Материал: Прогибы при изгибе
Определив реакции опор, получим
RO RА q l
Изгибающий момент в сечениях балки на участке О и А
z2 M x RO z q 2
Уравнение (2) в этом случае принимает вид
|
|
|
|
|
|
d 2v |
|
1 |
|
( R z q |
z2 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dz2 |
|
|
|
|
EIx |
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Интегрируя уравнение (3), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
dv |
|
1 |
|
( RO z q |
z2 |
) dz с1 |
|
|
1 |
|
|
( RO |
|
z2 |
|
q |
z3 |
) с1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
EI |
|
|
|
|
EI |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dz |
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Интегрируя последнее уравнение, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
( RO |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
) с1 dz с2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
EIx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
( R |
|
z3 |
q |
z4 |
) с z с . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EIx |
|
|
|
|
|
|
O |
6 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
1 |
( R |
|
z2 |
q |
z3 |
) с . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
EIx |
|
|
O |
2 |
|
|
|
6 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
v(z) |
|
1 |
( R |
|
z3 |
q |
z4 |
) с z с . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EIx |
O |
6 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(8)
(9)
(10)
Входящие в выражения (4), (5) постоянные интегрирования с1 и с2 найдем используя условия закрепления балки (6) и (7). Подставляя в условие (6) выражение для прогиба (10), получим
v(0) |
1 |
( R |
03 |
q |
04 |
) с |
0 с |
0 . |
Следовательно, |
|
|
|
|||||||
|
EIx |
O |
6 |
|
24 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 0 . |
(11) |
|
6
Подставляя в граничное условие (7) формулу (10), находим
v(2l) |
1 |
( R |
|
(2l)3 |
q |
(2l)4 |
) с 2l 0 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
EIx |
|
O |
|
|
6 |
|
|
|
|
24 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Из этого равенства определяем |
|
|
с |
|
|
1 |
( R |
|
2l2 |
q |
l3 |
) . С уче- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
EIx |
O |
3 |
3 |
|
|||||||
том того, что RO ql , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
с1 |
|
|
ql |
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3EIx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставляя RO ql и выражения для |
с1 , |
с2 |
в виде (11), (12) в |
|||||||||||||||||||||||||
формулу (10), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
v(z) |
|
q |
|
|
( l |
|
|
z3 |
|
z4 |
l3z) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3EIx |
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Максимальный |
прогиб в |
|
|
шарнирно опертой |
|
по концам балке |
||||||||||||||||||||||
(рис. 4) возникает в середине пролета при z l : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
v |
v(l) |
q |
|
|
( l |
l3 |
|
|
l4 |
l3l) |
5q l4 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
max |
|
|
|
|
3EIx |
|
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
24 EIx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 3. Записать граничные условия для балки, показанной |
||||||||||||||||||||||||||||
на рис. 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
RB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
M0 |
|||||
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
B |
C |
z |
О |
|
|
|
q1 |
|
|
|
|
|
F |
|
l1 |
l2 |
l2 |
l3 |
|
|
Рис. 5 |
|
7
Решение. Балка, на рис. 5, в точках В и С (при z l1 и при z l1 2l2 ) шарнирно закреплена. В этих точках ее прогибы должны быть равными нулю. Граничные условия записываются следующим
образом: |
|
v(l1 ) 0 ; |
v(l1 2l2 ) 0 . |
Контрольные вопросы
1.Какие перемещения возникают в балке при плоском изгибе?
2.Запишите дифференциальное уравнение изгиба балки.
3.Что такое жесткость балки при изгибе?
4.Как определить прогибы и углы поворота балки?
5.Какие условия для прогибов и углов поворота должны выполняться в местах закрепления балки?
6.Из каких условий определяются постоянные интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки?
Задание для самостоятельного выполнения.
1.Интегрируя дифференциальное уравнение изгиба балки и удовлетворяя граничным условиям, получить выражение v(z) для
прогиба поперечного сечения балки постоянной жесткости EIx, представленной на рис. 6.
|
y |
RC |
|
|
|
M0 |
|
RО |
|
О |
C z |
|
|
|
|
|
3 а |
Рис. 6
8
2.Определить максимальный прогиб поперечного сечения балки постоянной жесткости EIx, представленной на рис. 7.
у |
z |
О |
q |
2а |
Рис. 7
3.Для балки, расчетная схема которой выбирается по варианту (номеру списка в группе) из расчетной работы «Расчет балки при плоском изгибе» записать граничные условия.
9