Материал: Семинар 12

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

1

Семинар по теме Положительно и отрицательно определенные

квадратичные формы

1.Изучить материал лекции по теме

2.Рассмотреть примеры, приведенные ниже.

3.Выполнить самостоятельные задания.

4.Выполнить задачу 2.12 из типового расчета

Определение 1. Квадратичная форма

f (x1,..., xn ) называется положительно

определенной, если для любой совокупности значений пере-

менных

x1 ,..., xn

значение

самой

формы

на

них

f (x1,..., xn ) 0

 

 

 

 

 

Определение 2. Квадратичная форма

f (x1,..., xn ) называется отрицательно

определенной, если для любой совокупности значений пере-

менных

x1 ,..., xn

значение

самой

формы

на

них

f (x1,..., xn ) 0

Положительно и отрицательно определенные формы называются знакоопреде-

ленными.

Примеры. Квадратичные формы от трех переменных.

 

x2

x2

положительно определена.

1. (x) x2

1

2

3

 

2.

 

x2

неотрицательно определена, вырожденная.

(x) x2

 

1

2

 

 

 

 

x2

x2

знакопеременная.

3. (x) x2

 

1

2

3

 

4.(x) x1x2 знакопеременная, вырожденная .

Исследование квадратичной формы на знакоопределенность будем проводить,

разными способами. Напомним теоремы:

Теорема 1. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отри-

цательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ха-

рактеристические числа ее матрицы били положительны (отри-

цательны).

2

Теорема 2. Критерий знакоопределенности

Для того чтобы квадратичная форма была положительно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все коэффициенты в кано-

ническом виде этой формы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определен-

ной необходимо и достаточно чтобы все ее коэффициенты в кано-

ническом виде этой формы были отрицательны.

Теорема 3. Критерий Сильвестра

Для того чтобы квадратичная форма была положительно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все главные миноры мат-

рицы этой формы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все главные миноры мат-

рицы четного порядка были положительны, а нечетного – отри-

цательны.

Критерий Сильвестра для трехмерного пространства схематично можно представить следующим образом:

1)

квадратичная форма положительно определена;

2) квадратичная форма отрицательно определена;

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квад-

ратов одного знака, называются иногда полуопределенными. Квадратичные формы,

нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты неизвестных, называются неопределенными или формами общего вида.

Пример 1. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму

f3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2 x3

1)Приведя ее к каноническому виду;

2)Найдя собственные числа;

3)С помощью критерия Сильвестра.

Решение.

3

1). Приведем квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

Здесь удобно начать собирать слагаемые с x2 :

f 3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2 x3

(4x22 4x1x2 4x2 x3 x12 x32 2x1x3 ) x12 x32 2x1x3 3x12 5x32

(x1 2x2 x3 )2 2x12 2x1x3 4x32

(x1 2x2 x3 )2 2(x12 x1x3 14 x32 ) 12 x32 4x32

(x1 2x2 x3 )2 2(x1 12 x3 )2 72 x32

Перейдем от неизвестных x1 , x2 , x3 к неизвестным y1 , y2 , y3 по формулам:

y

 

x

2x

 

x

 

1

1

 

2

 

3

 

 

 

x1

 

 

 

1

 

y2

 

 

x3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

y

3

 

 

x

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Получим

канонический вид

 

квадратичной формы:

Q y2

2 y2

3,5y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

r ( f ) 3 Квадратичная форма является положительно определенной по теореме 2.

 

 

 

2). Найдем все характеристические числа матрицы квадратичной формы. Мат-

рица квадратичной формы имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим характеристическое уравнение:

 

A E

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A E

 

 

 

2

4

2

(3 )(4 )(5 ) 4(3 ) 4(5 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 )(4 )(5 ) 4((3 ) (5 )) (3 )(4 )(5 ) 4(8 2 ) (3 )(4 )(5 ) 8(4 ) (4 )((3 )(5 ) 8)

(4 )( 7)( 1)

1

4

 

 

 

 

- характеристические числа матрицы квадратичной формы. Все i

 

7 7

0 .

 

1

 

 

1

 

 

Квадратичная форма является положительно определенной по теореме 1.

4

Чтобы установить, является ли квадратичная форма положительно (отрицатель-

но) определенной, не обязательно приводить ее к каноническому виду или разыскивать характеристические числа ее матрицы.

3) способ (по критерию Сильвестра)

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

2

0

 

 

M 2

 

 

8 0 , M3

3

 

 

 

 

M1 3 0 ,

 

 

2 4

2

28 0

 

 

 

2

4

 

 

0

2

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По критерию Сильвестра квадратичная форма положительно определенная

Пример 2. Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность двумя способами: с помощью приведения к каноническому виду и с помощью критерия Сильвестра.

2.1. f (x) x12 15x22 4x1x2 2x1x3 6x2 x3 =…

= (x

2x

2

x )2 ((x2

10x

x 25x2 ) 25x2 ) 19x2

... y2

y2

6y2

 

2

 

 

3

 

3

 

2

3

2

2

2

1

2

3

y

x

2x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 x3

5x2

 

квадратичная форма – знакопеременная.

 

 

 

 

y3

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Критерий Сильвестра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0, M 2

 

 

 

 

 

 

A

2

 

15

3

, M1

19 0

 

знакопеременная.

 

 

 

1

 

 

3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.

f (x) x2 4x2

4x2 8x2

8x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

4

 

 

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

0

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

4

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

M

 

0, M

 

4 0, M 16 0, M

 

128 0, положительно оп-

0

0

 

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

 

0

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ределена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3.

f (x) 9x2

6x2

6x2 12x x

10x x

12x x ...=

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

3

 

 

1

2

 

 

 

1

3

2

3

 

 

f (x) 6(x

 

x x )2

3(x

1

x )2

 

 

1

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

3

 

 

1

 

3

 

3

 

3

 

3

 

 

 

 

Критерий Сильвестра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

6

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

6

 

 

 

0, M 2

0, M 3

... 6 0. знакопеременная квадратич-

 

6

 

 

6

M1

 

 

5

 

6

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ная форма.

5

Выполнить самостоятельно: Исследовать на знакоопределенность квадратич-

ную форму f:

1) Приведя ее к каноническому виду;

3) С помощью критерия Сильвестра.

2.f 3x12 4x22 x32 6x1x2 2x1x3 2x2x3

3.f 3x12 2x22 4x32 4x1x2 4x1x3 4x2x3

4.f 2x12 x22 2x32 2x1x2 4x1x3 2x2x3

Пример 3. Найти все значения параметра , при котором положительно определены следующая квадратичная форма.

Q 2x12 x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3

Решение. Составим матрицу квадратичной формы.

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.

 

 

 

 

 

2 1

 

 

1

1

 

 

M1 2 0 , M 2

 

 

1 0 , M3

2

 

 

 

 

 

1

1 1

 

1

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы форма была положительно определенной, по критерию Сильвестра необходимо чтобы все главные миноры были положительными. Для первых двух это усло-

вие выполняется. Минор M3 0 при 1.

Итак, форма является положительно определенной при значениях параметра

1.

Пример 4. Найти все значения параметра , при котором отрицательно определены следующие квадратичные формы.

Q x12 x22 3x32 4x1x2 2x1x3 2x2 x3

Решение. Составим матрицу квадратичной формы.

1

2

1

 

 

 

 

 

A

2

 

1

 

 

1

1

 

 

 

3

Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.

 

M 2

 

1

2

 

4 , M3

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1 1 0 ,

 

 

 

2

 

1

4 7

 

 

 

2

 

 

 

 

1

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Источник: https://studfile.net/preview/14612592/

Смотрите также:

_Rezonans_napryazheniy
_Ugolov_Process_05
«Характеристика объектов коммерческой деятельности в торговле»
(никита)KUL_T_KL_EKZAMEN
[1 курс] БЖД
[ТЕСТЫ] по гистологии IMK №2
# Вопрос Ответ
01
04