4
Институт проблем точной механики и управления РАН
Творец синтетической геометрии (к 215-летию со дня рождения Якоба Штейнера)
Н.Н. Макеев
В марте 2011 г. исполнилось 215 лет со дня рождения выдающегося швейцарского ге-ометра, одного из создателей проективной геометрии, автора замечательных открытий в синтетической геометрии, профессора Берлинского университета имени Гумбольдта, члена Берлинской Академии наук, Якоба Штейнера (18. 03. 1796-01. 04. 1863) [1].
Достижения Я. Штейнера в геометрии огромны. Его труды обогатили науку многими важными и глубокими теоремами. Он создал ряд оригинальных геометрических методов, среди которых - известный четырехшарнирный метод построения плоских геометрических фигур [2]. Им была упорядочена и систематизирована основная (по Ф.Клейну) идея о проективном образовании сложных геометрических образов из более простых [3, c. 164], заложены основы геометрических теорий, развивающихся и в настоящее время. В его работах содержатся элементы теоретико-мно-жественных представлений в проективной геометрии. Он является продолжателем научных идей и трудов швейцарского математика Симона Антуана Люилье (1750?1840).
Я.Штейнер как исследователь в истории математики - явление феноменальное: будучи в юношестве малообразованным ("…[он] едва умел читать и писать…" [4]), в течение семи лет, благодаря своим способностям и тяге к знаниям, сумел получить школьное, а затем и несистематическое университетское математическое образование. Многие математические истины он постигал самостоятельно, будучи по складу личности самоучкой [5]. Через 14 лет после прерывания учебы в университете, несмотря на постоянную материальную необеспеченность и жизненную неустроенность, он становится профессором математики Берлинского университета, а за год до этого избирается членом Берлинской Академии наук.
Как ученый-геометр, Я.Штейнер является “…"крупнейшим представителем" "золотого века" немецкой геометрии… колоритной и противоречивой фигурой. В [нем] уживались фантастическая геометрическая интуиция и необычайный консерватизм…” [5]. Благодаря своим оригинальным научным трудам Я.Штейнер занимает достойное место в ряду классиков мировой математической науки.
Настоящая статья посвящена памяти выдающегося математика, чьи научные достижения явились крупным вкладом в геометрию и нашли различные применения в решении ряда актуальных проблем современной науки и техники.
Жизнь и творческая деятельность
Якоб Штейнер (Jakob Steiner) родился 18 марта 1796 г. в деревне Утценедорф, вблизи города Золотурна в Швейцарии, в семье бедного крестьянина. До 18 лет в школе он не учился; помогал отцу в работе по хозяйству. Жизнь Якоба изменилась с тех пор, как ему довелось встретиться с Иоганном Генрихом Песталоцци (1746-1827), выдающимся швейцарским педагогом-гуманистом. Именно ему мировая математика обязана тем, что он открыл новый математический талант. И.Песталоцци считается основоположником теории начального обучения, основанной на сочетании обучения с производительным трудом в целях формирования гармонически развитого человека. Он является одним из основоположников концепции развивающего образования.
Для реализации своих педагогических идей им была основана начальная школа-интернат для обучения детей бедняков. Сотрудники Песталоцци собирали по всей Швейцарии способных к учебе детей, родители которых не могли оплатить их учебу в частных школах.
В 1814 г. один из сотрудников Песталоцци встретил в горах Швейцарии юношу, работавшего пастухом. Как оказалось, он едва освоил начала грамотности, хотя самоучкой приобрел некоторые познания в математике и в особенно интересовавшей его астрономии. Это был Якоб Штейнер. Любознательность Якоба и его интересы настолько поразили сотрудника Песталоцци, что он убедил его отца отпустить сына на учёбу.
В том же году 18-летний Якоб был принят для обучения в школу-интернат, руководимую И.Песталоцци, находившуюся в городке Иверден вблизи Берна. Обучение и проживание для Якоба были бесплатными, поскольку его семья не располагала необходимыми средствами.
В школе Я.Штейнер учился четыре года, а после ее окончания стал в ней преподавать математику. Однако его руководитель понял, что возможности и способности Якоба далеко превосходят уровень школьного педагога. Поэтому И.Песталоцци настоятельно порекомендовал Якобу продолжить свое образование. Желая поддержать своего талантливого ученика и воспитанника, он выдал Якобу некоторую сумму денег на дорогу и на первое время проживания в чужом городе. В дальнейшем Якобу предстояло обеспечивать себя самому. И.Песталоцци надеялся на то, что Якоб окончит университет и затем сам выберет свой жизненный путь. Однако, как оказалось, эти надежды в полной мере не осуществились [4].
В 1818 г. Я.Штейнер приезжает в город Гейдельберг, где находился ближайший к Ивердену Гейдельбергский университет, в который он поступил и обучался до 1821 г. За три года обучения он прослушал лишь несколько учебных курсов. Причина этого - недостаток времени, которое он был вынужден тратить на ведение частных уроков с тем, чтобы обеспечить своё существование. Никакой другой профессии, кроме профессии школьного учителя математики, он не имел. Поэтому Якоб был вынужден перегружать себя частными занятиями, за которые платили мало, поскольку он не имел серьезного образования. Эти занятия не давали Я.Штейнеру возможности систематически заниматься в университете.
В Гейдельберге Я.Штейнер познакомился с некоторыми математиками, что давало ему возможность профессионального общения, необходимого для творческой деятельности.
В 1821 г. открылась вакансия преподавателя математики в Берлинском частном институте Пламанна (аналог классической гимназии). Возможность стать штатным преподавателем привлекала Я.Штейнера тем, что это обеспечивало регулярный заработок и, следовательно, более высокую материальную обеспеченность. Однако для занятия этого места требовалось сдать экзамены на право преподавания.
Я.Штейнер выехал в Берлин. В институте кандидата на должность учителя спросили, знаком ли он с учебной программой; Я.Штейнер ответил отрицательно. Действительно, в прусских гимназиях в качестве обязательных предметов изучались латынь и древнегреческий язык, о которых Я.Штейнер только слышал. На экзамене по математике он показал превосходные знания по геометрии, но недостаточные - по алгебре и тригонометрии. По математическому анализу уровень знаний был весьма низок [5]. И все же вопрос о замещении должности был решен в пользу Я.Штейнера. Здесь решающую роль сыграли его выдающиеся способности, глубокие знания по геометрии и представленные им превосходные рекомендации. Он был принят учителем математики на определенных условиях. Я.Штейнеру было разрешено в течение двух лет преподавать математику во всех классах, за исключением выпускного. Но за это время он должен был сдать экзамены по курсу гимназии и дополнительный экзамен по математике. В результате экзамены по курсу гимназии Я.Штейнер так никогда и не сдал, а экзамен по математике сдал значительно позже. За несдачу экзаменов в установленный срок он был отстранен от преподавания.
В связи с открытием в Берлине городского промышленного училища (аналог реального училища) Я.Штейнер в 1825 г. переходит в него для преподавания математики. Эта работа привлекала Я.Штейнера тем, что в училище было увеличено (по сравнению с гимназией) количество учебных часов на математику и естественные науки и не преподавались древние языки, поэтому их знание не требовалось и от учителей училища.
Я.Штейнер был зачислен помощником учителя математики и только в 1829 г., после сдачи дополнительных экзаменов, был принят старшим учителем.
Работа Я.Штейнера в гимназии и училище носила нестабильный характер. Временами он покидал постоянную, обеспеченную работу и снова занимался частными уроками. Это было вызвано его нетерпимым и раздражительным характером: он с увлечением занимался со способными учениками, сочиняя для них индивидуальные задания и вопросы. Остальные ученики его раздражали, поскольку Я.Штейнер не понимал, что некоторые из них могут и не иметь способностей и интереса к математике. Но, уходя в очередной раз из училища, он неизменно возвращался вновь; математический талант Я.Штейнера ценился высоко [5].
Большой жизненной удачей Я.Штейне-ра явилось его знакомство с любителем математики, богатым промышленником, талантливым инженером и железнодорожным магнатом Августом Леопольдом Крелле (Крелль, 1780?1855), который наметил создать и регулярно выпускать математический журнал. Ин-женер А.Крелле известен, в частности, тем, что, как талантливый организатор, помогал многим выдающимся математикам [6].
Первый в Европе специализированный математический журнал появился в 1810 г. во Франции под названием "Анналы чистой и прикладной математики" ("Les annales de la mathematiques pures et appliquйes"). Его основателем и редактором (1810-1831) являлся французский математик Жозеф Диас Жергонн (1771?1859), а журнал кратко называли "Анналы Жергонна".
А.Крелле решил основать профессиона-льный журнал, издаваемый в Германии. На-мечая возможный состав авторов журнала, он прежде всего предполагал участие двух неизвестных профессиональным математикам людей: недоучившегося норвежского студента Н.Абеля и школьного учителя Я.Штейнера, в талант которых он верил.
С 1826 г. А.Крелле начал выпускать ста-вшее впоследствии известным издание "Журнал чистой и прикладной математики" ("Journal fur die reine und angewandte Mathematik"). Основное содержание его первого выпуска (как и содержание последующих номеров) составляли статьи, представленные Н.Абелем и Я.Штейнером. Показательно, что только в первых трех томах этого журнала было помещено 15 работ Я.Штейнера [5].
За время издания этого журнала в нём публиковали свои работы многие выдающиеся математики Европы [6]. В частности, в т.17 журнала была опубликована новаторская работа Н.И.Лобачевского "Geometrie imaginaire" ("Воображаемая геометрия").
В журнале А.Крелля, несмотря на его название, публиковались почти исключительно теоретические работы, в силу чего его прозвали "Журнал чистой неприкладной математики" (J. … unangewandte Math. "). Этот журнал до 1855 г. был известен как "Журнал Крелле", с 1855 по 1880 г. - "Журнал Борхардта", а с 1880 г. - как "Журнал Кронекера" [6]. Новый журнал был настолько авторитетен, что математики стали называть его "первым математическим журналом мира", в связи с чем Ж.Жергонн закрыл свой журнал [6].
С появлением журнала Крелле судьба Я.Штейнера круто изменилась к лучшему. Он получил хорошую возможность распространять и отстаивать свои научные идеи и укреплять свой профессиональный авторитет.
В 1834 г. А.Крелле, используя свое вли-яние, инициирует избрание Я.Штейнера в Берлинскую Академию наук по отделению математики. Основанием для избрания явились его оригинальные научные труды, опубликованные в журнале Крелле. Следующим шагом, предпринятым также при участии А.Крелле, явилось избрание Я.Штейнера экстраординарным профессором Берлинского университета имени Гумбольдта по естественнонаучному отделению. В связи с этим в 1835 г. Я.Штейнер покидает Берлинское городское промышленное училище.
В дальнейшем оказалось, что посредственный школьный учитель Я.Штейнер проявил себя как выдающийся университетский профессор. В школе его раздражали неспособные ученики, не имеющие интереса к математике, а в университете интересующиеся геометрией студенты вдохновляли Я.Штей-нера. Большой успех имели его яркие и глубоко содержательные лекции, а также привычка постоянно ставить на лекциях геометрические задачи, для решения которых он вызывал слушателей к доске. Впечатлял даже швейцарский акцент необыкновенного профессора [5].
Успехи, достигнутые Я.Штейнером в науке, позволили ему считать себя признанным лидером немецкой геометрии. В силу этого любые отступления кого-либо от созданных им установок и взглядов заставляли его реагировать болезненно. Подтверждением этого является характер отношения Я.Штей-нера к научным трудам Ю.Плюккера.
Профессор Боннского, Берлинского университетов и университета в Галле Юлиус Плюккер (1801-1868), член Парижской Академии наук (с 1867 г.), являлся авторитетным геометром в Германии того времени. Он был сторонником аналитического направления в геометрии, использующего алгебраический аппарат. Поскольку Я.Штейнер признавал только чисто геометрические методы, то работы Ю.Плюккера вызывали у него протест. Кроме того, Ю.Плюккер в своих работах допускал небольшие погрешности, обычно легко устранимые, что непременно использовал Я.Штейнер для своих нападок. Резкая и порой несправедливая критика Я.Штейнера заставила Ю.Плюккера на некоторое время прекратить исследования и публикацию работ по геометрии и заняться физикой. Он вновь вернулся к исследованиям по геометрии лишь после смерти Я.Штейнера, достигнув выдающихся успехов в этой области.
Последние два года жизни Я.Штейнер много болел; его здоровье было подорвано перенапряжением и лишениями, перенесенными им в ранние годы. Поехав в очередной раз для лечения на свою родину, в Швейцарию, он скончался 1 апреля 1863 г. в Берне, в гостинице, в полном одиночестве. В своем завещании он оставил 8 тысяч талеров Берлинской Академии наук для учреждения премии за сочинения по синтетической геометрии. Другую денежную сумму Я.Штайнер завещал руководству швейцарского кантона, где он родился, на премию за успехи в изучении математики ученикам начальной школы для детей бедняков [5].
Так окончил свой жизненный путь выдающийся математик XIX-го в., гениальный творец синтетической геометрии.
Научное творчество
Научные достижения Я.Штейнера в области геометрии многочисленны и разнообразны. Здесь рассматриваются лишь некоторые из них.