Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Революции в математике: возвращаясь к старому спору
Шапошников Владислав Алексеевич - кандидат философских наук, доцент
Аннотация
Настоящая статья представляет собой вторую (завершающую) часть исследования, посвященного анализу спора о революциях в математике, который возник в 1970-е гг. и был вызван к жизни популярностью концепции научных революций Т. Куна. В первой части исследования было рассмотрено инициировавшее полемику противостояние двух известных историков математики, М. Кроу и Дж. Даубена. Кроу сформулировал десять «законов» развития математики, последний из которых утверждал отсутствие в математике революций, Даубен же предложил исторические свидетельства в пользу противоположной точки зрения. На основании анализа дальнейшего развития этой полемики - определенный итог которого постарался подвести Д. Джиллис, выступивший в 1992 г. редактором книги «Революции в математике» - был сделан предварительный вывод, что победа в споре Кроу и Даубена осталась, скорее, за Даубеном, поскольку подавляющее большинство участников, включая и самого Кроу, в итоге признало существование революций в математике. Затем было начато продолжающееся во второй части исследования обсуждение позиции Б. Порсиоу, поставившего под вопрос такой вывод. Согласно Порсиоу, следует говорить не столько о «споре», сколько о «согласии» между Кроу и Даубеном, поскольку ни один из них не признает нарушения кумулятивности в накоплении математических результатов и не сомневается в существовании сквозного прогресса математического знания. Рассмотрение многочисленных источников, не вошедших в книгу 1992 г., заставляет признать правоту Порсиоу и сделать вывод, что победу Даубена следует считать лишь номинальной, тогда как подлинную победу нужно признать за исходной позицией Кроу, поскольку ку- мулятивистский тезис так и остался незыблемым, а следовательно, существование «куновских» революций в математике не было признано. В ряде работ спор о революциях в математике объявляется безрезультатным. В данной статье делается иной вывод: этот спор выявил ряд интеллектуальных тенденций, обнажающих компромиссный
характер доминирующих представлений о революциях в математике, а тем самым и о математике в целом.
Ключевые слова: философия математики, философия математической практики, революции в математике, кумулятивность развития математики, Т. Кун
Abstract
Revolutions in mathematics: an old debate revisited Part 2
Vladislav A. Shaposhnikov
Lomonosov Moscow State University.
This paper is the second (and final) part of a study of the debate concerning the existence and meaning of revolutions in the history of mathematics. The discussion in question has emerged in the 1970s and was inspired by T.S. Kuhn's hugely influential theory of science. In the previous part of this study, an initial Crowe - Dauben controversy is considered. M.J. Crowe put forward ten “laws” concerning the evolution of mathematics with the final one stating that revolutions never occur in mathematics. At the same time, J.W. Dauben tried to support the occurrence of revolutions in mathematics. The story of the debate - which was famously summed up in D. Gillies's 1992 edited collection “Revolutions in Mathematics” - apparently suggested that Dauben's position entirely predominates over Crowe's among the scholars; even Crowe was finally forced to acknowledge the occurrence of revolutions in mathematics.
In 2000 B. Pourciau disputed such a view of the debate's outcome, stressing that the overwhelming majority of the scholars who took part in the 1992 collection, happily married the recognition of revolutions in the history of mathematics with the strictly cumulative character of mathematics as far as mathematical results are concerned. In other words, they were talking about “revolutions” that cannot be called “Kuhnian”. It means that only the nominal victory is Dauben's while the real one is Crowe's. In this part of the study, a lot of additional material belonging to the debate is analyzed. This analysis corroborates Pourciau's thesis and takes a closer look at the varieties of the “compromise” position accepting revolutions in mathematics on one level while rejecting them on the other. Some reviewers consider the debate on the revolutions in mathematics futile. Still, this study shows it to be highly instructive in bringing to light some ambivalent trends in the philosophy of mathematical practice.
Keywords: philosophy of mathematics, philosophy of mathematical practice, revolutions in mathematics, cumulativity of the development of mathematics, T.S. Kuhn
Спор или согласие? (окончание)
Когда Кроу формулировал свои десять «законов» [Crowe, 1975; Gillies (ed.), 1992, p. 15-20], он вдохновлялся сходной попыткой Раймонда Уайлдера. Позднее Уайлдер предложил уточненную версию «законов, управляющих эволюцией математики», которая учитывала и вариант, предложенный Кроу. Четырнадцатый из них гласит: «Революции могут происходить в метафизике, символизме и методологии математики, но не в ядре математики (not in the core of mathematics)» [Wilder, 1981, p. 142]. Из следующих за приведенной формулировкой разъяснений становится ясно, что к областям, в которых могут происходить революции (это революции в математике!), Уайлдер относит также стандарты строгости математического доказательства. Однако в математике теории (которые, по-видимому, и образуют ее «ядро») не отбрасываются. Исключение, очевидно не нарушающее это правило, Уайлдер делает лишь для тех теорий, которые обнаружили свою противоречивость. Кроме того, в чистой математике могут мирно уживаться «альтернативные» теории (например, стандартный и нестандартный анализ, различные виды геометрий), ведь здесь нет «экспериментальной верификации», заставляющей естествоиспытателя сохранять только одну из альтернатив. Этим же объясняется готовность Уайлдера допустить наличие революционного отбрасывания теорий, которое он решительно отрицает для чистой математики, в сфере прикладной математики: «Конечно же, тот, кто использует математику, может отказываться (discard) от математических теорий, но это не имеет отношения к ядру математики; в прикладной математике революции могут происходить» [Ibid., p. 143]. Утверждаемый Уайлдером иммунитет в отношении революций для «ядра математики» особенно примечателен в свете последнего (двадцать третьего) из сформулированных им законов: «По причине ее основания в культуре (its cultural basis) в математике нет такой вещи как абсолютное, в ней есть только относительное» [Ibid., p. 148]. Этот последний закон представляет собой цитату из доклада Уайлдера 1950 г. «Культурное основание математики», в котором недвусмысленно разъяснялся его смысл:
Ввиду того, что могут существовать и на деле существовали и существуют различные культуры, различные формы мышления и, следовательно, различные математики, представляется невозможным рассматривать математику... как что-либо иное, чем произведение человека, обладающее характером необходимости или истины не в большей степени, чем другие продукты культуры [Tymoczko (ed.), 1986, p. 196].
Если математика, тем самым, есть часть изменчивого «культурного потока (culture stream)», в который все мы погружены, то что помимо не вполне осознанной нами культурной привычки заставляет нас верить в кумулятивное и прогрессивное развитие некоторого неприкосновенного ее «ядра»?
Филип Китчер в книге «Природа математического знания» [Kitcher, 1983] склонен систематически сближать изменения научной практики в математике и в естествознании, однако весьма скептично настроен в отношении куновской темы нарушения непрерывности и революций в науке [Ibid., p. 162]. Он блестяще критикует поверхностное противопоставление кумулятивного развития математики некумулятивному развитию естествознания (в плане якобы отсутствия в истории математики серьезных «революционных споров», сохранения в неизменном виде определенных математических истин на протяжении всей человеческой истории и отвержения со временем лишь тех положений, принятие которых изначально было необоснованно) [Ibid., p. 155-158]. Тем не менее Китчер согласен с тем, что в математике в отличие от естествознания не отбрасывают установленные ранее теории. Когда в истории математики возникает угроза реального противостояния, она обычно разрешается благодаря «переинтерпретации (reinterpretation)», а не отбрасыванию. Используя эволюционную метафору, можно сказать, считает Китчер, что «математические теории демонстрируют более высокий уровень выживания по сравнению с теориями естественнонаучными» [Ibid., p. 158]. Вот откуда возникает «более сильное впечатление кумулятивности развития» математики по контрасту с естествознанием [Ibid., p. 159].
Сходную с Джудит Грабинер [Grabiner, 1974] позицию занимает Джон Макклири. Математики не отвергают результаты своих предшественников, «они стараются перенести настолько много прошлого, насколько представля - ется разумным, в нынешнюю картину своей дисциплины» [McCleary, McKinney, 1986, p. 51]. Революции, считает он, происходят главным образом в философии математики, т. е. в способе отвечать на вопрос «что есть математика?», отсюда уже вытекают принимаемые математическим сообществом типы проблем и приемлемые методы исследования, а они в свой черед определяют какие «части прошлого (parts of the past)» включаются в текущую парадигму, а какие - исключаются из нее. Макклири даже предпочитает называть подобные радикальные изменения во взгляде на математический мир не революциями, а «переориентациями (reorientations)», желая тем самым подчеркнуть специфику математики. Главное отличие состоит опять же в отношении к полученным ранее результатам: «[Центральная черта переориентации, которая отличает ее от революций Куна, - это ее отношение к принятым результатам прошлого; если вы вынуждены отказаться от слишком многого из прошлого, чтобы принять новую точку зрения, у нее нет шансов на успех» [Ibid., p. 52]. В качестве характерного примера Макклири указывает интуиционизм Брауэра, который требовал пожертвовать слишком многим из прошлых великих достижений, чтобы получить широкую поддержку в математическом сообществе. Тот самый пример, который будет убеждать Брюса Порсиоу [Pourciau, 2000] в возможности куновских революций в математике, убеждает Джона Макклири как раз в обратном!
Стремление тем или иным способом примирить кумулятивность математики с существованием в ее развитии революций характерно и для советских авторов 1980-х гг. [Кузнецова, 1984, с. 113-131; Рузавин, 1989]. И.С. Кузнецова признает наличие революций в математике, однако стремится свести их к революциям в философии математики: «По-видимому, революции в математике затрагивают в первую очередь сферу философии математики, т. е. происходит переворот в понимании гносеологических проблем математики, касающихся ее отношения к действительности, природы математических понятий и аксиом. А это уже ведет к решительным преобразованиям в самой математике» [Кузнецова, 1984, с. 117]. Вполне в духе логического позитивизма она признает математику чисто формальной наукой, поставленной над естествознанием и четко от него отделенной, а происходящие в ней «решительные преобразования» - не нарушающими кумулятивности в накоплении формализмов [Там же, с. 130]. Г.И. Рузавин старается примирить кумулятивность и революции, обращаясь к диалектике количества и качества: «Количественные, постепенные, кумулятивные изменения в математике, так же как и в других науках, в конце концов сопровождаются изменениями коренными, качественными, революционными» [Рузавин, 1989, с. 186]. Научные революции - это «наиболее радикальные, качественные изменения в концептуальной структуре научного знания», которые в случае математики сводятся к следующему: 1) «образование новых математических понятий или изменение смысла, или значения, старых понятий»; 2) «возникновение новых теорий и методов математики»; 3) «концептуальное обобщение теорий и их интеграция»; 4) «изменение оснований математики и ее философии» [Там же, с. 186-193]. Отметим, что Г.И. Рузавин характерным образом объединяет в своем понимании революций в математике черты кумулятивного прироста и революционного изменения, порывающего со старым знанием.
Последним автором, на котором мне хотелось бы остановиться в связи с подмеченной Брюсом Порсиоу [Pourciau, 2000] общей тенденцией в трактовке революций в математике, будет Лео Корри, который довел названную тенденцию до предельной ясности. Он основывает свое решение проблемы революций на различении «тела (body)» математики и ее «образов (images)»[Corry, 1989, p. 411-413; 1993, p. 106-108; 1996, p. 178-182; 2004/1996, p. 3-7]. Речь идет о различении вопросов первого уровня (о предмете исследования в данной дисциплине) и вопросов второго уровня или метавопросов (о самой дисциплине). Это выделение двух слоев в составе математического знания исторически детерминировано, есть смысл говорить о взаимном влиянии «тела» и «образов», которое имеет свою историю, и изучать его. Причем различные «образы» могут сосуществовать в истории, определяясь не только наличным «телом знания», но и внешними по отношению к нему социокультурными факторами. Особое внимание к мышлению второго уровня, равно как и термины «тело знания» и «образы знания», заимствованы Корри, как отмечает он сам, у известного историка и философа науки Иегуды Элкана [Elkana, 1981] и перенесены в область истории и философии математики. Корри особо подчеркивает «рефлексивность» математики, т. е. тенденцию к систематическому преобразованию вопросов второго уровня в вопросы первого уровня, в результате чего они переходят из сферы «образов» в состав «тела» в качестве «рефлексивного знания». Классический пример такого перехода - знаменитые теоремы Гёделя 1931 г.
«Тело математики» представляет собой, согласно Корри, объективное, стабильное и постоянно расширяющееся, т. е. ведущее себя кумулятивно, «твердое ядро (hard core)», в то время как «образы математики» - социально и исторически обусловленные и изменчивые результаты как внутренней, так и внешней для математики рефлексии по поводу ее методологии и природы. Эти «образы», с одной стороны, задают условия роста «тела» или «ядра» математики, а с другой - определяют собой философию и историографию математики. Не только «тело», но (правда, лишь отчасти) и «образы» математики находятся для Корри «внутри» математики. При этом происходящие в математике революции затрагивают напрямую только «образы»; косвенно они влияют, конечно же, и на характер роста ядра (ускоряя его или замедляя, возможно, меняя направление и порядок прироста нового знания), но не способны нарушить кумулятивный характер этого роста [Corry, 1989, p. 417-418, 424-425]. Обнаруживаемые в истории математики ошибки в «теле» математического знания - это в известных нам случаях «локальные ошибки», их исправление ведет лишь к «локальным улучшениям», характерным для того, что Кун называет «нормальной наукой» [Ibid., p. 421]. Стандартный пример - некоторые ошибочные доказательства О.Л. Коши в области математического анализа (1820-е гг.), связанные с тем, что он не различал непрерывность функции и ее равномерную непрерывность. Осознание необходимости такого различения (Б. Больцано, П.Г. Лежён Дирихле и, наконец, К. Вейерштрасс и его ученики в 1870-е гг.) и внесение соответствующих корректировок не имело катастрофических последствий для математического анализа и прошло достаточно мирно, так сказать, в рабочем порядке. В результате развитие математики на уровне «тела» представляется Корри «квазилинейным (quasi-linear)» и определяющимся универсально принятым стандартом, а именно существованием дедуктивного доказательства [Corry, 1993, p. 108; 1996, p. 181]. Кстати, сам этот стандарт представляет собой один из «образов математики», сопровождающий нас, по крайней мере, со времен Древней Греции. Появление в какой-то исторический момент этого образа Корри без сомнения готов признать революцией, более того - величайшей революцией в математике. Помимо этого он признает возможным, что в будущем люди станут свидетелями «второго революционного изменения в образах знания, по масштабу и значению сопоставимого с дедуктивной революцией (the deductive transformation)» [Corry, 1993, p. 110-114].
В отношении же «образов математики», согласно Корри, по-видимому, не существует универсального стандарта принятия, и «образы» возникают, трансформируются и исчезают вне линейной закономерности. «Образы» подвержены влиянию случайных нюансов исторического процесса. Кроме того, в отличие от «тела» «образы» сплошь и рядом могут располагаться на уровне неявного знания, что дополнительно усложняет анализ ситуации. Если революции в ку- новском смысле происходят в математике, то они относятся именно к ее «образам». Излюбленные же примеры Джозефа Даубена [Dauben, 1984; Gillies (ed.), 1992, p. 49-82; Dauben, 1996] - открытие несоизмеримых величин, трансфини- ты Г. Кантора, нестандартный анализ А. Робинсона - не столько куновские революции, сколько «решающие прорывы (major breakthroughs)», которые относятся к кумулятивному расширению «тела математики». Пример, подробно разбираемый самим Корри, - «структурная революция в алгебре» (примерно между 1860 и 1930 гг.), в которой он видит подлинное революционное изменение в «образах математики», хотя и связанное с разнообразными кумулятивными приращениями в «теле математики» [Corry, 1993, p. 114-117; 1996, p. 185-189; 2004/1996].