Материал: Теория игр. Поиск выигрышной стратегии

− Петя не может выиграть за один ход;− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.Задание 21Найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

54. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
    

а) добавить в любую кучу один камень;б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 83, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 5 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 77.

55. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
    

а) добавить в любую кучу один камень;б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 95, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 5 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 89.

56. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
    

а) добавить в любую кучу один камень;б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 105, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 4 камня, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 100.

57. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
    

а) добавить в любую кучу один камень;б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 129, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 4 камня, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 124.

58. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
    

а) добавить в любую кучу один камень;б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 100, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 6 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 93.

59. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
    

а) добавить в любую кучу один камень;б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 108, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 6 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 101.

60. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
    

а) добавить в любую кучу один камень;б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 125, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 117.

61. 
    Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
    

а) добавить в любую кучу один камень;б) увеличить количество камней в любой куче в четыре раза.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 133, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было 7 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 125.

62. 
    (А. Кабанов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу один камень или увеличить количество камней в любой куче в два раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 30, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было K камней, а во второй – S камней, 1 ≤ K ≤ 29, 1 ≤ S ≤ 29.
    

Ответьте на следующие вопросы:

Задание 19. Сколько существует пар (K; S), таких что Ваня выигрывает первым ходом при любой игре Пети?Задание 20. При K=6, найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:− Петя не может выиграть за один ход;− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.Задание 21. Сколько существует пар (K; S), при котором одновременно выполняются два условия:– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

63. 
    (А. Кабанов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу один камень или увеличить количество камней в первой куче в два раза или увеличить количество камней во второй куче в три раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 30, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было K≥1 камней, а во второй – S≥1 камней, K+S ≤ 29. Ответьте на следующие вопросы:
    

Задание 19. Сколько существует пар (K; S), таких что Ваня выигрывает первым ходом при любой игре Пети?Задание 20. При S=7, найдите минимальное и максимальное значение K, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:− Петя не может выиграть за один ход;− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.Задание 21. При K=1 найдите такое значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

64. 
    (А. Кабанов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую кучу два камня или увеличить количество камней в любой куче в три раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 45, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было K≥1 камней, а во второй – S≥1 камней, K+S ≤ 43.
    

Ответьте на следующие вопросы:Задание 19. Сколько существует пар (K; S), таких что Ваня выигрывает первым ходом при любой игре Пети?Задание 20. При K=4, найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:− Петя не может выиграть за один ход;− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.Задание 21. При K=13 найдите такое значение S, при котором одновременно выполняются два условия:– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

65. 
    (А. Кабанов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи один камень или уменьшить количество камней в любой куче в два раза (если количество камней нечётно, то остаётся на один камень меньше, чем убирается). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не более 18, побеждает игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в первой куче было K≥1 камней, а во второй – S≥1 камней, S+K ≥ 19.
    

Ответьте на следующие вопросы:Задание 19. Известно, что из начальной позиции (M; M) Ваня выигрывает первым ходом при любой игре Пети. При каком значении M это возможно?Задание 20. При K=13, найдите минимальное и максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия: