Главную сложность в подходе Корри составляет статус «рефлексивного знания», которое связывает между собой «тело» и «образы» математики, ставя тем самым под вопрос возможность четкого их разграничения [Corry, 1989, p. 425]. Сам Корри полагает, что наличие пограничной, переходной области между «телом» и «образами» не компрометирует отстаиваемую им картину двухслойной структуры математики (the body/images scheme). Он также считает, что используемая им дихотомия принципиально лучше попытки отделить «математическое содержание» и «математическую форму», что изначально пытался сделать Майкл Кроу [Corry, 1996, p. 180; 2004/1996, p. 4]. В целом, на подход Корри можно смотреть как на тщательно продуманную, взвешенную и разработанную в деталях современную версию позиции Кроу.
Рассмотрение тех концепций, которые были созданы вслед за дискуссией М. Кроу и Дж. Даубена, позволяет скорректировать вывод, сделанный в первом разделе первой части настоящей статьи. Как показывает и книга «Революции в математике»[Gillies (ed.), 1992], и множество других текстов на эту тему, победа в споре Кроу и Даубена лишь номинально, на словах осталась за Даубе- ном, а реально, на деле - за Кроу: ведь хотя наличие революций в математике и было признано, это не привело к отказу от убеждения в строго кумулятивном развитии некоего таинственного «ядра» математики.
Попытка подвести итоги
Можно ли говорить о каких-то общих результатах спора о революциях в математике, пик которого пришелся на 1970-1990-е гг.? Во-первых, отметим, что публикации на эту тему продолжают появляться вплоть до настоящего времени, хотя поток их явственно оскудел В качестве примеров можно указать [Bueno, 2007; Родин, 2017; Sialaros (ed.), 2018]. О. Буэно строит аргументацию в пользу наличия куновских революций в математике через подтверждение существования несоизмеримых математических теорий в том же смысле, в котором Кун утверждал существование несоизмеримых физических теорий. Мы обнаруживаем эту несоизмеримость в математической практике, коль скоро мы достаточно внимательны к нюансам изменения значения математических терминов. Первый его пример - несколько теорий континуума (Г.В. Лейбница, К. Вейерштрасса, А. Робинсона), второй - несоизмеримость различных концепций множества (Г. Кантора, Цермело - Френкеля, фон Неймана - Бернайса - Гёделя). Математика, заключает Буэно, не может рассматриваться как собрание вечных, неизменных истин; для разговора о ее развитии требуется более нюансированный подход (a more fine-grained model) [Bueno, 2007, p. 102]. Позднее он развил такой подход в виде концепции многообразных узко понимаемых (в отличие от «широкого понимания» Я. Хакинга) стилей научного мышления [Bueno, 2012]. А.В. Родин предлагает свою версию компромиссной позиции: в соответствии с двойственным смыслом самого слова «революция» (и радикальное новшество, и возврат того же самого) он характеризует развитие математики как «перманентную революцию», что, с одной стороны, предполагает постоянную работу по пересмотру оснований математики, а с другой - постоянное воспроизведение всего объема накопленных результатов, хотя и в переформулированном виде. Его модельный пример - теорема Пифагора. Книга под редакцией М. Сиалароса напрямую предлагает соот- нестись с полемикой, начатой в 1975 г. публикациями М. Кроу и С. Унгуру, и продолжить разговор о математических достижениях древних греков в терминах куновских революций.. Во-вторых, ряд исследователей считает, что спор этот в определенном смысле оказался бесплодным и зашел в тупик. З.А. Сокулер резюмирует свой обзор книги Дональда Джиллиса [Gillies (ed.), 1992] следующими словами: «[П]озиции определены, аргументы приведены, но столкновение мнений продолжается, ибо вопрос является не фактологическим, а мировоззренческим. Все упирается в понимание различными авторами того, что является неотъемлемой составной частью самой математики, а что лежит “около” или “вокруг”» [Сокулер, 1995, с. 56]. «Так, где же этот спор оставляет нас? С чем мы остаемся за исключением безрезультатной полемики, которую лучше было бы прекратить? Или требуется избрать иную перспективу?» [Francois, Van Bendegem, 2010, p. 113] - вопрошают Карен Франсуа и Жан-Поль Ван Бендегем. Они выступают за то, чтобы вовсе оставить Куна с его революциями и попытать счастья с Имре Лакатошем, предлагающим (в интерпретации этих авторов) перейти с макро- на микроуровень в рассмотрении развития математических практик.
Мне ситуация видится не в столь пессимистичном свете. Рискну подвести итоги спора о революциях в математике в виде перечисления четырех тенденций, явственно наметившихся в ходе развертывания полемики. математический знание интеллектуальный революция
Тенденция к расширению представления о составе математики: понятие математики не может быть ограничено доказанными утверждениями и образуемыми ими теориями, к этому нужно добавить способы их получения (методологию и стандарты строгости, терминологию, системы обозначений и используемые графические средства), а затем - образы математики (проблемы и предположения, приоритеты, предпочтения и ценности, представления о природе математики и ее месте в системе культуры, ее истории и возможном будущем и т. п.). Я перечислил те моменты, которые активно обсуждались в ходе спора о революциях в математике, однако продолжение следует.
Тенденция к подчеркнуто отрефлексированному употреблению слова «революция» в применении к математике и плюрализму в его понимании.
Тенденция к компромиссу между сохранением представления о кумулятивном развитии математики и признанием наличия революций в ее истории.
Тенденция к изоляционизму: попытка сохранить жесткую границу между математикой и естествознанием, декларированную в рамках логического позитивизма.
Из названных тенденций, первые две представляются мне позитивными и требующими дальнейшего развития, в то время как последние две - безусловно негативными, свидетельствующими о том, что философия математической практики отчасти унаследовала крайнюю консервативность традиционной философии математики.
Начну с позитивных тенденций. Первая тенденция находит естественное продолжение во включении в понятие математики математического сообщества, т. е. самих математиков, конституирующей их профессиональное сообщество системы социальных отношений и способа включения этого сообщества, или сообществ, в более широкое социальное целое Этот момент был предельно ясно сформулирован Марио Бунге в данном им определении «области знания (field of knowledge)» или «эпистемического поля (epistemic field)» [Bunge, 1983a, p. 88-92]. Отмечу также весьма импонирующую мне позицию Бунге, состоящую в том, что он, хотя и разделяет «системы убеждений (belief systems)» и «области исследования (fields of inquiry)», но принципиально не отрывает различные типы исследовательских эпи- стемических полей друг от друга, а тем самым - математику от других наук, технологических областей и гуманитаристики. В этой связи он с завидной легкостью признает наличие «эпистемических революций» в математике, а именно в математическом анализе, математической логике и теории множеств, абстрактной алгебре. Наряду с этим он перечисляет целый ряд «эпистемологических революций» в истории человечества, которые также в разной степени затрагивали и продолжают затрагивать математику. Критика Бунге в адрес кумуля- тивизма умеренна, но также показательна: он решительно отвергает как крайний кумуляти- визм, который именует «градуализмом», так и крайний революционизм, под именем «катастрофизма», предлагая «эволюционизм», который всегда сохраняет частичное преемство с предыдущими «телами» знания, но не предполагает, однако, какого-либо сохраняющегося на протяжении всей истории неустранимого ядра [Bunge, 1983b, p. 175-184].. На следующем шаге мы можем также постараться учесть не только социальный, но и существенный материальный аспект профессиональных практик, характерных для математического сообщества См. некоторые попытки в этом направлении [Barany, MacKenzie, 2014; Greiffenhagen, 2014]..
Вторая тенденция состоит в отходе от употребления слова «революция» в применении к математике в качестве чисто оценочного метафорического средства (что представляется важным достижением, то и называется революцией). Далее следует попытка превратить слово «революция» в термин и его дифференциация, т. е. выделение многих типов революций. Наконец, к этой же тенденции относятся поиски не столь перегруженных коннотациями альтернативных терминов, которые имеют больше шансов стать точными в употреблении.
Две оставшиеся тенденции я охарактеризовал выше как негативные, поскольку они мешают своевременному усвоению философией математической практики новейших философских тенденций и маргинализируют существующие попытки их решительного применения к анализу математики В качестве характерного примера маргинализированной точки зрения можно указать на трактовку математики в рамках «сильной программы» в социологии научного знания Дэвида Блура. См. ответ Блура на критику его позиции по данному вопросу [Bloor, 1991, p. 179-183].. Эти тенденции отдают дань двум ставшим классическими философско-математическим мифам. Согласно первому, математическое доказательство - это эталон строгости, доказанное в математике утверждение есть абсолютная истина, оно не может быть отвергнуто никогда, а следовательно, развитие математики может быть лишь строго кумулятивным. Согласно второму, математика - совершенно особая и автономная наука, принципиально отличающаяся от всех остальных областей человеческого знания и всерьез от них не зависящая. На мой взгляд, требуется особое усилие по развенчанию и преодолению этих мифов.
Именно радикальность позиции Куна в «Структуре научных революций» сделала эту книгу значимой и влиятельной. Перспективной в контексте спора о революциях в математике мне представляется позиция тех немногих авторов, которые готовы бескомпромиссно признать наличие именно куновских революций в математике. Стоит опробовать гипотезу о том, что пресловутая кумулятивность развития математики есть не что иное, как социально конструируемая и социально поддерживаемая иллюзия. Мы постоянно переосмысливаем и переписываем историю так, чтобы убедить себя и других в незыблемости и универсальности математических результатов. Возможно, это связано с тем, что одной из главных общесоциальных функций математики, по-видимому, изначально было и остается обеспечение стандартизации как условия успешности широкомасштабной коммуникации Ср. рассуждения Теодора Портера по поводу количественного анализа (quantification) как технологического приема для решения социальных проблем дистанции и недостатка доверия [Porter, 1995, p. ix-x].. Последнее соображение подводит нас к сомнению и в автономности математики, которая представляет собой пестрый набор разнообразных исторически изменчивых социальных практик, лишь с определенной натяжкой отделимых от иных практик, как повседневных, так и научных.
Можно и нужно существенно усилить революционный характер развития математики в нашем восприятии, критикуя саму возможность исторически- инвариантным образом выделить ее «ядро» (Уайлдер), четко отделить объектный уровень от метауровня (Данмор) или «математическое содержание» от «математической формы» (Кроу в формулировке Корри), или «тело» от «образов» (Корри). Тем самым революции на метауровне будут неизбежно затрагивать и предполагаемый объектный уровень математики, радикальное изменение «формы» - менять и «содержание», а «ядро» перестанет быть «абсолютно твердым», представ исторически изменчивым и пластичным. Тогда куновские революции в математике утратят свою невидимость, имеющиеся в ней несоизмеримости сделаются заметными, а намечавшиеся в истории, но не реализовавшиеся альтернативы смогут стать предметом специального анализа. Методологически такой ход представляется оправданным, даже если конкретные ситуационные исследования, которые он делает возможными, в дальнейшем обнаружат, что он был избыточно радикален.
Список литературы
1. Кузнецова, 1984 - Кузнецова И.С. Гносеологические проблемы математического знания. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1984. 136 с.
2. Родин, 2017 - Родин А.В. Концепция перманентной научной революции и основания математики (возвращаясь к спору между Кроу и Даубеном) // Революция и эволюция: модели развития в науке, культуре, социуме. Сб. научных статей / Под ред. И.Т. Касавина и А.М. Фейгельмана. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского, 2017. С. 34-36.
3. Рузавин, 1989 - Рузавин Г.И. Об особенностях научных революций в математике // Методологический анализ закономерностей развития математики / Под ред. А.Г. Барабашева,
4. С. Демидова и М.И. Панова. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 180-193.
5. Сокулер, 1995 - Сокулер З.А. Зарубежные исследования по философским проблемам математики 90-х гг.: Научно-аналитический обзор. М.: ИНИОН, 1995. 75 с.
6. Barany, MacKenzie, 2014 - Barany M.J., MacKenzie D. Chalk: Materials and Concepts in Mathematics Research // Representation in Scientific Practice Revisited / Ed. by C. Coopmans, J. Vertesi, M. Lynch and S. Woolgar. Cambridge, MA: The MIT Press, 2014. P. 107-129.
7. Bloor, 1991 - Bloor D. Knowledge and Social Imagery. 2nd ed. Chicago: University of Chicago Press, 1991. 203 p.
8. Bueno, 2007 - Bueno O. Incommensurability in Mathematics // Perspectives on Mathematical Practices / Ed. by B. Van Kerkhove and J.P. Van Bendegem. Dordrecht: Springer, 2007. P. 83-105.
9. Bueno, 2012 - Bueno O. Styles of Reasoning: A Pluralist View // Studies in History and Philosophy of Science. Part A. 2012. Vol. 43. No. 4. P. 657-665.
10. Bunge, 1983a - Bunge M. Treatise on Basic Philosophy, Vol. 5. Epistemology and Methodology I: Exploring the World. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1983. 404 p.
11. Bunge, 1983b - Bunge M. Treatise on Basic Philosophy, Vol. 6. Epistemology and Methodology II: Understanding the World. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1983. 296 p.
12. Corry, 1989 - Corry L. Linearity and Reflexivity in the Growth of Mathematical Knowledge // Science in Context. 1989. Vol. 3. No. 2. P. 409-440.
13. Corry, 1993 - Corry L. Kuhnian Issues, Scientific Revolutions and the History of Mathematics // Studies in History and Philosophy of Science. Part A. 1993. Vol. 24. No. 1. P. 95-117.
14. Corry, 1996 - Corry L. Paradigms and Paradigmatic Change in the History of Mathematics // Paradigms and Mathematics / Ed. by E. Ausejo and M. Hormigon. Madrid: Siglo XXI de Espana Editores, 1996. P. 169-191.
15. Corry, 2004/1996 - Corry L. Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures. 2nd rev. ed. Basel: Birkhauser, 2004. 451 p. (First edition was published in 1996.)
16. Crowe, 1975 - Crowe M.J. Ten “Laws” Concerning Patterns of Change in the History of Mathematics // Historia Mathematica. 1975. Vol. 2. No. 2. P. 161-166.
17. Dauben, 1984 - Dauben J.W. Conceptual Revolutions and the History of Mathematics: Two Studies in the Growth of Knowledge // Transformation and Tradition in the Sciences: Essays in Honor of I. Bernard Cohen / Ed. by E. Mendelsohn. N.Y.: Cambridge University Press, 1984. P. 81-103.
18. Dauben, 1996 - Dauben J.W. Paradigms and Proofs: How Revolutions Transform Mathematics // Paradigms and Mathematics / Ed. by E. Ausejo and M. Hormigon. Madrid: Siglo XXI de Espana Editores, 1996. P. 117-148.
19. Elkana, 1981 - Elkana Y. A Programmatic Attempt at an Anthropology of Knowledge // Sciences and Cultures: Anthropological and Historical Studies of Sciences / Ed. by E. Mendelsohn and Y. Elkana. Dordrecht: D. Reidel, 1981. P. 1-76.
20. Francois, Van Bendegem, 2010 - Francois K., Van Bendegem J.P. Revolutions in Mathematics. More Than Thirty Years after Crowe's “Ten Laws”. A New Interpretation // PhiMSAMP. Philosophy of Mathematics: Sociological Aspects and Mathematical Practice / Ed. by B. Lowe and T. Muller. L.: College Publications, 2010. P. 107-120.
21. Gillies (ed.), 1992 - Revolutions in Mathematics / Ed. by D. Gillies. N.Y.: Oxford University Press, 1992. 353 p.
22. Grabiner, 1974 - Grabiner J.V. Is Mathematical Truth Time-Dependent? // The American Mathematical Monthly. 1974. Vol. 81. No. 4. P. 354-365.
23. Greiffenhagen, 2014 - Greiffenhagen C. The Materiality of Mathematics: Presenting Mathematics at the Blackboard // The British Journal of Sociology. 2014. Vol. 65. No. 3. P. 502-528.
24. Kitcher, 1983 - Kitcher P. The Nature of Mathematical Knowledge. N.Y.: Oxford University Press, 1983. 296 p.
25. McCleary, McKinney, 1986 - McCleary J., McKinney A. What Mathematics Isn't // Mathematical Intelligencer. 1986. Vol. 8. No. 3. P. 51-53, 77.
26. Porter, 1995 - Porter T.M. Trust in Numbers: The Pursuit of Objectivity in Science and Public Life. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1995. 310 p.
27. Pourciau, 2000 - Pourciau B. Intuitionism as a (Failed) Kuhnian Revolution in Mathematics // Studies in the History and Philosophy of Science. Part A. 2000. Vol. 31. No. 2. P. 297-329.
28. Sialaros (ed.), 2018 - Revolutions and Continuity in Greek Mathematics / Ed. by M. Sialaros. Berlin: De Gruyter, 2018. 391 p.
29. Tymoczko (ed.), 1986 - New Directions in the Philosophy of Mathematics: An Anthology / Ed. by T. Tymoczko. Boston, MA: Birkhauser, 1986. 341 p.
30. Wilder, 1981 - Wilder R.L. Mathematics as a Cultural System. Oxford: Pergamon Press, 1981. 190 p.
References
1. Barany, M.J., MacKenzie, D. “Chalk: Materials and Concepts in Mathematics Research”, in: Representation in Scientific Practice Revisited, ed. by C. Coopmans, J. Vertesi, M. Lynch and S. Woolgar. Cambridge, MA: The MIT Press, 2014, pp. 107-129.
2. Bloor, D. Knowledge and Social Imagery. 2nd ed. Chicago: University of Chicago Press, 1991. 203 pp.
3. Bueno, O. “Incommensurability in Mathematics”, in: Perspectives on Mathematical Practices, ed. by B. Van Kerkhove and J.P. Van Bendegem. Dordrecht: Springer, 2007, pp. 83-105.
4. Bueno, O. “Styles of Reasoning: A Pluralist View”, Studies in History and Philosophy of Science. Part A, 2012, vol. 43, no. 4, pp. 657-665.
5. Bunge, M. Treatise on Basic Philosophy, Vol. 5. Epistemology and Methodology I: Exploring the World. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1983. 404 pp.
6. Bunge, M. Treatise on Basic Philosophy, Vol. 6. Epistemology and Methodology II: Understanding the World. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company, 1983. 296 pp.