало доказательства. Я.Штейнер провёл его, применяя созданный им четырехшарнирный метод [7]. В середине 19-го века, когда работал Я.Штейнер, его доказательство считалось вполне удовлетворительным. Однако впоследствии выяснилось, что оно не полное и, следовательно, не строгое [10].
Фактически Я.Штейнером было строго доказано лишь следующее утверждение: "Если фигура наибольшей площади среди всех плоских фигур заданного периметра существует, то эта фигура - круг".
Таким образом, Я.Штейнером не было доказано существование геометрической фигуры наибольшей величины площади. К концу XIX в. Г.Шварц (1843-1921) и В.Бляшке (1885-1962) строго доказали существование решения данной изопериметрической задачи, чем и завершили ее окончательное решение.
Помимо изопериметрической задачи о круге Я.Штейнер установил ряд изопериметрических свойств призматических и пирамидальных геометрических фигур. Применяя два различных метода, он доказал, что среди всех пространственных фигур с заданными равновеликими поверхностями шар имеет на-ибольший объем [7].
Система Штейнера
Одно из важнейших понятий современной теории множеств и криптологии. Системой Штейнера J(p, q, r) называется набор q-элементных подмножеств (блоков) на непустом r-элементном множестве М, такой, что любое p-элементное подмножество из М содержится точно в одном подмножестве данного набора. ¦ При этом перестановки элементов множества М, сохраняющие систему Штейнера, называются её автоморфизмами.
У.Вулхаус (1844) сформулировал проблему существования системы Штейнера, а П.Киркман (1847) решил ее для системы троек Штейнера. Сам Я.Штейнер (1853) рассматривал данную систему для случая, при котором [7].
Понятие системы Штейнера применяется в теории кодирования. В частности, с помощью специальных пар систем троек Штейнера порядка n была решена проблема построения неизоморфных замещений неориентируемых поверхностей [11, c. 7].
Сети Штейнера
Я.Штейнером была решена простейшая трёхточечная задача о сетях [10], которая впоследствии трансформировалась в глобальную проблему, имеющую большое теоретическое и прикладное значение. Существо этой проблемы состоит в следующем.
Сетью Штейнера множества точек называют односвязный граф, обладающий определенными заданными свойствами, определяющими комбинаторную структуру [10].
С этой сетью связана проблема Штейнера, прообразом которой является знаменитая трёхточечная задача Ферма - Торричелли - Кавальери (задача ФТК, 1640):
* на плоскости найти точку N, для которой сумма расстояний от нее до каждой из трёх заданных точек М1, М2, М3, находящихся в той же плоскости и не расположенных на одной прямой, наименьшая.
Как оказалось, решение этой задачи инвариантно относительно количества заданных точек и размерности евклидова пространства Rn [10].
Я.Штейнер получил чисто геометрическое решение этой задачи. Впоследствии точку N назвали точкой Штейнера, а систему отрезков (ребер), соединяющих точки, - сетью Штейнера.
Существует следующее обобщение дан-ной задачи.
Обобщенная евклидова задача Штейнера. В пространстве R3 дано множество М, состоящее из n точек Mk (терминалов), не расположенных на одной прямой. Требуется построить систему отрезков прямых, соединяющих эти точки, наименьшей суммарной длины.
В общей постановке эта задача впервые была сформулирована в 1934 г. М.Кёсслером и В.Ярником [12]. Однако данная проблема не вызвала интереса до 1941 г., когда Р.Курант (1888?1972) и Г.Роббинс (1915-001) поместили ее в своей книге [13], где ими был введен термин "задача Штейнера". Они связали эту задачу с исследованиями Я.Штейнера, поско-льку задача ФТК и обобщенная задача Штейнера имеют множество общих свойств.
В современной литературе приводится следующая формулировка проблемы Штейнера:
* из многообразия всех сетей (связных одномерных континуумов), затягивающих данное конечное множество М терминалов плоскости, найти сеть наименьшей длины [14].
Решение этой задачи называют абсолютно минимальной сетью, затягивающей множество М, или деревом Штейнера для этого множества.
Несмотря на видимую простоту постановки, эта задача поиска оптимальных топологий, относящаяся к классу комбинаторных задач минимизации, является NP-трудной [15]. Это означает, что для проблемы Штейнера, по-видимому, не существует полиномиального алгоритма решения. Однако для немногих случаев был найден и реализован экспоненциальный алгоритм - алгоритм З.Мел-зака [15].
Ввиду этого проблема Я.Штейнера до настоящего времени решена лишь для отдельных случаев. В случае, при котором n > 3, Я.Штейнер привел лишь отдельные примеры минимальных сетей.
Применения теории сетей Штейнера
Разрешимые случаи задачи Я.Штейнера имеют ряд применений. Важнейшим из них является использование ее решения при разработке интегральных электронных плат.
Более короткая сеть проводящих линий на интегральной плате требует меньше времени прохождения цикла зарядки-разрядки по сравнению с более длинной сетью и повышает быстродействие всей сети. При этом конфигурация сети имеет прямоугольную (двухнаправленную) структуру, поскольку ее проводящие линии обычно прокладываются в двух направлениях - горизонтальном и вертикальном. В связи с этим ставится следующая прямоугольная версия задачи Штейнера:
* найти дерево Штейнера, соединяющее все терминалы, используя только горизонтальные и вертикальные прямолинейные отрезки.
Задача в такой постановке впервые была исследована в 1965 г. М.Хэнаном (корпорация IBM, США) [16].
Эффективное применение задача Штейнера нашла и в области биологии, исследующей происхождение видов. Это исследование привело к построению эволюционного дерева Штейнера (филогенетического дерева) для выделенной группы биологических видов. Здесь эволюционные деревья моделируются в филогенетических пространствах. Для этого был применён генетический алгоритм, выделяющий некоторое абстрактное множество точек. В дереве Штейнера для этого множества точки Штейнера соответствуют наиболее вероятностным предкам, а ребра дерева представляют генетическую связь между данным организмом и его предком. Эта связь обладает наименьшим числом мутаций [17].
Помимо этого теория сетей Штейнера применяется:
* для описания моделей транспортных ком-муникаций и трубопроводных сетей в задачах минимизации расходных материалов на прокладку путей и коммуникаций, информационных и электрических сетей;
* в построении теоретико-графовых оптимизационных моделей для газо- и нефтераспределительных систем;
* для оптимизации систем обустройства газовых и нефтяных месторождений. штейнер планиметрический теорема окружность
Существуют и многие другие применения теории сетей Штейнера [15].
Теорема Штейнера в механике
В теоретической механике имеет место теорема геометрии масс о взаимосвязи между моментами инерции механической системы относительно заданной оси и параллельной ей оси, проходящей через центр масс системы (теорема Штейнера) [18, c. 277].
Эта теорема была известна ещё Х.Гюй-генсу (1629-1695) и впервые была строго доказана в 1763 г. Л.Эйлером (1707-1783). Я.Штейнер "… этой теоремы не доказывал" [19, c. 142].
Я.Штейнер ? ученый и человек
Как отмечалось, Я.Штейнер во многом являлся противоречивой личностью. В нём уживались непостижимая геометрическая интуиция и необычайный консерватизм, выражавшийся в категорическом неприятии координатно-аналитического метода и комплексных чисел в геометрии. Он был искренне уверен, что они ведут к "… уничтожению истинного духа геометрии" [5]. Как представитель "чистой" (синтетической) геометрии он был убеждён в том, что геометрию нужно изучать умозрительно, без привлечения каких-либо вычислений. Он утверждал, что "расчет заменяет мышление, а ("чистая") геометрия, напротив, это мышление укрепляет". В частности, он утверждал, что синтетический метод в геометрии является наиболее пригодным для установления основных положений, открывающих "истинную природу и действительную причину" минимаксных свойств геометрических фигур.
По его убеждению, каждая геометрическая задача должна иметь чисто геометрическое решение. Если же Я.Штейнеру не удавалось найти геометрическое решение задачи, то он считал эту задачу не решенной и ее решения не публиковал [5]. Именно по этой причине многие теоремы Я.Штейнера дошли до нас без доказательств.
Вероятно, на этой почве у Я.Штейнера возникла устойчивая неприязнь к жившему в одно с ним время другому геометру - Юлиусу Плюккеру, представлявшему аналитическое направление в геометрии. Его аналитический подход к решению геометрических задач был крайне антипатичен такому "чистому" геометру, как Я.Штейнер. Это обстоятельство усугублялось значительным социальным и образовательным неравенством между ними: Я.Штейнер, выходец из бедной крестьянской семьи, так и не получил полного университетского образования; Ю.Плюккер происходил из семьи рейнских промышленных магнатов и был чрезвычайно богат. Он учился в университетах Бонна, Гейдельберга, Берлина и Парижа (в Сорбонне), тогда как Я.Штейнер не прошел полный курс обучения в Гейдельбергском университете [7].