Материал: Семинар 12
6
Чтобы форма была отрицательно определенной, по критерию Сильвестра, необходимо чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательным, а миноры четного порядка - положительными. Минор M1 0 . Рассмотрим, при каких будет по-
ложительным минор M 2 и отрицательным минор M3 :
4 0 |
4 |
|
|
0 |
|
4 7 |
1,75 |
|
Очевидно, что система не имеет решения. Не существует значений параметра , при которых форма является отрицательно определенной.
Обобщим рассмотренные примеры.
Выполнить самостоятельно. Выписать условия положительной и отрицательной определенности следующих квадратичных форм
5.f (x) x12 4x1x2 2x1x3 ( 3)x22 4x2x3 x32 .
6.f (x) x12 4x1x2 x22 4x2x3 x32 2x1x3
7.f (x) 5x12 4x1x2 2x1x3 x22 2x2x3 x32
8.f (x) x12 2 x1x2 10x1x3 4x22 6x2x3 x32
9.f (x) x12 2 x1x2 2x1x3 x22 4x2x3 5x32
Пример 10. Исследовать квадратичную форму на знакоопреленность в зависи-
мости от параметра а, используя критерий Сильвестра.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 1 |
a 1 |
|
11 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A |
a 1 6a |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
M1 a 1 0, a 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
M |
2 |
|
|
a 1 |
|
a 1 |
|
6a2 |
6a (a2 2a 1) 5a2 4a 1, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a 1 |
|
6a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
M 2 |
0при |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 1 a 1 |
1 |
|
|
|
|
a 1 a 1 1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
M 3 |
|
A |
|
|
a 1 |
|
|
|
|
|
6a |
1 |
|
|
|
|
0 |
5a |
0 |
|
... a(5a 1) 0, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M |
|
0при |
|
|
1 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, квадратичная форма положительно определена при a 15 .
Дальше исследовать самостоятельно.
7
Пример 11. Привести квадратичную форму f(x) к каноническому виду
Исследовать квадратичную форма на знакоопределённость в зави-
симости от значений параметра a. Определить тип поверхности,
заданной уравнением
в зависимости от значений параметра a.
Решение. Приведём квадратичную форму к каноническому виду методом Ла-
гранжа
=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, квадратичная форма знакоопределена, а именно положительно определена, при
Значения характеристик квадратичной формы позволяют определить тип по-
верхности, задаваемой в некотором базисе уравнением
I. Если , то уравнение поверхности содержит три квадрата пере-
менных, один из них с положительным коэффициентом и два – с отрицательными. В
пространстве такое уравнение определяет двуполостный гиперболоид
II. Если , уравнение примет вид , что соответствует цилинд-
рической поверхности с направляющей – гиперболой, то есть гиперболический ци-
линдр второго порядка.
III. Если , то уравнение будет содержать три квадрата, два с положи-
тельным коэффициентом, один с отрицательным. В пространстве такое уравнение оп-
ределяет однополостный гиперболоид.
|
|
8 |
||
IV. Если |
|
|
, то уравнение – это сумма квадратов, равная единице, и опреде- |
|
|
|
|||
ляет в пространстве эллиптическую цилиндрическую поверхность. |
||||
V. При |
|
|
|
данное уравнение – сумма квадратов, равная единице – это |
|
|
|
||
эллипсоид. |
|
|
|
|
Пример 12. Исследовать на экстремум функцию f x2 y2 z2 xy 2z 3x
Решение. Необходимым условием экстремума функции является равенство ну-
лю первых частных производных. Точки M0 (x, y, z) , являющиеся решением системы
fx
f
y
f
z
0
0
0
называются стационарными точками функции f.
Если квадратичная форма, составленная из вторых производных функции, вы-
численных в стационарной точке M0 (x, y, z) положительно определена, то эта функ-
ция достигает в этой точке минимума, если отрицательно определена, то – максимума.
Если квадратичная форма является неопределенной, то экстремума в этой точке нет.
Найдем сначала стационарные точки, решив систему:
|
f |
2x y 3 0 |
|
|
|
2x y 3 |
|
||
|
x |
|
|
|
|
f |
2 y x 0 |
|
|
|
y |
x 2 y 0 |
. Решением системы является точка |
|
|
|
|
||
|
f |
|
2z 2 |
|
2z 2 0 |
|
|
||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
M0(2, 1, 1) - стационарная точка.
Запишем второй дифференциал в точке:
2 f |
2 f |
x2 |
2 |
2 f |
x y 2 |
2 f |
x z |
2 f |
y2 |
2 |
2 f |
y z |
2 f |
z2 |
|
2 x |
x y |
x z |
2 y |
y z |
2 z |
||||||||||
2 f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 x2 2 x y 2 y2 2 z2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9
Матрица этой квадратичной формы:
2 f
2 x
2 f A
x y
2 f
x z
2 f
x y
2 f
2 y
2 f
y z
2 fx z2 fy z
2 f
2 z M 0
2 |
1 |
0 |
||
|
1 |
|
|
|
= |
2 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|||
Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.
|
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
M 2 |
|
|
3 0 , M3 |
2 |
|
||||
|
|
|
||||||||
M1 2 0 , |
|
|
1 |
2 |
0 |
6 0 |
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По критерию Сильвестра форма f положительно определена, а значит, точка является точкой минимума функции f.
Выполнить самостоятельно. Исследовать на экстремум функции
13.f x3 y3 3xy .
14.f xyz(8 x y z)
Решение задач обобщающего типа по теме БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
15. Пусть f 6x1x2 2x1x3 4x2x3 - заданная квадратичная форма.
1. Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Ла-
гранжа.
2.Указать ранг квадратичной формы, индексы инерции.
3.Указать линейное преобразование и сделать проверку.
4.Проверить на знакоопределенность.
5. Определить, какая поверхность определяется уравнением f (x) 1.
16. Пусть |
f x2 |
3x2 |
4x2 |
2x x |
2x x |
6x x |
- заданная квадратичная |
|||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
|
форма.
1.Найти значение квадратичной формы на векторе a ( 2;2; 1) .
2.Проверить на знакоопределенность с помощью критерия Сильвестра.
3.Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа.
4.Указать линейное преобразование и сделать проверку.
5.Указать ранг квадратичной формы, индексы инерции.